浙江省寧波市慈溪市2023-2024學年高二上學期期末考試 數(shù)學 含解析_第1頁
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慈溪市2023學年第一學期期末測試卷高二數(shù)學學科試卷說明:本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試時間120分鐘,本次考試不得使用計算器,請考生將所有題目都做在答題卡上.第Ⅰ卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系O-xyz中,點關于平面yOz對稱的點的坐標為()A. B. C. D.2.雙曲線的一個焦點坐標為()A. B. C. D.3.已知曲線在點處的切線方程為,則()A.1 B.0 C. D.4.已知等差數(shù)列前5項和,且,則公差()A. B. C. D.5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為,則()A. B. C. D.6.已知正四面體的棱長為2,是的中點,在上,且,則()A. B. C.0 D.7.已知A,B是橢圓E:()的左右頂點,若橢圓E上存在點滿足,則橢圓E的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知定義在上函數(shù)的導函數(shù)為,若,,則()A. B. C. D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知直線的方程為,直線的方程為,()A.則直線的斜率為 B.若,則C.若,則或 D.直線過定點10.下列函數(shù)的導數(shù)計算正確的是()A.若函數(shù),則B.若函數(shù)(且),則C.若函數(shù),則(e是自然對數(shù)的底數(shù))D.若函數(shù),則11.任取一個正數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.反復進行上述兩種運算,經(jīng)過有限次步驟后,必進入循環(huán)圈1→4→2→1.這是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關系如下:已知數(shù)列滿足:(m為正整數(shù)),().若,記數(shù)列的前n項和為,則()A.或16 B. C. D.12.如圖,在直三棱柱中,,,,M是AB的中點,N是的中點,P是與的交點.Q是線段上動點,是線段上動點,則()A.當Q為線段中點時,PQ∥平面B.當Q為重心時,到平面的距離為定值C.當Q在線段上運動時,直線與平面所成角的最大角為D.過點P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周長為第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知圓C的方程為,則圓C的半徑為______.14.已知等比數(shù)列的前n項和為,且,,則______.15.已知函數(shù)有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是_________.16.設為拋物線的焦點,直線l與拋物線交于兩點,且,則的面積最小值為______.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)當時,求函數(shù)的最大值.18.已知圓內(nèi)有一點,直線l過點M,與圓交于A,B兩點.(1)若直線l的傾斜角為120°,求;(2)若圓上恰有三個點到直線l的距離等于1,求直線l的方程.19.如圖,在直四棱柱中,底面是正方形,,,分別是棱上的動點.(1)若分別為棱中點,求證:平面;(2)若,且三棱錐的體積為,求平面與平面的夾角的余弦值.20.已知數(shù)列首項,且滿足().(1)求證:數(shù)列等比數(shù)列;(2)若,令,求數(shù)列的前n項和.21.已知函數(shù)().(其中是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若對任意時,都有,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若,求證:.(參考數(shù)據(jù):,)22.已知雙曲線的漸近線方程為,且點在上.(1)求的方程;(2)點在上,且為垂足.證明:存在點,使得為定值.慈溪市2023學年第一學期期末測試卷高二數(shù)學學科試卷說明:本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試時間120分鐘,本次考試不得使用計算器,請考生將所有題目都做在答題卡上.第Ⅰ卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系O-xyz中,點關于平面yOz對稱的點的坐標為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱即可求解.【詳解】點關于平面yOz對稱的點的坐標為,故選:B2.雙曲線的一個焦點坐標為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)標準方程即可求解.【詳解】雙曲線轉化為標準方程為,故,故焦點為和,故選:A3.已知曲線在點處的切線方程為,則()A1 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】求導,根據(jù)即可求解,進而可求解.【詳解】,則,又,所以,故,故選:D4.已知等差數(shù)列的前5項和,且,則公差()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】由可得,,故,所以,解得.故選:C5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設圓心為,點為點,切點為,先利用勾股定理求出切線長,再求出,再根據(jù)二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】因為,所以點在圓外,設圓心為,點為點,切點為,圓化為標準方程得,則圓心,半徑,在中,,所以,故,由圓的切線的性質可得,所以.故選:A.6.已知正四面體的棱長為2,是的中點,在上,且,則()A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】先將分別用表示,再根據(jù)數(shù)量積得運算律即可得解.【詳解】由正四面體,得,則,由是的中點,得,由,得,則,所以.故選:C.7.已知A,B是橢圓E:()左右頂點,若橢圓E上存在點滿足,則橢圓E的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率公式,即可得,進而根據(jù)離心率公式即可求解.【詳解】設,則,,故,所以,故離心率為,又,故,故選:B8.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為,若,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由,可得,構造函數(shù),利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性,再根據(jù)函數(shù)的單調性逐一判斷即可.【詳解】因為,所以,即,令,則,所以函數(shù)是增函數(shù),對于A,由,得,故A錯誤;對于B,由,得,所以,故B錯誤;對于C,由,得,所以,故C錯誤;對于D,由,得,所以,故D正確.故選:D.【點睛】關鍵點點睛:構造函數(shù),利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知直線的方程為,直線的方程為,()A.則直線的斜率為 B.若,則C.若,則或 D.直線過定點【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)時,直線的斜率不存在,即可判斷A;根據(jù)兩直線平行的充要條件計算即可判斷B;根據(jù)兩直線垂直的充要條件計算即可判斷C;令的系數(shù)等于零求出定點即可判斷D.【詳解】對于A,當時,直線的斜率不存在,故A錯誤;對于B,若,則,解得或,經(jīng)檢驗,兩個都符合題意,所以或,故B錯誤;對于C,若,則,解得或,故C正確;對于D,直線的方程化為,令,解得,所以直線過定點,故D正確.故選:CD.10.下列函數(shù)的導數(shù)計算正確的是()A.若函數(shù),則B.若函數(shù)(且),則C.若函數(shù),則(e是自然對數(shù)的底數(shù))D.若函數(shù),則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的求導法則,結合基本初等函數(shù)求導公式以及求導法則即可逐一求解.【詳解】對于A,,所以,A錯誤,對于B,,故B正確,對于C,,C正確,對于D,,D正確,故選:BCD11.任取一個正數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.反復進行上述兩種運算,經(jīng)過有限次步驟后,必進入循環(huán)圈1→4→2→1.這是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關系如下:已知數(shù)列滿足:(m為正整數(shù)),().若,記數(shù)列的前n項和為,則()A.或16 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)的奇偶性求出,再根據(jù)的奇偶性即可求出,即可判斷A;分類討論,求出數(shù)列的周期,進而可判斷BCD.【詳解】因為,由“冰雹猜想”可得,①若為偶數(shù),則,所以,當為偶數(shù)時,則,所以,即,當為奇數(shù)時,則,解得(舍去),②若為奇數(shù),則,解得,當為偶數(shù)時,則,所以,即,當為奇數(shù)時,則,解得(舍去),綜上所述,或16,故A正確;當時,由,得,所以數(shù)列從第三項起是以為周期的周期數(shù)列,因為,所以,,當時,由,,所以數(shù)列從第三項起是以為周期的周期數(shù)列,因為,所以,,綜上所述,,或,故B正確,C錯誤;對于D,數(shù)列從第三項起是以3為周期的周期數(shù)列,所以,故D正確.故選:ABD.12.如圖,在直三棱柱中,,,,M是AB的中點,N是的中點,P是與的交點.Q是線段上動點,是線段上動點,則()A.當Q為線段中點時,PQ∥平面B.當Q為重心時,到平面的距離為定值C.當Q在線段上運動時,直線與平面所成角的最大角為D.過點P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周長為【答案】BD【解析】【分析】建立直角坐標系,利用法向量與方向向量的關系即可求解A,根據(jù)線面角的向量法,結合不等式的性質即可判定C,根據(jù)線面平行即可求解B,根據(jù)面面平行即可求解長度判斷D.【詳解】以為原點,以,,所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,設,則,0,,,0,,,2,,,1,,,1,,,1,,所以,設平面的法向量為,則,令,可得,設,則,當Q為線段中點時,,則,故此時不平行平面,A錯誤,當Q為重心時,則所以,即,,此時,此時PQ∥平面,由于是線段上的點,故到平面的距離即為到平面的距離,故為定值,B正確,由于,設直線與平面所成角為,則,由于所以,所以,故C錯誤對于D,取的中點,連接,由于均為中點,所以,而平面,平面,而平面,平面,故平面,平面,平面,故平面平面,故過點P平行于平面的平面即為平面,故截面為三角形,由于,故截面周長為,D正確,故選:BD【點睛】方法點睛:作截面的常用三種方法:直接法,截面的定點在幾何體的棱上;平行線法,截面與幾何體的兩個平行平面相交,或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行;延長交線得交點,截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知圓C的方程為,則圓C的半徑為______.【答案】【解析】【分析】將一般式轉化為標準式即可求解半徑.【詳解】由可得,所以半徑為,故答案為:14.已知等比數(shù)列的前n項和為,且,,則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質計算即可.【詳解】由題意可得成等比數(shù)列,由,,得,得,所以,則,所以.故答案為:.15.已知函數(shù)有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】直接求導得,再設新函數(shù),首先討論的情況,當時,求出導函數(shù)的極值點,則由題轉化為,解出即可.【詳解】,,令,函數(shù)有兩個極值點,則在區(qū)間上有兩個實數(shù)根.,當時,,則函數(shù)在區(qū)間單調遞增,因此在區(qū)間上不可能有兩個實數(shù)根,應舍去.當時,令,解得.令,解得,此時函數(shù)單調遞增;令,解得,此時函數(shù)單調遞減.當時,函數(shù)取得極大值.當趨近于0與趨近于時,,要使在區(qū)間上有兩個實數(shù)根,只需,解得.故答案為:.16.設為拋物線的焦點,直線l與拋物線交于兩點,且,則的面積最小值為______.【答案】【解析】【分析】設直線的方程為,聯(lián)立方程,利用韋達定理求出,由,得,求出的關系,進而可求出的范圍,再根據(jù)計算即可.【詳解】由已知,設直線的方程為,聯(lián)立,消得,,則,由,得,即,所以,化簡得,所以,化簡得,解得或,則,則或,所以或,,所以當時,,所以面積最小值為.故答案為:.【點睛】方法點睛:圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種:一是幾何法,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值;二是代數(shù)法,常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題,然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)當時,求函數(shù)的最大值.【答案】(1)在上為增函數(shù);在上為減函數(shù);(2)【解析】【分析】(1)直接利用函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間.(2)求導根據(jù)函數(shù)的單調性即可求解最值.【小問1詳解】的定義域為,當時,,,當,解得:,當,解得:.在上為增函數(shù);在上為減函數(shù);【小問2詳解】的定義域為,,當時,令,得,令時,得,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為..18.已知圓內(nèi)有一點,直線l過點M,與圓交于A,B兩點.(1)若直線l的傾斜角為120°,求;(2)若圓上恰有三個點到直線l的距離等于1,求直線l的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)由已知條件可得直線的方程,再結合點到直線的距離公式即可求出弦的長;(2)由已知條件可求出圓心到直線的距離,再分類討論,結合點到直線的距離公式可求出值,則直線的方程可求.【小問1詳解】直線過點,且斜率為,直線的方程為,即,圓心到直線的距離為,;【小問2詳解】圓上恰有三點到直線的距離等于1,圓心到直線的距離為,當直線垂直于軸時,直線方程為,不合題意;當直線不垂直于軸時,設直線的方程為,即,由,可得,解得或,故直線的方程為或.19.如圖,在直四棱柱中,底面是正方形,,,分別是棱上的動點.(1)若分別為棱中點,求證:平面;(2)若,且三棱錐的體積為,求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)以點為原點建立空間直角坐標系,利用向量法求證即可;(2)先根據(jù)三棱錐體積求出,再利用向量法求解即可.【小問1詳解】如圖,以點為原點建立空間直角坐標系,則,故,因為,所以,又平面,所以平面;【小問2詳解】因為,解得或,又因為,所以,故,所以,設平面的法向量為,則有,可取,設平面的法向量為,則有,可取,所以,所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列的首項,且滿足().(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)若,令,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)遞推公式證明為定值即可;(2)先利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和,再分和兩種情況討論即可.【小問1詳解】由,得,所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列;【小問2詳解】由(1)得,所以,所以,設數(shù)列的前項和為,則,,兩式相減得,所以,令,則,令,則,故當時,,當時,,所以當時,,當時,,綜上所述,.21.已知函數(shù)().(其中是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若對任意的時,都有,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若,求證:.(參考數(shù)據(jù):,)【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)令,由題意可得函數(shù)在上單調遞增,在上恒成立,分離參數(shù),進而可得出答案;(2)要證,即證,令,利用導數(shù)求出即可得證.【小問1詳解】對任意的時,都有,即對任意的時,都有,令,則函數(shù)在上單調遞增,則在上恒成立,即在上恒成立,因為當時,,所以,經(jīng)檢驗符合題意,所以實數(shù)a的取值范圍為;【小問2詳解】要證,即證,令,則,令,則,所以函數(shù)在上單調遞增,又,因為,所以,所以,所以,故存在,使得,即,當時,,當時,,所以函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,所以,因為,所以,所以,因為,所以,即,又因為,所以,所以若,.【點睛】方法點睛:利用導數(shù)證明不等式問題,方法如下:(1)直接構造函數(shù)法:證明不等式(或)轉化為證明(或),進而構造輔助函數(shù);(2)適當放縮構造法:一是根據(jù)已知條件適當放縮;二是利用常見放縮結論;(3)構造“

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