《高等微波網絡》課件第2章

第2章網絡基礎

2.1微波網絡的基本概念2.2工作特性參量2.3A參數2.4S參數2.5無耗互易網絡的幾個重要定理2.6參考面移動對網絡參數的影響2.7散射矩陣的別列維奇表示法

2.1微波網絡的基本概念

微波網絡是由有限個元件連接而成的一種結構。這些元件可以是集總元件(如電阻、電容、電感等)，也可以是分布參數元件(如傳輸線、波導等)。微波網絡可以看做是一個黑箱，如圖2.1-1所示。它通過端口與外界進行能量或信息的交換，如果對它作n個激勵，它就有n個響應，則該網絡就稱為n維或n端口網絡。圖2.1-1n端口網絡2.1.1復頻率與復平面

在電路理論中，傅立葉變換完成的是時域到頻域的變換，而拉普拉斯變換則完成時域到s域的變換。實際上，傅立葉變換是拉普拉斯變換的一種特殊情況，在拉普拉斯變換中令σ=0，拉普拉斯變換就變?yōu)楦盗⑷~變換。反之，將傅立葉變換中的jω變?yōu)棣?jω，即將定義域從虛軸變換到復數域中，則傅立葉變換就變?yōu)槔绽棺儞Q。這種定義域的擴展又稱為解析延拓，其中s=σ+jω稱為復頻率，對應的以σ為橫軸、jω為縱軸的平面稱為復平面。2.1.2赫維茨(Hurwitz)多項式

所有零點都位于復頻率s復平面的左半平面內的實系數多項式稱為赫維茨(Hurwitz)多項式。

1.赫維茨多項式的性質

設赫維茨多項式的一般形式為：

它具有以下幾個性質:

(1)所有系數都是正實數；

(2)冪次齊全；

(3)當它只有奇部或只有偶部時，其所有的根都共軛地出現在s復平面的jω軸上；(2.1.1)

(4)滿足模值定理:(2.1.2)

2.赫維茨多項式的判斷準則

準則1:赫維茨多項式可分解為偶部E(s)和奇部O(s)，由奇部和偶部的比值可得電抗函數:

式中的商和qi(i=1，…，n)都是正數。(2.1.3)式(2.1.3)是采用輾轉相除的方法得到的，如果一個多項式的奇部和偶部的比值能夠不中斷地輾轉除盡，且所得的商都是正數，則此多項式就一定是赫維茨多項式。

準則2:若矩陣

為正定矩陣，則以矩陣中的元素作為系數的多項式為赫維茨多項式。(2.1.4)2.1.3正實函數

1.正實函數的定義

若函數G(s)滿足:

(1)在s的右半平面解析；

(2)若s是實數，則G(s)是實函數；

(3)Res＞0，ReG(s)>0，

則G(s)為正實函數。

2.正實函數的性質

正實函數具有下列一些性質:

(1)正實函數的導數也是正實函數。

(2)正實函數之和仍為正實函數。

(3)正實函數的復合函數仍為正實函數。

3.正實函數的判斷法則

對于函數

式中，E1(s)和E2(s)為偶部，O1(s)和O2(s)為奇部。(2.1.5)若G(s)滿足:

(1)s為實數時，G(s)為實函數；

(2)E1(s)+E2(s)+O1(s)+O2(s)為Hurwitz多項式；

(3)當s=jω時，E1(jω)E2(jω)－O1(jω)O2(jω)＞0，則G(s)為正實函數。2.1.4有界實矩陣與有界實函數

對于一個m階方陣Y(·)，其元素均為復變量s的函數，若Y(·)滿足:

(1)在Res>0處，Y(·)的所有元素都是解析的；

(2)對于正實的s，Y(s)是實的；

(3)對于Res>0，I-Y+(s)Y(s)是非負定的埃爾米特矩陣，則Y(·)為有界實矩陣。

一個1×1階的有界實矩陣稱為有界實函數。2.1.5網絡函數及其性質

網絡函數可用來描述網絡的特性，在時域內可以用沖激響應表征網絡的特性，在頻域內可以用網絡函數表征網絡的特性。既然沖激響應和網絡函數都可以用來表征網絡的特性，那么它們之間必然有密切的聯(lián)系，這一聯(lián)系就是網絡函數是沖激響應的拉氏變換。

1.網絡函數的定義及其分類

響應與激勵之比定義為網絡函數，用符號H表示，它是聯(lián)系響應與激勵的量。在圖2.1-2(a)的單口網絡中，激勵和響應在同一個端口，則網絡函數為策動點函數。策動點函數有兩種定義:一是激勵為U，響應為I，即

稱為策動點導納函數。

另一種定義是激勵為I，響應為U，即

稱為策動點阻抗函數。(2.1.6)(2.1.7)圖2.1-2單口網絡和雙口網絡圖2.1-2(b)的雙口網絡中，當激勵和響應在不同的端口上時，網絡函數稱為轉移函數。

可見，網絡函數分為兩大類，策動點函數和轉移函數。當激勵A(s)是復指數信號時，響應信號B(s)也是復指數信號

的形式，網絡函數H(s)便是復頻率s的函數，定義為(2.1.8)

2.網絡函數的一些性質

盡管轉移函數和策動點函數的定義不同，其性質也有所差別，但由于它們都是網絡函數，因此它們也應具有一些共同的性質。這些性質包括：

(1)網絡函數是實有理函數。集總、線性、時不變網絡的網絡函數是一實系數的有理函數，形式上是兩個實系數的多項式之比，形如(2.1.9)式中ai、bj都是實數，s是復頻率變量。如果將分子、分母多項式寫成因式形式，則得出另一種表示式:

(2)網絡函數零點和極點的分布關于實軸對稱。

(3)穩(wěn)定網絡的網絡函數分母是Hurwitz多項式。

(4)策動點函數是正實函數。(2.1.10)

2.2工作特性參量

微波網絡端口的特性，通常都用其輸入量和輸出量之間的關系來表示，而不考慮網絡中電磁場的分布。輸入量和輸出量可以是電壓和電流，也可以是功率。由于網絡的端接條件不同，輸入與輸出間的關系也不同。雖然網絡的參量矩陣已完全描述了網絡的固有特性，但在實際中，為了更直接地描述網絡的傳輸、衰減和反射等工作特性以及便于網絡分析與綜合，還常采用工作特性參量，常用的有電壓傳輸系數、工作衰減、插入相移和輸入駐波比等，它們都是頻率的函數。

1.電壓傳輸系數τ

電壓傳輸系數τ的定義為：

在輸出端口接匹配負載的條件下輸出端口反射波電壓b2與輸入端口入射波電壓a1之比，即

根據s21的物理意義可知，τ就是s21。τ也可用歸一化A參數a表示為(2.2.1)(2.2.2)

2. 工作衰減LA

工作衰減LA也稱插入損耗，其定義為輸出端口接匹配負載時，輸入端口的輸入波功率與負載吸收功率之比，即(2.2.3)因為，所以(2.2.4)常用分貝(dB)來表示工作衰減，即

可見，工作衰減等于電壓傳輸系數模平方的倒數。因為網絡是無源的，|τ|≤1，所以LA總是正分貝數。為了看清LA的物理意義，將式(2.2.5)重新表示為(2.2.5)(2.2.6)上式右邊第一項是網絡的實際輸入功率(入射波功率減去反射波功率)與匹配負載吸收功率之比，表征了網絡自身損耗引起的衰減。當網絡無耗時因為|s21|2=1－|s11|2，所以其自身衰減為0分貝。上式右邊第二項

為入射波功率與實際入射功率之比，是由于輸入端口不匹配引起的，因此稱為網絡的反射衰減。當輸入端口匹配時s11=0，則反射衰減為0分貝。

3. 插入相移θ

插入相移θ定義為輸出端口接匹配負載時，輸出端口反射波對于輸入端口入射波的相移。因此它也就是電壓傳輸系數τ的相角，即

θ=argτ=args21

(2.2.7)

4. 輸入駐波比ρ

輸入駐波比定義為輸出端口接匹配負載時，輸入端口的駐波比，即(2.2.8)

2.3A參數

2.3.1A參數的定義和基本性質

一般地，A參數定義為輸入電壓U1、電流I1和輸出電壓U2、電流I2的一組線性關系：

由A參數的定義以及傳輸線理論可以得到無耗傳輸線段的A矩陣，如表2.3.1所示。(2.3.1)表2.3.1無耗傳輸線段的A矩陣

A參數具有以下性質。

1. 互易網絡

互易網絡A矩陣的行列式值為1，即

detA=1(2.3.2)

2．級聯(lián)網絡

如圖2.3-1所示級聯(lián)傳輸系統(tǒng)，總網絡的A矩陣是各個網絡Ai矩陣的依次乘積，即(2.3.3)

3. 負載阻抗Zl與輸入阻抗Zin的關系

由A參數定義，計及Zin=U1/I1，而Zl=U2/I2，易得

【例2.3.1】矩形波導H面90°拐角可表示為如圖2.3-2所示網絡。若輸入功率為P0，終端接匹配負載，求系統(tǒng)反射系數Г和負載吸收功率Pl。(2.3.4)圖2.3-2例2.3.1網絡圖解微波問題多數采用歸一化參數，即所有阻抗對特性阻抗Z0歸一，或導納對Y0歸一，一般用所表示的參數的小寫字母表示。如a表示歸一化的A。

可以把H面90°拐角看做是兩個串聯(lián)電抗和一個并聯(lián)導納級聯(lián)而成。根據A矩陣性質，有

注意到上式滿足互易條件。T1參考面的歸一化輸入阻抗為對應的反射系數為

結果算得負載吸收功率為

Pl=P0(1－|Γ|2)=0.8P0

從這個例子可以看出：不少微波問題中，電壓、電流僅作為中間量出現。一旦把a參數轉化為輸入阻抗的形式，即可從反射系數Г研究功率的傳輸問題。

【例2.3.2】考慮兩相距λg的H面90°拐角所組成的U形拐角，如圖2.3-3所示網絡。若輸入功率為P0，終端接匹配負載，求系統(tǒng)反射系數Г和負載吸收功率Pl。圖2.3-3例2.3.2網絡圖解這個問題可看做兩只90°拐角的級聯(lián)。利用例2.3.1的結果，有

這兩個例子的結果表明，每只H面90°拐角反射20％的功率，而把兩只拐角級聯(lián)，則總反射功率達50%?？梢?，網絡級聯(lián)后的相互作用是十分重要的。2.3.2最佳傳輸問題

很多事物存在“二重性”。上面的例子啟示我們:有無可能利用相互作用達到最佳傳輸?

【例2.3.3】任意U形拐角是由兩只H面90°拐角和一段電長度為θ的傳輸線構成的。試求θ與反射和傳輸功率的關系。具體結構如圖2.3-4所示。圖2.3-4任意U形拐角和等效網絡解總的A矩陣相當于三個元件的級聯(lián)，即

由完全類似的步驟，得

容易得到負載功率PL與P0的關系為求最佳和最劣傳輸所對應的θ，可對上式分母求導并令其為零，即d(5+4sinθcosθ+3cos2θ)/dθ=0。于是，最佳傳輸有

θ=n×180°+116.565°

這時，所對應的反射系數模|Γ|min=0。

最劣傳輸有

θ=n×180°+26.565°

這時所對應的反射系數模|Γ|max=0.7454。

負載吸收功率曲線如圖2.3-5所示。圖2.3-5任意U形拐角功率傳輸曲線我們的興趣主要不在例子本身，而在于所處理的方法和能夠引出的重要概念。由上面的例子已經知道：一只90°拐角存在反射，兩只級聯(lián)則反射更大。但是把這兩只拐角和傳輸線段放在一起，則在適當條件下，可以做出反射很小的元件。這正是充分利用以反抵反相互作用的結果。

實際上，H面90°拐角可以做成如圖2.3-6的形式。

適當選擇Lm，可以得到一定帶寬的小反射元件。推薦的Lm＝0.38λg或0.55a。圖2.3-6H面90°拐角可以設想，能夠設計并利用多個反射點，使它們相互作用的結果有利于最大傳輸，各反射點之間由傳輸線段相連。根據這一思想，出現了多節(jié)阻抗變換器設計。這將在第4章中加以介紹。

由此可見，傳輸線段對于微波網絡所起的作用遠不是低頻電路中導線那樣的“配角”，而是在這里擔當舉足輕重的“角色”。這正是由微波波動特性所確定的。

2.4S參數

2.4.1S參數的基本性質

多端口網絡采用S參數來描述較為方便。S參數是聯(lián)系入射波和散射波的一組線性關系。對于如圖2.4-1的n端口網絡，有(2.4.1)或寫成緊湊形式

b=Sa

(2.4.2)

S參數有下列基本性質:

(1)互易性。

對于互易網絡，有

Sij=Sji(i，j＝1，2，3，…，n)

(2.4.3)圖2.4-1n端口網絡

(2)無耗性。定義

E=Pin－Psc

(2.4.4)

其中，Pin和Psc分別表示網絡全部的入射功率和散射功率。由S參數定義有

其中上標“+”表示共軛轉置矩陣。(2.4.5)(2.4.6)無耗網絡能量守恒，入射功率應等于散射功率，即

E=a+{I－S+S}a=0

(2.4.7)

其中I為單位陣。式中對任何激勵a都成立，故有

S+S=I

(2.4.8)這個性質常稱為無耗網絡的幺正性。

(3)雙口網絡輸入反射系數與負載反射系數的關系?？紤]如圖2.4-2所示的雙口網絡，容易得到Γin和ΓL的關系為(2.4.9)圖2.4-22.4.2兩個相同無耗網絡組成的級聯(lián)反射

考慮兩個相同的無耗網絡，中間由傳輸線段θ連接組成網絡的級聯(lián)反射。假定終端負載無反射(ΓL＝0)，如圖2.4-3所示。

由于ΓL＝0，由式(2.4.9)得到圖2.4-3中右面網絡的輸入端反射系數為S11，該反射系數經傳輸線段θ后，變?yōu)?/p>

S11e－j2θ，把其帶入式(2.4.9)，得到(2.4.10)圖2.4-3兩個相同無耗網絡組成的級聯(lián)由無耗網絡的幺正性條件，容易得到

于是有

上式中已應用了互易網絡條件，且均表示對應Sij的相角。若再引入參量

(2.4.15)(2.4.11)則有

或

其中(2.4.16)(2.4.17)這樣，十分明顯，當時，|Γin|取最小，且

|Γin|min=0這時所對應的最佳傳輸條件為(2.4.18)當時，|Γin|取最大，且(2.4.19)這時所對應的最劣傳輸條件為

θm=θp+90°

(2.4.20)

無論是何種情況，最佳傳輸和最劣傳輸所對應的θ都互差90°的奇數倍。因為式(2.4.18)和式(2.4.20)均可再任意加180°×n。

【例2.4.1】采用S參數研究例2.3.3的任意U形拐角的功率傳輸問題。

解可把任意U形拐角看做是兩只H面90°拐角組成的級聯(lián)反射，且每只拐角都是對稱網絡。由例2.3.1知右側拐角的輸入反射系數為0.4427ej116.585°，令其為網絡的S11，即

S11=0.4427ej116.585°

計及式(2.4.18)，并考慮到S11=S22，于是有

這時，所對應的|Γin|min=0。而最劣傳輸條件為

θm=θp－90°=26.565°

這時

與a矩陣分析結果完全一致。2.4.3廣義散射參數

一般情況下所定義的S參數取決于網絡本身，而不受外界電路的影響，但在電路理論中，它將隨端口所接負載的不同而不同。

圖2.4-4表示與電源電路相連接的n端口網絡N，其參考阻抗矩陣為(2.4.21)圖2.4-4n端口網絡端口電壓、端口電流和電源電壓分別為

n端口網絡的阻抗矩陣為(2.4.22)(2.4.23)它們分別是實頻率下對應量在整個復平面的解析延拓。

而對于所有復頻率s，最佳匹配條件是Z(s)=z(-s)=z*(s)。

用Ui(s)和Ii(s)表示入射電壓和入射電流，它們是在共軛匹配情況下的實際電壓和電流，即(2.4.24)(2.4.25)式中

是電源阻抗的偶部，也叫做z(s)的準埃爾米特部分。

在非共軛匹配的情況下，將有反射電壓和反射電流，分別用Ur(s)和Ir(s)表示，即(2.4.26)(2.4.27)根據傳輸線理論，實際工作電壓和電流分別為

電流散射矩陣和電壓散射矩陣的定義為

容易推得(2.4.28)(2.4.29)(2.4.30)此式說明，一般情況下，電流散射參數和電壓散射參數是不同的，這使實際使用很不方便，我們可以通過歸一化將它們統(tǒng)一起來。

考慮任一端口k上的有理阻抗zgk(s)的準埃爾米特部分rk(s)，容易看出，rk(s)是偶函數，它為兩個偶多項式之比。這就意味著rk(s)的極點和零點對于實軸和虛軸呈象限對稱。因此，可將rk(s)分解為如下因式:

rk(s)=hk(s)h*k(s)

(2.4.31)實現上式唯一分解的條件是:

(1)rk(s)在開LHS的極點屬于hk(s)，在開RHS的極點屬于h*k(s)。

(2)rk(s)在開RHS的零點屬于hk(s)，在開LHS的零點屬于h*k(s)。

(3)rk(s)在jω軸上的零點均等分配給hk(s)和h*k(s)。

歸一化入射波和歸一化反射波的定義為(2.4.32)歸一化散射矩陣S(s)定義為

b(s)=S(s)a(s)

(2.4.33)

最后得到(2.4.34)

2.5無耗互易網絡的幾個重要定理

【定理2.5.1】無耗互易雙端口網絡具有如下基本性質：(1)若一個端口匹配，則另一個端口自動匹配；

(2)若網絡是完全匹配的，即兩個端口均匹配，則必然是完全傳輸的；

(3)s11、s21和s22的相角只有兩個是獨立的，已知其中的兩個相角，則第三個相角便可確定。

【定理2.5.2】無耗互易三端口網絡不可能完全匹配，即三個端口不可能同時都匹配。

2.6參考面移動對網絡參數的影響

如圖2.6-1所示，已知由參考面T1，T2，NA1AD，Tn所構成網絡的散射矩陣為S，由參考面T1′，T2′，…，Tn′所構成的網絡的散射矩陣為S′，Ti′與Ti之間的傳輸線段的電長度為θi(i=1，…，n)。圖2.6-1參考面移動對網絡的影響根據S矩陣定義，有

不同參考面上歸一化入射波和反射波的關系為

即(2.6.1)其中diag表示對角矩陣，于是

即所以

各矩陣元之間的關系為

可以看出，參考面的移動只是改變了矩陣元的相位。

2.7散射矩陣的別列