甘肅省酒泉市瓜州縣重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題

甘肅省酒泉市瓜州縣重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)全集U={x∣x=2k，k∈Z}，集合M={x∣x=4k，A．{x∣x=4k?1，k∈Z} C．{x∣x=4k?3，k∈Z} 2．已知復(fù)數(shù)z=1?i，則1zA．1+12i B．1?12i3．已知雙曲線C：x2a2?y2bA．x2?yC．3x2204．下列可能是函數(shù)y=xA． B．C． D．5．已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓，過圓錐高的中點(diǎn)且與底面平行的平面截此圓錐所得的圓臺體積是（）A．73π24 B．3π6 6．記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期為T，若2π3A．32 B．52 C．17．甲?乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地解答同一個(gè)問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是35和1A．415‘ B．1115 C．2118．已知直線y=k1x與y=k2A．4e B．2a C．4 二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知向量a=(xA．若a∥bB．若a⊥bC．當(dāng)x<2時(shí)，a與b的夾角為銳角D．若x=1，則a與b的夾角的余弦值為1010．若一組不完全相同的數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為x，極差為a，中位數(shù)為b，方差為s2，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)x后得到一組新數(shù)據(jù)A．x'=x B．a(chǎn)'=a 11．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=?3(x?1)過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與CA．p=2 B．|MN|=C．以MN為直徑的圓與l相切 D．△OMN為等腰三角形12．同學(xué)們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線，懸鏈線的相關(guān)理論在工程?航海?光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為f(x)=aex+be?x（其中a，bA．a(chǎn)=b是函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的充分不必要條件B．a(chǎn)+b=0是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件C．如果ab<0，那么f(x)為單調(diào)函數(shù)D．如果ab>0，那么函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．某班有48名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N(80，σ2)，且成績在14．與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在直線2x?y+6=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.15．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個(gè).（用數(shù)字作答）16．正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段DD1和線段AA1上，且D1四、解答題：本大題共6小題?共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.17．已知數(shù)列{an}（1）求數(shù)列{a（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an18．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a=42，b=5，c=7（1）求cosA（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且BD=3CD，求AD．19．某中學(xué)對50名學(xué)生的“學(xué)習(xí)興趣”和“主動預(yù)習(xí)”情況進(jìn)行長期調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：主動預(yù)習(xí)不太主動預(yù)習(xí)合計(jì)學(xué)習(xí)興趣高18725學(xué)習(xí)興趣一般61925合計(jì)242650（1）現(xiàn)從“學(xué)習(xí)興趣一般”的25名學(xué)生中，任取2人，用X表示其中“會主動預(yù)習(xí)”的學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）依據(jù)小概率值α=0.參考數(shù)據(jù)?附表及公式：χ2α0.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.82820．如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，AC∥DE，且（1）求證：平面ABE⊥平面ABC；（2）求直線AE與平面BDE所成角的余弦值.21．已知橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）M，N是橢圓C上的兩個(gè)動點(diǎn)（M，N與點(diǎn)A不重合），直線AM，AN的斜率之和為4，作AH⊥MN于H.是否存在定點(diǎn)P，使得22．已知函數(shù)f(x)=e（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】設(shè)全集U={x∣x=2k，k∈Z}，集合M={x∣x=4k，k∈Z}={x∣x=2×2k，k∈Z}，

2．【答案】D【解析】【解答】已知復(fù)數(shù)z=1?i，則1=故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，從而由復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算法則得出所求復(fù)數(shù)。3．【答案】B【解析】【解答】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的焦距為25，所以2c=25，所以c=5，(1)，

又因?yàn)辄c(diǎn)P(2，1)在雙曲線C的漸近線上，所以點(diǎn)P在雙曲線C的漸近線y=4．【答案】D【解析】【解答】解：函數(shù)定義域?yàn)镽，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)x=2時(shí)，y=x故答案為：D.

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和特殊值逐項(xiàng)判斷即可.5．【答案】A【解析】【解答】設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線長為l，

已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓，所以πrl=2πl(wèi)π=2πr，則r=1l=2，

所以該圓錐的高為h=l2-r2=4-1=3，所以該圓錐的體積為6．【答案】C【解析】【解答】記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期為T，所以T=2πω，所以ω=2πT，

若2π3<T<π，則1π<1T<32π，所以2<2πT<3，則2<ω<3，

因?yàn)閥=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3π2，2)中心對稱，

所以7．【答案】D【解析】【解答】設(shè)事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個(gè)問題被解答”，又因?yàn)榧?乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地解答同一個(gè)問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是35和13，則P(A)=35，P(B)=13，

故P8．【答案】A【解析】【解答】已知直線y=k1x與y=k2x(k1>k2)是曲線y=ax+2ln|x|(a∈R)的兩條切線，

所以曲線的切線過原點(diǎn)O(0，0)，

當(dāng)x>0時(shí)，曲線為y=ax+2lnx(a∈R)，

設(shè)x1>0，直線y=k1x在曲線上的切點(diǎn)為(x1，ax1+2lnx1)，y'=a+2x1，

所以切線為：y-(ax1+2lnx19．【答案】A,B,D【解析】【解答】已知向量a=(x，1)，b=(?1，2)，

對于A，若a∥b，則2x=-1，所以x=?12，所以A對；

對于B，若a⊥b，則a→·b→=0，所以-x+2=0，則x=2，所以B對；

對于C，當(dāng)x=-12時(shí)，則a→=(-12，1)，所以10．【答案】A,B【解析】【解答】若一組不完全相同的數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為x，極差為a，中位數(shù)為b，方差為s2，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)x后得到一組新數(shù)據(jù)x，x1，x2，?，xn，其平均數(shù)為x'=x-+x11．【答案】A,C【解析】【解答】由題意作圖如下：

對于A，直線y=?3(x?1)過點(diǎn)(1，0)，所以拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F為(1，0)，

所以p2=1，p=2，所以A對；

對于B，由選項(xiàng)A知p=2得出2p=4，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=4x，

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由y12．【答案】B,C,D【解析】【解答】對于A，當(dāng)a=b時(shí)，函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

f(-x)=ae-x+bex=f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；

當(dāng)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，f(x)-f(-x)=0，故(a-b)ex-(a-b)e-x=0，

所以a-b=0，所以a=b，所以a=b是函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的充要條件，所以A錯(cuò)‘

對于B，當(dāng)a+b=0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

f(x)+f(-x)=(a+b)ex+(a+b)e-x=0，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，f(x)+f(-x)=(a+b)ex+(a+b)e-x=0，所以a+b=0，

所以a+b=0是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件，所以B對；

對于C，f'(x)=aex-be?x，因?yàn)閍b<0，

當(dāng)a>0，b<0時(shí)，則f'(x)=aex-be?x>013．【答案】8【解析】【解答】由X服從正態(tài)分布N(80，σ2)，由正態(tài)密度曲線的對稱性為x=80，成績在[80，14．【答案】(x+2)【解析】【解答】設(shè)圓心C(a，b)，因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切，則半徑為r=a=b，

且圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，所以a=b，(1)，

又因?yàn)閳A心在直線2x?y+6=0上，所以2a-b+6=0，(2)，(1)(2)聯(lián)立得出a=-6b=-6或a=-2b=2，

所以r=2或r=6，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+215．【答案】225【解析】【解答】根據(jù)題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬位與個(gè)位數(shù)字相同且不能為0，千位與十位數(shù)字相同，求在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)有兩類方法：

最多一個(gè)0：取奇數(shù)字有A51種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有A41種，它們排入數(shù)位有A22種，取偶數(shù)字占百位有A51種，所以滿足要求的不同的“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是A51A41A216．【答案】10???????【解析】【解答】依題意，在BB1上取點(diǎn)H，使得B1H=13BB1，在CC1上取點(diǎn)G，使得CG=13CC1，連接FH，EG，HG，D1H，D1G，作出以下圖形，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，AA1∥BB1，AA1=BB1，

由已知可得，A1F=12AF=13AA1，又B1H=13BB1，所以B1H=1317．【答案】（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則a1>0，q>0，則q2+q?20=0，解得q=4或（2）解：bn所以T=(1+4+16+?+=1×(1?【解析】【分析】（1）利用數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，所以得出公比為正，再利用a5=256，a3+a4=20a2結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而解方程組得出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比的值，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出數(shù)列{a18．【答案】（1）解：在△ABC中，因?yàn)閍=42，b=5，c=7由余弦定理可得cos（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，且BD=3CD，所以BD=32，CD=又因?yàn)閏osB=在△ABD中，由余弦定理得AD2=【解析】【分析】(1)由已知利用余弦定理即可求解cosA的值；

(2)由已知可求BD的值，進(jìn)而利用余弦定理可求cosB的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值.19．【答案】（1）解：依題意，隨機(jī)變量X～H(2，6，X012P57191所以X的數(shù)學(xué)期望是E(X)=0×（2）解：提出零假設(shè)H0χ2因此在犯錯(cuò)率小于0.001的條件下，認(rèn)為“學(xué)習(xí)興趣”與“主動預(yù)習(xí)”有關(guān).【解析】【分析】（1）利用已知條件得出隨機(jī)變量滿足超幾何分布，進(jìn)而得出隨機(jī)變量的分布列，再結(jié)合隨機(jī)變量的分布列求數(shù)學(xué)期望公式，進(jìn)而得出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.

（2）利用已知條件結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，所以在犯錯(cuò)率小于0.001的條件下，認(rèn)為“學(xué)習(xí)興趣”與“主動預(yù)習(xí)”有關(guān).20．【答案】（1）證明：分別取BC?BA的中點(diǎn)M?N，連接DM?MN?EN，∵M(jìn)?N分別是BC?BA的中點(diǎn)，∴MN∥AC，且AC=2MN，又∵AC∥DE，且AC=2DE，∴MN∥DE且MN=DE，可得四邊形MNED是平行四邊形，可知EN∥DM，∵DB=DC?BM=CM，∵AC⊥平面BCD，DM?平面∵AC∩BC=C，AC，∴DM⊥平面ABC，結(jié)合EN∥DM，得EN⊥平面ABC，又∵EN?平面ABE，∴平面ABE⊥平面（2）解：由（1）知DM⊥平面ABC，AC⊥BC即以MN?MB?MD所在直線為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得A(所以AE=(?1，1，3)，BD=(0，?1，3)，∵cos∴若AE與平面BDE的所成角為α，則sinα=155，可得∴直線AE與平面BDE的余弦值為105【解析】【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)，進(jìn)而得出線段平行和線段相等，再結(jié)合平行四邊形得出線線平行，再利用等腰三角形三線合一證出線線垂直，得到證出線面垂直，最后由線面垂直證出面面垂直.（2）由（1）結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理證出線線垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求得直線AE與平面BDE的余弦值.21．【答案】（1）解：由題意可得b=1，ca=63（2）解：設(shè)直線MN為x=my+n，聯(lián)立橢圓C：(m2+3)y2則y1+y2=?∴=2m?∴m=n+12，∴直線MN可化為∴直線MN過定點(diǎn)Q(?1又A(0