適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破練四新人教A版必修第二冊

PAGE重難點(diǎn)突破練(四)重難點(diǎn)一空間中直線、平面的位置關(guān)系1.已知兩平面α,β平行,且a?α,下列三個命題:①a與β內(nèi)的全部直線平行;②a與β內(nèi)多數(shù)條直線平行;③a與β無公共點(diǎn).其中正確命題的個數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.02.若直線a不平行于平面α,則下列結(jié)論成立的是 ()A.α內(nèi)的全部直線都與直線a異面B.α內(nèi)不存在于a平行的直線C.α內(nèi)的直線都與a相交D.直線a與平面α有公共點(diǎn)3.給出以下結(jié)論:(1)直線a∥平面α,直線b?α,則a∥b;(2)若a?α,b?α,則a,b無公共點(diǎn);(3)若a?α,則a∥α或a與α相交;(4)若a∩α=A,則a?α.正確的有 ()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.若三個平面兩兩相交,且三條交線相互平行,則這三個平面把空間分成部分.

5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,所在直線與BD1異面的棱有條.

6.如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是正方體,在圖中,E,F分別是D1C1,B1B的中點(diǎn),畫出圖①②中有陰影的平面與平面ABCD的交線,并給出證明.7.如圖所示,G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長線上的一點(diǎn),E,F是棱AB,BC的中點(diǎn),試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線.(1)過點(diǎn)G及AC;(2)過三點(diǎn)E,F,D1.重難點(diǎn)二空間中直線、平面的平行1.平面α截一個三棱錐,假如截面是梯形,那么平面α必定和這個三棱錐的 ()A.一個側(cè)面平行B.底面平行C.僅一條棱平行D.某兩條相對的棱都平行2.有下列四個條件:①a?β,b?β,a∥b;②b?β,a∥b;③a∥b∥c,b?β,c?β;④a,b是異面直線,a∥c,b?β,c?β.其中能保證直線a∥平面β的條件是 ()A.①② B.①③ C.①④ D.②④3.(多選題)如圖,若Ω是長方體ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHC1B1后得到的幾何體,其中E為線段A1B1上異于A1,B1的點(diǎn),F為線段BB1上異于B,B1的點(diǎn),且EH∥A1D1,則下列結(jié)論中正確的是()A.EH∥FG B.EF∥HGC.Ω是棱柱 D.Ω是棱臺3題圖5題圖4.在三棱錐P-ABC中,PB=6,AC=3,G為△PAC的重心,過點(diǎn)G作三棱錐的一個截面,使截面平行于PB和AC,則截面的周長為.

5.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱CC1,C1D1,D1D,CD的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動,若MN∥平面B1BDD1,則點(diǎn)M的軌跡是6.如圖所示的一塊四棱柱木料ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是梯形,且CD∥AB.(1)要經(jīng)過面A1B1C1D1內(nèi)的一點(diǎn)P和側(cè)棱DD1將木料鋸開,應(yīng)怎樣畫線?(2)所畫的線之間有什么位置關(guān)系?7.如圖①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12AP,D為AP的中點(diǎn),E,F,G分別為PC,PD,CB的中點(diǎn),將△PCD沿CD折起,得到四棱錐P-ABCD,如圖②求證:在四棱錐P-ABCD中,AP∥平面EFG.重難點(diǎn)三空間直線、平面的垂直1.已知空間中三條不同的直線l,m,n和兩個不同的平面α,β,下列四個命題中正確的是 ()A.若α∥β,m?α,n?β,則m∥nB.若l⊥α,l⊥β,則α∥βC.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l⊥βD.若l⊥m,m⊥α,則l∥α2.如圖,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與兩平面α,β所成的角分別為π4和π6.過A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A',B',則AB∶A'B'等于 (A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶33.已知直線l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A?α,B?α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足為C,BD⊥平面α,垂足為D,AC=1,則BD=()A.2 B.1 C.32 D.4.(多選題)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面,C為圓上異于A,B的隨意一點(diǎn),AE⊥PC垂足為E,點(diǎn)F是PB上一點(diǎn),則下列推斷中正確的是 ()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC4題圖6題圖5.把正方形ABCD沿對角線AC折起,當(dāng)以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時,直線BD與平面ABC所成的角的大小為.

6.在三棱錐S-ABC中,AC⊥平面SBC,已知SC=a,BC=3a,SB=2a,則二面角S-AC-B的大小為.

7.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為AD的中點(diǎn).(1)證明:BE⊥平面PAD;(2)若PA=AB=2,求四棱錐P-ABCD的側(cè)面積.8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ADB=∠PDC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,M是棱PC上的點(diǎn).(1)證明:PD⊥底面ABCD;(2)若三棱錐A-BDM的體積是四棱錐P-ABCD體積的14,設(shè)PM=tMC,試確定t的值9.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC且BC1⊥A1C.(1)求證:平面ABC1⊥平面A1ACC1;(2)點(diǎn)D在邊A1C1上且C1D=13C1A1,證明在線段BB1上存在點(diǎn)E,使DE∥平面ABC1,并求此時BEB重難點(diǎn)突破練(四)重難點(diǎn)一1.B①中a不能與β內(nèi)的全部直線平行而是與多數(shù)條直線平行,有一些是異面直線;②正確;③依據(jù)定義a與β無公共點(diǎn),正確.2.D直線a不平行于平面α,則a與平面α相交或a?α.3.B結(jié)合直線與平面的位置關(guān)系可知,(1)(2)錯誤,(3)(4)正確.4.【解析】如圖所示,可以將空間劃分為7部分.答案:75.【解析】由異面直線的定義,知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,所在直線與BD1異面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6條.答案:66.【解析】如圖①所示,過點(diǎn)E作EN平行于BB1交CD于N,連接NB并延長交EF的延長線于M,連接AM,則直線AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.如圖②所示,延長DC,過點(diǎn)C1作C1M∥A1B交DC的延長線于點(diǎn)M,連接BM,則直線BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.證明如下:在圖①中,因為直線EN∥BF,所以B,N,E,F四點(diǎn)共面,因此EF與NB相交,交點(diǎn)為M.因為M∈EF,且M∈NB,而EF?平面AEF,NB?平面ABCD,所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點(diǎn).又因為點(diǎn)A是平面ABCD與平面AEF的公共點(diǎn),故直線AM為兩平面的交線.在圖②中,C1M在平面CDD1C1內(nèi),因此與DC的延長線相交,交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M為平面A1C1B與平面ABCD的公共點(diǎn),又點(diǎn)B也是這兩個平面的公共點(diǎn),因此直線BM是兩平面的交線.7.【解析】(1)畫法:連接GA交A1D1于點(diǎn)M,連接GC交C1D1于點(diǎn)N;連接MN,AC,則MA,CN,MN,AC為所求平面與正方體表面的交線.如圖①所示.(2)畫法:連接EF交DC的延長線于點(diǎn)P,交DA的延長線于點(diǎn)Q;連接D1P交CC1于點(diǎn)M,連接D1Q交AA1于點(diǎn)N;連接MF,NE,則D1M,MF,FE,EN,ND1為所求平面與正方體表面的交線.如圖②所示.重難點(diǎn)二1.C當(dāng)平面α∥平面ABC時,如圖(1)所示,截面是三角形,不是梯形,所以A,B不正確;當(dāng)平面α∥SA時,如圖(2)所示,此時截面是四邊形DEFG.又SA?平面SAB,平面SAB∩α=DG,所以SA∥DG.同理SA∥EF,所以EF∥DG.同理,當(dāng)平面α∥BC時,GF∥DE,但是截面是梯形,則四邊形DEFG中僅有一組對邊平行,所以平面α僅與一條棱平行.所以D不正確,C正確.2.C①若a?β,b?β,a∥b,則直線a∥平面β,故符合題意;②若b?β,a∥b時,則a?β或直線a∥平面β,故不符合題意;③若a∥b∥c,b?β,c?β時,則a?β或直線a∥平面β,故不符合題意;④a,b是異面直線,a∥c,b?β,c?β,則直線a∥平面β,故符合題意.綜上所述,符合題意的條件是①④.3.ABC因為EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1,又EH?平面BCC1B1,B1C1?平面BCC1B1,所以EH∥平面BCC1B1,又EH?平面EFGH,平面EFGH∩平面BCC1B1=FG,所以EH∥FG,故EH∥FG∥B1C1,所以選項A,C正確,D錯誤;因為平面ABB1A1∩平面EFGH=EF,平面CDD1C1∩平面EFGH=GH,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,所以EF∥GH,故B正確.4.【解析】如圖,過點(diǎn)G作EF∥AC,分別交PA,PC于點(diǎn)E,F,過E,F分別作EN∥PB,FM∥PB,分別交AB,BC于點(diǎn)N,M,連接MN,則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面),且EF=MN=23AC=2,FM=EN=13PB答案:85.【解析】連接HN,FH,FN.因為FH∥BB1,HN∥BD,FH∩HN=H,所以平面FHN∥平面B1BDD1,又平面FHN∩平面EFGH=FH,所以當(dāng)M∈FH時,MN?平面FHN,所以MN∥平面B1BDD1.答案:線段FH6.【解析】(1)如圖所示,連接D1P并延長交A1B1于E,過E作EF∥AA1交AB于F,連接DF,則D1E,EF,FD就是應(yīng)畫的線.(2)因為DD1∥AA1,EF∥AA1,所以D1D∥EF.所以D1D與EF確定一個平面α.又因為平面AC∥平面A1C1,α∩平面AC=DF,α∩平面A1C1=D1E,所以D1E∥DF.明顯DF,D1E都與EF相交.7.【證明】在四棱錐P-ABCD中,E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),所以EF∥CD.因為AB∥CD,所以EF∥AB.因為EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,EF?平面EFG,EG?平面EFG,所以平面EFG∥平面PAB.因為AP?平面PAB,所以AP∥平面EFG.重難點(diǎn)三1.B對于A,若α∥β,m?α,n?β,則m與n平行或異面,故A錯誤;對于B,若l⊥α,l⊥β,則α∥β,故B正確;對于C,如圖,α⊥β,α∩β=m,l⊥m,l?β,故C錯誤;對于D,如圖,l⊥m,m⊥α,l?α,故D錯誤.2.A由已知條件可知∠BAB'=π4,∠ABA'=π6,設(shè)AB=2a,則BB'=2asinπ4=2a,A'B=2acosπ6所以在Rt△BB'A'中,得A'B'=a,所以AB∶A'B'=2∶1.3.A因為AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.如圖所示,連接OD,則OAOB=AC因為OA=AB,所以O(shè)AOB=1因為AC=1,所以BD=2.4.ABD在A中,因為C為圓上異于A,B的隨意一點(diǎn),所以BC⊥AC,因為PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,故A正確;在B中,因為BC⊥平面PAC,AE?平面PAC,所以BC⊥AE,因為AE⊥PC,PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC,因為EF?平面PBC,所以AE⊥EF,故B正確;在C中,若AC⊥PB,則AC⊥平面PBC,則AC⊥PC,與AC⊥PA沖突,故AC與PB不垂直,故C錯誤;在D中,因為AE⊥平面PBC,AE?平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC,故D正確.5.【解析】底面積不變,在折疊過程中,高是先增加后減小.設(shè)AC的中點(diǎn)為O,當(dāng)DO⊥平面ABC時,DO即為高,此時高最大.此時△DOB為等腰直角三角形,直線BD與平面ABC所成角為45°.答案:45°6.【解析】因為AC⊥平面SBC,SC,BC?平面SBC,所以AC⊥SC,AC⊥BC,所以二面角S-AC-B的平面角為∠SCB.又SC=a,BC=3a,SB=2a,所以SB2=SC2+BC2,故△SCB為直角三角形,所以∠SCB=90°.答案:90°7.【解析】(1)如圖,連接BD,因為底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形.因為E為AD的中點(diǎn),所以BE⊥AD.①又因為PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以BE⊥PA.②又因為AD∩PA=A,③由①②③知:BE⊥平面PAD.(2)連接AC,易得AC=23,在Rt△PAB中,PB=22,因為PA=2,AC=23,PA⊥AC,所以PC=4,在△PBC中,由余弦定理得cos∠PBC=-24所以sin∠PBC=144從而S△PCB=12PB·BC·sin∠PBC=12×22×2×144又因為S△PAD=12·PA·AD=1由對稱性知:S△PAD=S△PAB,S△PCD=S△PCB,所以四棱錐P-ABCD的側(cè)面積S=2S△PAD+2S△PCB=4+27.8.【解析】(1)因為∠ADB=90°,平面PAD⊥底面ABCD,所以AD⊥BD,平面PAD∩底面ABCD=AD,BD?底面ABCD,所以BD⊥平面PAD,PD?平面PAD,所以BD⊥PD,又∠PDC=90°,所以PD⊥DC,BD∩DC=D,所以PD⊥底面ABCD;(2)設(shè)PD=h,M究竟面ABCD的距離為h',因為三棱錐A-BDM的體積是四棱錐P-ABCD體積的14所以VA-BDM=VM-ABD=14VP-ABCD,又VM-ABD=13S△ABD·h',VP-ABCD=13S?ABCD·h,