2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第01講計(jì)數(shù)原理(三大題型)(講義)(學(xué)生版+解析)

第01講計(jì)數(shù)原理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：分類加法計(jì)數(shù)原理 4知識(shí)點(diǎn)2：分步乘法計(jì)數(shù)原理 4知識(shí)點(diǎn)3：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 5題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 5題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 6題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 704真題練習(xí)·命題洞見 805課本典例·高考素材 906易錯(cuò)分析·答題模板 11易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩種計(jì)數(shù)原理的概念理解不夠深刻 11答題模板：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 12

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）分類加法計(jì)數(shù)原理（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理2020年上海卷第10題，5分2016年上海卷第8題，3分今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．（2）會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題．

知識(shí)點(diǎn)1：分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．【診斷自測(cè)】4．已知A，B兩個(gè)公司承包6項(xiàng)工程，每個(gè)公司至少承包2項(xiàng)，則承包方式共有（

）A．24種 B．70種 C．48種 D．50種知識(shí)點(diǎn)2：分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．注意：兩個(gè)原理及其區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理．分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對(duì)“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個(gè)步驟，而且這幾個(gè)步驟缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這個(gè)步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．當(dāng)然，在解決實(shí)際問題時(shí)，并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求方法數(shù)．對(duì)于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)排列組合問題的很好方法．【診斷自測(cè)】14．如圖，無人機(jī)光影秀中，有架無人機(jī)排列成如圖所示，每架無人機(jī)均可以發(fā)出種不同顏色的光，至號(hào)的無人機(jī)顏色必須相同，、號(hào)無人機(jī)顏色必須相同，號(hào)無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這架無人機(jī)同時(shí)發(fā)光時(shí)，一共可以有（

）種燈光組合.A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)3：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理．【診斷自測(cè)】1．用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【典例1-1】（2024·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．28 D．36【典例1-2】從4名男生，3名女生中選出3人（可以一種性別）到校學(xué)生會(huì)任職，女生人數(shù)不多于男生人數(shù)，那么不同的選法種數(shù)有（

）種.A．23 B．22 C．24 D．26【方法技巧】分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．（2）分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏．【變式1-1】（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【變式1-2】在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

）個(gè)A．44 B．45 C．54 D．55【變式1-3】紅黃藍(lán)三種不同顏色的小球各兩個(gè)，分別放置在正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)上，共有幾種不同的放置方法（

）A．7 B．8 C．4 D．5【變式1-4】定義“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如116，431，則所有幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．21 C．35 D．36【變式1-5】某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地．推選1名優(yōu)秀團(tuán)員為總負(fù)責(zé)人，不同的選法種數(shù)是（

）A．480 B．24 C．14 D．18【變式1-6】書架上有10本不同的自然科學(xué)圖書和9本不同的社會(huì)科學(xué)圖書，甲同學(xué)想從中選出1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．9種 B．10種 C．19種 D．90種題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【典例2-1】（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有4個(gè)同學(xué)站成一排，將甲、乙2個(gè)同學(xué)加入排列，保持原來4個(gè)同學(xué)順序不變，不同的方法共有（

）種A．10 B．20 C．30 D．60【典例2-2】編號(hào)為1，2，3，4的四位同學(xué)參觀某博物館，該博物館共有編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)門，若規(guī)定編號(hào)為1，2，3，4的四位同學(xué)進(jìn)入博物館不能走與自己編號(hào)相同的門，則四位同學(xué)用不同的方式進(jìn)入博物館的方法種數(shù)為（

）A．12 B．16 C．81 D．256【方法技巧】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．（2）將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．【變式2-1】已知乘積展開后共有60項(xiàng)，則的值為（

）A．5 B．7 C．10 D．12【變式2-2】（2024·高三·江蘇徐州·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個(gè)城市中任選一個(gè)前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（

）A．18種 B．48種 C．108種 D．192種【變式2-3】某農(nóng)學(xué)院計(jì)劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實(shí)驗(yàn)田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田中，其他三塊實(shí)驗(yàn)田選種水稻品種，則不同種法有（

）12345A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種【變式2-4】（2024·高三·河南·期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個(gè)側(cè)面有各不相同的圖案）時(shí)，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在積木的6個(gè)面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（

）A．216 B．360 C．720 D．1080【變式2-5】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則滿足方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2024·高三·全國·自主招生）展開式共項(xiàng).【典例3-2】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）若從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是.【方法技巧】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)（1）當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．（2）分類時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖．（3）對(duì)于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步．【變式3-1】用，，，，，這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第個(gè)數(shù)是．【變式3-2】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上嚴(yán)格增函數(shù)的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是【變式3-3】從六個(gè)數(shù)字中選5個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，且3不在百位，共有種．【變式3-4】如圖，一只螞蟻位于點(diǎn)M處，去搬運(yùn)位于N處的糖塊，的最短路線有條．1．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（上海卷））如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．362．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷Ⅱ））5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同報(bào)名方法有（

）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種3．（2006年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式.（結(jié)果用數(shù)值表示）1．2160有多少個(gè)不同的正因數(shù)？2．在國慶長假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法？易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩種計(jì)數(shù)原理的概念理解不夠深刻易錯(cuò)分析：對(duì)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的理解不夠深刻導(dǎo)致錯(cuò)誤.【易錯(cuò)題1】某校計(jì)劃在五四青年節(jié)期間舉行歌唱比賽，高二年級(jí)某班從本班5名男生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學(xué)校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（

）A．80種 B．90種 C．100種 D．120種【易錯(cuò)題2】有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，且醫(yī)療小組中男、女醫(yī)生都要有，則不同的選法共有（

）A．135種 B．150種 C．165種 D．270種答題模板：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1、模板解決思路在解決計(jì)數(shù)原理相關(guān)的應(yīng)用問題時(shí)，首要步驟是進(jìn)行深入的分析，明確在計(jì)算之前是需要進(jìn)行分類討論還是分步操作.分類時(shí)必須確保每一類別獨(dú)立且完整，無重疊也無遺漏；分步時(shí)則需保證每個(gè)步驟的連貫性和完整性.隨后，根據(jù)問題的具體需求，選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)數(shù)原理來進(jìn)行計(jì)算，以確定總的方法數(shù)或可能性.2、模板解決步驟(1)分類加法計(jì)數(shù)原理第一步：將完成一件事情的方案分成若干類.第二步：求出每一類的方法數(shù).第三步：將每一類的方法數(shù)相加得到結(jié)果.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理第一步：將完成一件事的過程分成若干步.第二步：求出每一步的方法數(shù).第三步：將每一步的方法數(shù)相乘得到結(jié)果.【經(jīng)典例題1】用這六個(gè)數(shù)字，可以排成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）【經(jīng)典例題2】已知均為集合中的元素，則對(duì)應(yīng)的所有可能的直線有條．第01講計(jì)數(shù)原理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：分類加法計(jì)數(shù)原理 4知識(shí)點(diǎn)2：分步乘法計(jì)數(shù)原理 4知識(shí)點(diǎn)3：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 6題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 6題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 9題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 1104真題練習(xí)·命題洞見 1505課本典例·高考素材 1606易錯(cuò)分析·答題模板 17易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩種計(jì)數(shù)原理的概念理解不夠深刻 17答題模板：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 18

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）分類加法計(jì)數(shù)原理（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理2020年上海卷第10題，5分2016年上海卷第8題，3分今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．（2）會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題．

知識(shí)點(diǎn)1：分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．【診斷自測(cè)】4．已知A，B兩個(gè)公司承包6項(xiàng)工程，每個(gè)公司至少承包2項(xiàng)，則承包方式共有（

）A．24種 B．70種 C．48種 D．50種【答案】D【解析】根據(jù)題意，分三種情況：①A公司承包2項(xiàng)工程，剩余4項(xiàng)工程B公司承包，則有種方式，②A公司承包3項(xiàng)工程，剩余3項(xiàng)工程B公司承包，則有種方式，③A公司承包4項(xiàng)工程，剩余2項(xiàng)工程B公司承包，則有種方式，所以承包方式共有種方式.故選：D知識(shí)點(diǎn)2：分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．注意：兩個(gè)原理及其區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理．分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對(duì)“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個(gè)步驟，而且這幾個(gè)步驟缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這個(gè)步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．當(dāng)然，在解決實(shí)際問題時(shí)，并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求方法數(shù)．對(duì)于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)排列組合問題的很好方法．【診斷自測(cè)】14．如圖，無人機(jī)光影秀中，有架無人機(jī)排列成如圖所示，每架無人機(jī)均可以發(fā)出種不同顏色的光，至號(hào)的無人機(jī)顏色必須相同，、號(hào)無人機(jī)顏色必須相同，號(hào)無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這架無人機(jī)同時(shí)發(fā)光時(shí)，一共可以有（

）種燈光組合.A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可知，至號(hào)的無人機(jī)顏色有4種選擇；當(dāng)、號(hào)無人機(jī)顏色與至號(hào)的無人機(jī)顏色相同時(shí)，號(hào)無人機(jī)顏色有3種選擇；當(dāng)、號(hào)無人機(jī)顏色與至號(hào)的無人機(jī)顏色不同時(shí)，、號(hào)無人機(jī)顏色有3種選擇，號(hào)無人機(jī)顏色有2種選擇；再由分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得共有種.故選：D知識(shí)點(diǎn)3：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理．【診斷自測(cè)】1．用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，這三位數(shù)是偶數(shù)，則說明其個(gè)位數(shù)為偶數(shù)，即0，2，4，有3種選擇，而由于這是一個(gè)三位數(shù)，所以百位數(shù)不能是0，有5種選擇，因?yàn)榇嬖谥貜?fù)數(shù)字，由此分類討論:①當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，則百位數(shù)有5種選擇，十位數(shù)有兩種情況，與百位數(shù)一樣，只有一種選擇，與個(gè)位數(shù)一樣，也只有一種選擇;②當(dāng)個(gè)位數(shù)為2時(shí)，如果百位數(shù)為2，則十位數(shù)有6種選擇，如果百位數(shù)不為2，則百位數(shù)有4種選擇，此時(shí)十位數(shù)可以與百位數(shù)或個(gè)位數(shù)相同，有2種選擇:當(dāng)個(gè)位數(shù)為4時(shí)，如果百位數(shù)為4，則十位數(shù)有6種選擇，如果百位數(shù)不為4，則百位數(shù)有4種選擇，十位數(shù)可以與百位數(shù)或個(gè)位數(shù)相同，有2種選擇綜上所述，.故選：B.題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【典例1-1】（2024·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．28 D．36【答案】D【解析】若兩人所選影片均不同，此時(shí)小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，小華從剩余的3部中選擇兩部，此時(shí)共有種方案，若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有種方案，若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有種選擇，再給小華從剩余3部中選擇一部，有種選擇，故共有種方案，綜上，共有種方案.故選：D【典例1-2】從4名男生，3名女生中選出3人（可以一種性別）到校學(xué)生會(huì)任職，女生人數(shù)不多于男生人數(shù)，那么不同的選法種數(shù)有（

）種.A．23 B．22 C．24 D．26【答案】B【解析】由題意知，選取的3人中女生人數(shù)不多于男生人數(shù)，包括2男1女和3男0女兩種情況.若3人中有2男1女，則不同的選法共有（種）；若3人中有3男0女，則不同的選法共有（種）.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所有不同的選法共有（種）.故選：B【方法技巧】分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．（2）分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏．【變式1-1】（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】B【解析】①A校去乙地有種；②A校與另一所學(xué)校去丙地有種，③A校單獨(dú)去丙地有種，所以共有種，故選：B．【變式1-2】在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

）個(gè)A．44 B．45 C．54 D．55【答案】B【解析】對(duì)于一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字能取的值分別為：0~9之間的任意一個(gè)數(shù)字，十位上的數(shù)字能取的值為：1~9之間的任意一個(gè)數(shù)字，為使個(gè)位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，當(dāng)個(gè)位上的數(shù)字是0時(shí)，十位上的數(shù)字可以取1~9之間的任意一個(gè)數(shù)字，共9種情況；當(dāng)個(gè)位上的數(shù)字不是0時(shí)，只需從1~9之間任取兩個(gè)數(shù)字，較大的數(shù)字當(dāng)做十位上的數(shù)字即可，此時(shí)共有.故滿足題意的兩位數(shù)共有個(gè).故選：B【變式1-3】紅黃藍(lán)三種不同顏色的小球各兩個(gè)，分別放置在正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)上，共有幾種不同的放置方法（

）A．7 B．8 C．4 D．5【答案】D【解析】如圖，用對(duì)角線線段代表正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)上小球及顏色，所以共五種.故選：D.【變式1-4】定義“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如116，431，則所有幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．21 C．35 D．36【答案】D【解析】按照百位數(shù)字進(jìn)行分類討論：當(dāng)百位數(shù)是1，后兩位相加為7，有8種；當(dāng)百位數(shù)是2，后兩位相加為6，有7種；當(dāng)百位數(shù)是3，后兩位相加為5，有6種；當(dāng)百位數(shù)是4，后兩位相加為4，有5種；當(dāng)百位數(shù)是5，后兩位相加為3，有4種；當(dāng)百位數(shù)是6，后兩位相加為2，有3種；當(dāng)百位數(shù)是7，后兩位相加為1，有2種；當(dāng)百位數(shù)是8，后兩位相加為0，有1種；總共有種.故選：D.【變式1-5】某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地．推選1名優(yōu)秀團(tuán)員為總負(fù)責(zé)人，不同的選法種數(shù)是（

）A．480 B．24 C．14 D．18【答案】B【解析】采用分類計(jì)數(shù)原理，有種方法.故選：B【變式1-6】書架上有10本不同的自然科學(xué)圖書和9本不同的社會(huì)科學(xué)圖書，甲同學(xué)想從中選出1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．9種 B．10種 C．19種 D．90種【答案】C【解析】由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為.故選C.題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【典例2-1】（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有4個(gè)同學(xué)站成一排，將甲、乙2個(gè)同學(xué)加入排列，保持原來4個(gè)同學(xué)順序不變，不同的方法共有（

）種A．10 B．20 C．30 D．60【答案】C【解析】4個(gè)同學(xué)站成一排有5個(gè)空，甲加入排列有5種情況，隊(duì)列變成5個(gè)人有6個(gè)空，乙加入排列有6種情況，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的方法.故選：C【典例2-2】編號(hào)為1，2，3，4的四位同學(xué)參觀某博物館，該博物館共有編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)門，若規(guī)定編號(hào)為1，2，3，4的四位同學(xué)進(jìn)入博物館不能走與自己編號(hào)相同的門，則四位同學(xué)用不同的方式進(jìn)入博物館的方法種數(shù)為（

）A．12 B．16 C．81 D．256【答案】C【解析】因不能走與自己編號(hào)相同的門，安排編號(hào)為1的同學(xué)進(jìn)入博物館有3種選法；同理編號(hào)為2，3，4的同學(xué)進(jìn)入博物館各有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方法．故C正確.故選：C.【方法技巧】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．（2）將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．【變式2-1】已知乘積展開后共有60項(xiàng)，則的值為（

）A．5 B．7 C．10 D．12【答案】C【解析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，展開后的項(xiàng)數(shù)為，所以．故選：C.【變式2-2】（2024·高三·江蘇徐州·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個(gè)城市中任選一個(gè)前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（

）A．18種 B．48種 C．108種 D．192種【答案】D【解析】因甲不去北京，應(yīng)該分步完成：第一步，甲在上海、西安、長沙三個(gè)城市中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長沙四個(gè)城市中分別任選一個(gè)，有中選法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同選法有：種．故選：D．【變式2-3】某農(nóng)學(xué)院計(jì)劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實(shí)驗(yàn)田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田中，其他三塊實(shí)驗(yàn)田選種水稻品種，則不同種法有（

）12345A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種【答案】C【解析】由題得相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田分成1和2；2和3；3和4；4和5四類；第一類在1和2上種植小麥，“1”有7種選擇，“2”有6種選擇，剩下3塊實(shí)驗(yàn)田種植水稻，分別有種選擇，所以共計(jì)種；第二、三、四類和第一類種數(shù)相同．綜上總計(jì)有種方法．故選：C.【變式2-4】（2024·高三·河南·期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個(gè)側(cè)面有各不相同的圖案）時(shí)，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在積木的6個(gè)面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（

）A．216 B．360 C．720 D．1080【答案】D【解析】根據(jù)題意，如圖：分3步進(jìn)行分析：①要求側(cè)棱用同一種顏色，則側(cè)棱有5種選色的方法，②對(duì)于上底，有4種顏色可選，則有，③對(duì)于下底，每條邊與上底和側(cè)棱的顏色不同，有種選法，則共有種選法．故選：D．【變式2-5】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則滿足方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，得，又，其中都為質(zhì)數(shù)，所以，因?yàn)閤，，所以可能為，，，所以的取值個(gè)數(shù)為，方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為．故選：B．題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2024·高三·全國·自主招生）展開式共項(xiàng).【答案】286【解析】可以看作10個(gè)相同的小盒子，每個(gè)盒子里都4個(gè)不同的數(shù)，展開式的每一項(xiàng)都是從10個(gè)盒子里取一個(gè)數(shù)，然后相乘構(gòu)成的，若選一個(gè)數(shù)，能構(gòu)成不同的項(xiàng)種，若選2個(gè)數(shù)，先選2個(gè)數(shù)有種選法，然后把10個(gè)盒子分給這2個(gè)數(shù)，利用隔板法可得分法為種，故能構(gòu)成不同的項(xiàng)種，若選3個(gè)數(shù)，同理可知能構(gòu)成不同的項(xiàng)種，若選4個(gè)數(shù)，可構(gòu)成不同的項(xiàng)種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種，故答案為：286【典例3-2】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）若從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是.【答案】180【解析】根據(jù)題意，可將四位數(shù)分成兩類：第一類，數(shù)字0被取到，則可從2，4中任選一個(gè)，再從1，3，5中任選兩個(gè)，接著從除0外的另外三個(gè)數(shù)中取一個(gè)排在首位，剩下的在三個(gè)數(shù)位上全排，此時(shí)共有個(gè)四位數(shù)；第二類，數(shù)字0沒被取到，故2，4全被取到，只需從1，3，5中任選兩個(gè)，再與2，4共4個(gè)數(shù)字在四個(gè)數(shù)位上全排，此時(shí)共有個(gè)四位數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故答案為：180.【方法技巧】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)（1）當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．（2）分類時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖．（3）對(duì)于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步．【變式3-1】用，，，，，這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第個(gè)數(shù)是．【答案】【解析】①千位為，個(gè)位為，有個(gè)；②千位為，個(gè)位為，有個(gè)；③千位為，個(gè)位為，有個(gè)；④千位為，個(gè)位為，有個(gè)；⑤千位為，個(gè)位為，有個(gè)；⑥千位為，百位為，個(gè)位為（或），各有個(gè)．共個(gè)．接下來有,,,,，，第個(gè)數(shù)是．故答案為：3140.【變式3-2】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上嚴(yán)格增函數(shù)的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是【答案】24【解析】由題意可知，滿足指數(shù)函數(shù)且，對(duì)數(shù)函數(shù)且的取值只有4個(gè)，分別為；而使它們?cè)谏蠂?yán)格增函數(shù)的取值都只有兩個(gè)，分別是；而滿足冪函數(shù)的的取值有6個(gè)（全部），使得冪函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)的取值有4個(gè)，即；由于且互不相等，有三種情況：第一種：指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，而冪函數(shù)不滿足，共有種；第二種：指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，而對(duì)數(shù)函數(shù)不滿足，共有種；第三種：對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)不滿足，共有種；第四種：三個(gè)函數(shù)在上都是嚴(yán)格增函數(shù)，共有種；利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有種；故答案為：24【變式3-3】從六個(gè)數(shù)字中選5個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，且3不在百位，共有種．【答案】【解析】第一種情況，5個(gè)數(shù)字沒有3時(shí)，0在個(gè)位有種方法，0不在個(gè)位有種方法，共種方法，第二種情況，有3無0，有種方法，第三種情況，有3無2，個(gè)位排0，有種方法，個(gè)位不排0，3排首位有種方法，個(gè)位不排0，3不排首位，有種方法，共有種方法，第四種情況，有3無4，這種情況和有3無2一樣，所以也有種方法，第五種情況，有3無1，個(gè)位排0，有種方法，個(gè)位不排0，3排首位有種方法，個(gè)位不排0，3不排首位，有種方法，所以共有種方法，第六種情況，有3無5，和有3無1的情況一樣，所以也是46種情況，綜上可知，共有種方法.故答案為：【變式3-4】如圖，一只螞蟻位于點(diǎn)M處，去搬運(yùn)位于N處的糖塊，的最短路線有條．【答案】150【解析】由題可知，的最短路線必經(jīng)過兩點(diǎn)，則的最短路線有種，的最短路線有種；的最短路線有種，的最短路線有種；因?yàn)榈淖疃搪肪€有和，所以的最短路線有種，故答案為：150．1．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（上海卷））如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【解析】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有（個(gè)）.故選：D2．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷Ⅱ））5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同報(bào)名方法有（

）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種【答案】D【解析】由題意，每個(gè)同學(xué)有2種選擇，故不同報(bào)名方式為.故選：D3．（2006年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式.（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】48【解析】由題意，可分步進(jìn)行，第一步，安排公益廣告，不同的安排方式有種，第二步，安排商業(yè)廣告，不同的安排方式有種，故總的不同安排方式有種，