湖北省襄陽市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試試題

Page1湖北省襄陽市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A.B.C.D.或2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則為（

）A.B.C.D.28或-213.方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A.B.C.D.4.過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A.B.C.D.5.設(shè)不同直線：，：，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，，則中最大的是（

）A.B.C.D.7.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A.B.C.D.8.法國數(shù)學(xué)家、化學(xué)家和物理學(xué)家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何之父”，他創(chuàng)立的畫法幾何學(xué)推動(dòng)了空間解析幾何的發(fā)展，被廣泛應(yīng)用于工程制圖當(dāng)中．過橢圓外的一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，若兩條切線相互垂直，則該點(diǎn)的軌跡是以橢圓的中心為圓心、以為半徑的圓，這個(gè)圓叫做橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過圓E上的動(dòng)點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，分別與圓E交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A.橢圓C的離心率為B.M到C的右焦點(diǎn)的距離的最大值為C.若動(dòng)點(diǎn)N在C上，記直線AN，BN的斜率分別為，，則D.面積的最大值為二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A.數(shù)列的公差為B.C.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列D.10.已知圓，直線，則下列命題中正確的有（

）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓被軸截得的弦長為C.直線與圓恒相離D.直線被圓截得最短弦長時(shí)，直線的方程為11.拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，斜率為，且交拋物線于、兩點(diǎn)點(diǎn)在軸的下方，拋物線的準(zhǔn)線為，交于，交于，點(diǎn)，為拋物線上任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A.若，則B.的最小值為C.若，則D.12.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，有下列推斷，其中正確的是（

）A.平面平面B.平面C.異面直線與所成角的取值范圍是D.三棱錐的體積不變?nèi)⑻羁疹}（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.圓與圓的公切線共有__________條.14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________．15.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最大值為__________．16.過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_________．四、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中，已知點(diǎn)，，．(1)求BC邊上中線的方程．(2)若某始終線過B點(diǎn)，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．18.已知圓的方程為．(1)求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；(2)直線過點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，求直線的方程．19.數(shù)列（）的前項(xiàng)和滿意.(1)求；(2)設(shè)（）的前項(xiàng)和為，求.20.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B（－1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，x軸是∠PBQ的角平分線，為垂足，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，說明理由．21.如圖①，已知矩形的長為4，寬為，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且.如圖②，將沿折起到的位置，使得平面平面，平面平面.(1)求證：平面；(2)在線段（不包含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.22.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的右頂點(diǎn)，，P是橢圓C上一點(diǎn)，M，N分別為線段的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長為4．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若不過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，且，推斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．?dāng)?shù)學(xué)答案1-8DACACCBD9-12ABCADABDABD414.6n－5（n∈N*）15.16.17.解：在中，已知點(diǎn)，，．（1）線段BC的中點(diǎn)為，即，故BC邊上中線的方程為，即；（2）直線過B點(diǎn)且x軸上截距是y軸上截距的2倍，(i)若直線過原點(diǎn)，則直線方程為，即；(ii)若直線不過原點(diǎn)，設(shè)y軸上截距為m，則直線方程為，代入B點(diǎn)解得，故直線方程為，即；故該直線的一般式方程為或.18.解：（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，明顯與相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)，由幾何關(guān)系可得，解得，故，即，故過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為或；（2）設(shè)，可設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線或，即或.??????????19.解：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1+2+1=4，②當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，，∴；（2）由（1）bn=an?2n，①當(dāng)n=1時(shí)，T1=8；當(dāng)n=2時(shí)，T2=28，②當(dāng)n∈N*且n≥3時(shí)，Tn=，∴2?Tn=，-Tn=∴-Tn=8+22+2?23+2?24+…+2?2n-（2n+1）?2n+1=8+22+2?（23+24+…+2n）-（2n+1）?2n+1==12+2n+2-24-n?2n+2-2n+1，∴，由①②得，（n∈N*）20.解：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)P(x,y),則由勾股定理得+=+,化簡即得圓心的軌跡C的方程為=8x；(2)證明:由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k0)，聯(lián)立得+2(kb-4)x+=0，?由=4->0,得kb<2，設(shè)點(diǎn)P(,),Q(,),則+=-,=，因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線,所以kPB+kQB=0,即kPB+kQB=+=???????==0,所以k+b=0,即b=-k,所以l的方程為y=k(x-1)，故直線l恒過定點(diǎn)D(1,0)，于是|BD|為定值且BND為直角三角形且|BD|為斜邊，所以BD中點(diǎn)R滿意|NR|為定值|NR|=|BD|=1此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0,0).21.(1)證明:BMCD,又BM平面A'CD,CD平面A'CD,BM平面A'CD.又BM平面A'MB,平面A'MB平面A'CD=l,lBM,l平面BMDC,BM平面BMDC,l平面BMDC.(2)解：假設(shè)存在點(diǎn)P,由題意知3AM=MB,AB=4,AM=1,MB=3,又BC=AD=,由勾股定理可得CM=2,MD=2,+=,CMMD，又平面A'MD平面BMDC,平面A'MD平面BMDC=MD,CM平面BMDC,CM平面A'MD,過點(diǎn)M作垂直于平面BMDC的直線MH,以M點(diǎn)為原點(diǎn),分別以MC,MD,MH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則M(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),A'(0,,),則=(0,,),=(2,0,0),=(-2,2,0),設(shè)=(,,)為平面A'MC的法向量,=0,=0,,則=0,令=,則=-1,=(0,,-1)為平面A'MC的一個(gè)法向量，設(shè)=,由題意,知(0,1),則=+=+=(2-2,2,0),設(shè)=(,,)為平面A'MP的法向量,=0,=0,,令=,則=,=-1,則=(,,-1)為平面A'MP的一個(gè)法向量,由|<,>|=得=,解得=(0,1)，在線段DC(不包含端點(diǎn))上存在一點(diǎn)P,使得平面A'MP與平面A'MC所成角的余弦值為,此時(shí)點(diǎn)P為線