《工程制圖與計算機繪圖》課件第2章

第2章投影法及點、直線和平面的投影2.1投影法的基本知識

2.2點的投影

2.3直線的投影

2.4平面的投影

2.1投影法的基本知識

一、投影法

物體在光線照射下會產(chǎn)生影子,如圖2-1所示。用幾何方法分析這種自然現(xiàn)象(圖2-2),把光源S稱為投射中心,光線稱為投射線,得到影子的平面稱為投影面,物體的影子稱為投影。因此,要作出物體在投影面上的投影,實質(zhì)上就是作出通過該物體的點、線、面的投射線與投影面的一系列交點和交線。這種按幾何法將物體表示在平面上的方法,稱為投影法。圖2-1投影現(xiàn)象圖2-2投影方法二、投影法的分類

1.中心投影法

投射中心S距離投影面有限遠時,所有投射線匯交于投射中心,如圖2-2所示，這種投影方法稱為中心投影法。按中心投影法作出的投影稱為中心投影，這種投影法主要用于繪制建筑物的透視圖。

2.平行投影法

投射中心距離投影面無限遠時,所有投射線互相平行,如圖2-3所示，這種投影法稱為平行投影法。按平行投影法作出的投影稱為平行投影。在平行投影法中,投射線的方向稱為投射方向。根據(jù)投射方向與投影面是否垂直,平行投影法又分斜投影法和正投影法兩種。圖2-3平行投影

(1)斜投影法:投射方向與投影面傾斜,如圖2-3(a)所示。

(2)正投影法:投射方向與投影面垂直,如圖2-3(b)所示。正投影法主要用于繪制機械、電氣、建筑和土木工程等圖樣。

軸測投影(軸測圖)是平行投影的一種。軸測圖立體感強，在工程中常用作輔助圖樣。本教材中反映點、線、面、體在空間投影情況的插圖以及反映物體空間形狀的插圖等均采用軸測圖。三、平行投影的基本性質(zhì)

1.平行投影的不變性

(1)點的投影仍然是點。

(2)直線的投影一般仍是直線,如圖2-4所示。直線上點的投影在直線的投影上，線段上的點分線段之比等于點的投影分線段投影之比,如圖2-4中, 。圖2-4投影的定比性

(3)空間互相平行的直線,其投影仍互相平行,如圖2-5所示,AB∥CD,ab∥cd。圖2-5投影的平行性

(4)當線段或者平面平行于投影面時,其投影反映原線段的實長或原平面圖形的實形。如圖2-6所示,因為AB∥P及△CDE∥P,故ab=AB及△cde≌△CDE。圖2-6投影的實形性

2.積聚性

當直線、平面、柱面平行于投射方向時,其投影具有積聚性,如圖2-7所示。圖2-7線、面投影的積聚性

3.類似性

當平面與投影面傾斜但不平行投射方向時,其投影具有類似性。如平面多邊形的投影仍為同邊數(shù)的多邊形，平面上圓的投影為橢圓。 2.2點的投影

點、直線、平面、立體等幾何元素中,點是最基本的元素。因此,首先研究點的投影。

一、點的三面投影

三個互相垂直的平面把空間分成八個部分,每個部分稱為一個分角,順序編號如圖2-8所示。

國家標準《技術制圖》中規(guī)定物體的圖樣優(yōu)先采用第一角畫法,即物體放在第一角內(nèi)作正投影。國際上的技術文件中,也有采用第三角畫法的圖樣。圖2-8三投影面體系三個互相垂直的平面構成三投影面體系，簡稱三面體系。三個投影面分別稱為水平投影面(H)、正立投影面(V)和側立投影面(W)。相應的兩投影面交線稱為投影軸,三條投影軸的匯交點稱為原點,如圖2-8所示。

如圖2-9(a)所示，在三投影面體系中,將第一角內(nèi)空間點A向三個投影面上作正投影：H面上的投影用a表示，稱為點的水平投影；V面上的投影用a′表示,稱為點的正面投影；W面上的投影用a″表示,稱為點的側面投影。為使點的三面投影圖繪制在同一平面上，須將OY軸分解成兩部分：OYH(在H面內(nèi))和OYW(在W面內(nèi))。將H面繞OX軸按圖2-9(b)中箭頭方向旋轉(zhuǎn)到與V面同面，將W面繞OZ軸按圖2-9(b)中箭頭方向旋轉(zhuǎn)到與V面同面，最后即得到如圖2-9(c)所示點A的三面投影圖。

圖2-9(c)中,點A的三個投影a、a′、a″來自三個不同的投影平面,它們經(jīng)過投影面展開后,重合在同一個平面——V面上。圖2-9點的三面投影下面分析點在三投影面體系中的投影規(guī)律。

由圖2-9(a)可知,自A向三投影面作投影,形成以點A為頂點的長方體。投影展開時,aaX⊥OX、a'aX⊥OX及a'aZ⊥OZ、a''aZ⊥OZ不變，另外，aaX=a''aZ；或者在圖2-9(b)中,OaYH=OaYW也不變。由此便可得出點在三投影面體系中的投影規(guī)律如下：

(1)點的正面投影和水平投影連線垂直于OX軸,即a'a⊥OX。

(2)點的正面投影和側面投影連線垂直于OZ軸,即a'a''⊥OZ。

(3)點的水平投影到OX軸的距離,等于點的側面投影到OZ軸的距離,即aaX=a''aZ,或者OaYH=OaYW。

以上是空間任一點的三面投影所必須保持的基本關系。作圖時為使aaX=a''aZ,可以原點為圓心作圓弧,或者自原點引45°輔助線,或作等腰直角三角形，如圖2-9(c)所示，但同一個圖的畫法應一致。

二、點的投影與直角坐標的關系

若將三投影面體系當做笛卡爾直角坐標系,則投影面體系的原點相當于坐標原點,投影軸相當于坐標軸,投影面相當于坐標平面,如圖2-10(a)所示?？臻g點A到W、V、H各投影面的距離即為點A的坐標(x,y,z)。在投影圖上,點A的三個投影a、a'、a''也完全可以用坐標確定,如圖2-10(b)所示。因此，有了點的三個坐標(x,y,z),即可作出點的投影(a,a',a'')；有了點的投影(a,a',a''),即可確定它的坐標(x,y,z)。由圖2-10(b)可以看出,點在每個投影面上的投影(如水平投影a)反映了點的兩個坐標(如x,y)。點在任兩個投影面上的投影反映了點的三個坐標。因此,有了點的兩面投影,即可作出第三面投影。圖2-10點的投影與直角坐標的關系

［例2-1］已知點A的兩個投影a、a',求作第三個投影a'',如圖2-11(a)所示。

解作圖步驟如下：

(1)由點a'作線垂直于OZ軸,a''在此直線上；

(2)由點a作aaYH⊥OYH,用畫圓弧的方法作aYW點,自

aYW作線垂直于OYW；

(3)直線a''aYW與直線a'a''的交點a''即為點A的側面投影，如圖2-11(b)所示。圖2-11求作第三個投影

［例2-2］已知點A的坐標(15,8,12),求作點A的三面投影。

解如圖2-12(a)所示,自點O沿X軸向左量取OaX=15mm,得aX點。自aX作線垂直于OX，如圖2-12(b)所示；自aX向下量取aaX=8mm，得點A的水平投影a；自aX向上量取12mm得a'。用畫圓弧的方法作出點A的側面投影a''，如圖2-12(c)所示。其中aaYH⊥OYH，a''aYW⊥OYW，a'a''⊥OZ。圖2-12已知點的坐標求作點的投影

［例2-3］已知兩點A、B的投影，如圖2-13(a)所示，試判斷這兩點的空間相對位置，并作出兩點的軸測圖。

解由圖2-13(a)的水平(或正面)投影可以看出，點A比點B的X坐標大，因此點A在點B的左方；由水平(或側面)投影可以看出，點A比點B的Y坐標大，因此點A在點B的前方；由正面(或側面)投影可以看出，點A比點B的Z坐標小，因此點A在點B的下方。綜合起來，點A在點B的左、前、下方。

用圖2-13(b)說明A、B兩點的軸測圖的作圖方法，步驟如下：

(1)作投影軸的軸測圖——軸測軸。使OX水平，OZ⊥OX，OY平分∠XOZ。OX向左，OZ向上，OY向前。

(2)作V面為矩形，H、W面為平行四邊形，表示H、V、W的投影面邊框可以畫成粗線。

(3)作點的軸測投影圖。沿各軸測軸自O點按1∶1比例量取點A及點B的各坐標值，得aX、aY、aZ及bX、bY、bZ，過它們分別作相應軸測軸的平行線，其交點即為點A和點B的軸測圖，如圖2-13(b)所示。圖2-13空間兩點的相對位置及軸測投影

三、特殊位置點與重影點的投影

若點在投影面上,則它的一個坐標為零。如圖2-14中點A在H面上，其Z坐標為零，點A的正面投影及側面投影分別在OX及OYW軸上。若點在投影軸上，則它的兩個坐標為零,讀者可自己分析其投影特性。若空間兩點的兩個坐標相同(另一個坐標不同)，如圖2-14中B、C兩點，則它們在H面上的投影重合成一點，稱為B、C的重影點。對于重影點，一般把相應坐標大的點規(guī)定為可見，而把坐標較小的點規(guī)定為不可見，并用小括號表示。若有多個點重影，則規(guī)定只有一個點可見，其余點都不可見。圖2-14特殊位置點與重影點的投影

2.3直線的投影

由2.1節(jié)“平行投影的基本性質(zhì)”可知，直線的投影一般仍為直線。同時又由初等幾何可知，兩點可以確定唯一一條直線。因此，欲作直線的投影圖，只要作出直線上任意兩點的投影，然后用直線連接兩點的同面投影，即得直線的三面投影。

直線對投影面的位置有三種情況：直線與某一投影面垂直，如圖2-15(a)所示，稱為投影面垂直線；直線與某一投影面平行并與另兩個投影面傾斜，如圖2-15(b)所示，稱為投影面平行線；直線與三投影面都傾斜，如圖2-15(c)所示，稱為一般位置直線。在三投影面體系中，直線對H、V、W投影面的傾角，分別用a、b、g表示，如圖2-15(c)所示。圖2-15直線對投影面的相對位置(a)投影面垂直線；(b)投影面平行線；(c)一般位置直線一、各種位置直線的投影特性

1.投影面垂直線

投影面垂直線有三種：垂直于H面的直線稱為鉛垂線；垂直于V面的直線稱為正垂線；垂直于W面的直線稱為側垂線。

現(xiàn)以圖2-16(a)所示物體上的鉛垂線AB為例，分析其投影特性，如圖2-16(c)所示。

(1)水平投影：由于AB垂直于H面，所以A、B兩點在H面上的投影重合，如圖2-16(b)所示。在投影圖2-16(c)中，其水平投影積聚成一點。圖2-16鉛垂線

(1)水平投影：由于AB垂直于H面，所以A、B兩點在H面上的投影重合，如圖2-16(b)所示。在投影圖2-16(c)中，其水平投影積聚成一點。

(2)正面投影：由于AB垂直于H面，故必垂直于OX軸和OY軸，同時必平行于V面和W面，所以其正面投影垂直于OX軸，即a'b'⊥OX，并且a'b'反映AB實長，即a'b'=AB。

(3)側面投影:與(2)類似，a''b''⊥OYW，a''b''=AB。

直線與各投影面夾角分別為：a=90°，b=g=0°。

正垂線和側垂線也有類似的投影特性。各種投影面垂直線的投影特性見表2-1。表2-1投影面垂直線的投影特性

2.投影面平行線

投影面平行線有三種：平行于H面并傾斜于V面、W面的直線稱為水平線；平行于V面并傾斜于H面、W面的直線稱為正平線；平行于W面并傾斜于H面、V面的直線稱為側平線。

現(xiàn)以圖2-17(a)所示物體上的水平線AB為例，分析其投影特性，如圖2-17(c)所示。

(1)水平投影：由于AB平行于H面，所以水平投影反映實長，即ab=AB，并且ab與OX軸及OYH軸的夾角反映直線AB對V面及W面的傾角b、g的真實大小，對H面的傾角a為零度。圖2-17水平線

(2)正面及側面投影：正面投影平行于OX軸，即a'b'∥OX；側面投影平行于OYW軸，即a''b''∥OYW。由于AB對V、W面傾斜，所以正面及側面投影均小于AB實長，即a'b'＜AB，a''b''＜AB。

正平線及側平線也有類似的投影特性。各種投影面平行線的投影特性見表2-2。表2-2投影面平行線的投影特性

3.一般位置直線

對三個投影面都傾斜(既不平行也不垂直)的直線稱為一般位置直線，如圖2-18所示。一般位置直線的各面投影都對投影軸傾斜，既不反映空間線段的實長(投影縮小)，也不反映空間直線對投影面的夾角。圖2-18一般位置直線

二、兩直線的相對位置及其投影特性

空間兩直線相對位置有三種情況：兩直線平行、兩直線相交和兩直線交叉(既不平行也不相交)。

1.兩直線平行

根據(jù)平行投影的基本性質(zhì)可知，如果空間兩直線互相平行，則兩直線的各同面投影互相平行。如圖2-19(a)、(b)所示，若空間直線AB∥CD，則ab∥cd，a'b'∥c'd'，a''b''∥c''d''。

反之，三組同面投影都平行的兩條直線，這兩條直線在空間也一定平行。需要注意，若兩條直線都平行于某投影面，一般需由它們所平行的投影面上的投影判斷它們是否平行。如圖2-19(c)所示，AB和CD都是側平線，它們的正面投影及水平投影必平行，但側面投影不平行，所以AB、CD在空間也不平行。圖2-19平行兩直線的投影

2.兩直線相交

如圖2-20(a)所示，空間兩直線AB與CD相交于K點。K點是它們的共有點，既在AB上也在CD上，所以K點的水平投影k一定是ab與cd的交點，正面投影k'一定是a'b'與c'd'的交點。在三面投影體系里，側面投影k''一定是a''b''與c''d''的交點，如圖2-20(b)所示。由于k、k'、k''是同一點K的三面投影，所以它必須符合點的投影規(guī)律。

由此可以得出結論：如果兩直線相交，它們的同面投影必相交，且兩直線各同面投影的交點即為兩直線交點的投影。反之，如果兩直線各同面投影相交，且交點的各面投影符合點的投影規(guī)律，則此兩直線在空間必相交。圖2-20相交兩直線的投影

3.兩直線交叉

空間兩直線AB與CD既不平行也不相交，即是交叉兩直線，如圖2-21所示。因為交叉兩直線在空間不相交，所以它

們的同面投影的交點不是同一個點的投影，而是兩直線上不同的兩點在同一個投影面上的重影點。如圖2-21(a)所示，水平投影ab與cd的交點，實際上是AB上的Ⅲ點與CD上的Ⅳ點在水平投影面上的重影點。同理，正面投影a'b'與c'd'的交點，實際上是AB上的Ⅰ點與CD上的Ⅱ點在正立投影面上的重影點。AB與CD的投影圖及可見性如圖2-21(b)所示。圖2-21交叉兩直線及其重影點

2.4平面的投影

一、平面的表示法

平面是構成立體的幾何元素。由初等幾何可知，平面可由下列任意一組幾何元素確定：

(1)不在同一直線上的三點，如圖2-22(a)所示。

(2)一直線和直線外的一點，如圖2-22(b)所示。

(3)相交兩直線，如圖2-22(c)所示。

(4)平行兩直線，如圖2-22(d)所示。

(5)任意的平面圖形(即平面的有限部分，如平面上的三角形、圓及其他封閉圖形)，如圖2-22(e)所示。圖2-22平面的幾何元素表示及投影平面也可以用它的跡線來表示，如圖2-23所示。圖2-24是圖2-23跡線平面對應的投影圖。

平面與投影面的交線稱為平面的跡線。如圖2-23(a)所示，平面P與H面的交線稱為水平跡線，用PH表示；平面P與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示；平面P與W面的交線稱為側面跡線，用PW表示。平面與投影軸的交點也是相應兩條跡線與投影軸的交點，稱為跡線的集合點。跡線既在平面上也在投影面上，因此在投影圖上只畫跡線的一個投影，如水平跡線PH的水平投影，而不畫(也不標記)它的正面及側面投影，如圖2-24(a)所示。圖中點A在正面跡線PV上。

平面對H、V、W投影面的傾角，同樣分別用a、b、g表示。圖2-23用跡線表示的平面圖2-24跡線平面的投影圖

二、各種位置平面的投影特性

平面對投影面的位置有三種：平行、垂直、傾斜，如圖2-25所示。圖2-25平面對投影面的各種位置在三投影面體系中，根據(jù)平面所處的位置，平面可以分成投影面平行面、投影面垂直面及一般位置平面三類。

1.投影面平行面

平行于一個投影面的平面稱為投影面平行面。平行于H面的平面稱為水平面；平行于V面的平面稱為正平面；平行于W面的平面稱為側平面。

現(xiàn)以水平面為例，分析其投影特性，如圖2-26所示。圖2-26水平面的投影

(1)水平投影：水平面平行于水平投影面，故水平投影反映平面的實形。用跡線表示的水平面無水平跡線。

(2)正面投影及側面投影：正面投影及側面投影都具有積聚性，且積聚成直線，分別平行于OX軸及OYW軸。用跡線表示的水平面，其正面及側面跡線分別平行于OX軸及OYW軸。

水平面對三個投影面的夾角容易得到，a=0°，b=g=90°。

正平面和側平面有類似的投影特性。三種投影面平行面的投影特性見表2-3。表2-3投影面平行面的投影特性

2.投影面垂直面

垂直于一個投影面并與另外兩個投影面傾斜的平面稱為投影面垂直面。垂直于H面并與V面、W面傾斜的平面稱為鉛垂面；垂直于V面并與H面、W面傾斜的平面稱為正垂面；垂直于W面并與H面、V面傾斜的平面稱為側垂面。

現(xiàn)以鉛垂面為例，分析其投影特性，如圖2-27所示。

(1)水平投影：由于鉛垂面垂直于H面，所以其水平投影具有積聚性，積聚成直線。該直線與OX軸及OYH軸的夾角，反映平面與V面及W面的夾角b及g。鉛垂面的水平跡線與平面的積聚性投影重合，對OX軸及OYH軸都傾斜。圖2-27鉛垂面的投影

(2)正面投影及側面投影：鉛垂面的正面投影及側面投影是平面圖形的類似形(多邊形則邊數(shù)相同，圓則成為橢圓)，面積縮小。鉛垂面的正面及側面跡線分別垂直于OX軸及OYW軸。

正垂面及側垂面有類似的投影特性。各種投影面垂直面的投影特性見表2-4。表2-4投影面垂直面的投影特性

3.一般位置平面

與三個投影面既不平行也不垂直，而處于傾斜位置的平面，稱為一般位置平面，如圖2-28所示。

一般位置平面的三面投影都是小于空間平面實形的類似形，其各面跡線均對投影軸傾斜。圖2-28一般位置平面的投影三、平面上的直線和點

1.平面上取直線和點

欲在平面上取直線，可以使直線通過平面上的兩個點，或者使直線通過平面上一點且平行于平面內(nèi)另一條直線。如圖2-29(a)所示，相交兩直線CD和DE確定一平面，A、B兩點分別在CD和DE直線上，即在平面上，連接A、B兩點的直線也在該平面上。圖2-29(b)中，三角形ABC確定一平面，通過平面內(nèi)的A點作直線AD∥BC，AD即在該平面上。反之，也可以用上述原理判斷一條直線是否在平面內(nèi)。

欲在平面內(nèi)取點，可以先在平面內(nèi)取直線，再在直線上取點。因為直線若在平面上，則直線上所有點都在平面上。反之，也可以根據(jù)這一原理判斷點是否在平面上。圖2-29在平面上取直線

［例2-4］已知△ABC上點D的正面投影，試作出D點的水平投影，如圖2-30(a)所示。圖2-