2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第3章第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(十二大題型)(講義)(學(xué)生版+解析)

第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航 ②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．【診斷自測】（2024·高三·上海松江·期末）函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖象可知，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以不等式的解集為.故選：C知識點2：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）如果導(dǎo)函數(shù)中未知正負，則需要單獨討論的部分．如果導(dǎo)函數(shù)恒正或恒負，則無需單獨討論；（3）求出導(dǎo)數(shù)的零點；（4）用的零點將的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（5）如果找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo)；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．通過二階導(dǎo)正負判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段.【診斷自測】（2024·湖南懷化·二模）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】/【解析】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：解題方法總結(jié)1、使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例如，在上，，當時，；當時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)．2、若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立．因為，即或，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．當時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像【典例1-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為實數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，在同一直角坐標系中，與的大致圖象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得對于，當時，在第一象限上遞減，對應(yīng)圖象在第四象限且遞增，故A項符合；對于在第一象限上與的圖象在上都單調(diào)遞增，故且，則.又由可得，即與的圖象交點橫坐標應(yīng)大于1，顯然C項不符合，B,D項均符合.故選：C.【典例1-2】（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖可知，當時，單調(diào)遞減，，由此排除BD選項.當時，從左向右，是遞增、遞減、遞增，對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的符號為，由此排除C選項，所以A選項正確.故選：A【方法技巧】原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足）．【變式1-1】（2024·高三·陜西西安·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當時，時，時，所以不等式的解集為.故選：A【變式1-2】（2024·北京海淀·一模）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，.設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，且為偶函數(shù)，故，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖象可得當時，，當時，，當時，即，則由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定義域內(nèi)），由，可得，綜上所述，關(guān)于x的不等式的解集為.故選：D.題型二：求單調(diào)區(qū)間【典例2-1】（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【解析】當時，,由，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故答案為：.【典例2-2】函數(shù)的嚴格遞減區(qū)間是.【答案】.【解析】函數(shù)的定義域為，，令，則且，即的嚴格遞減區(qū)間為.故答案為：.【方法技巧】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出．（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出．（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的減區(qū)間．若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”隔開．【變式2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若當時，且.則的單調(diào)增區(qū)間為.【答案】【解析】因為時，則，又，則，即，所以，令，即，即，又，則，解得，令，即，即，即，解得，所以在單調(diào)遞增，又為奇函數(shù)，當時，在單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：【變式2-2】（2024·廣西·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，，由得或（因為，故舍去），所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．故答案為：【變式2-3】函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】由題意知，.即，，因為，所以，所以在中，，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：題型三：已知含參函數(shù)在區(qū)間上的遞增或遞減，求參數(shù)范圍【典例3-1】已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，所以的取值范圍是.故選：D.【典例3-2】已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，∵在，上為增函數(shù)；上為減函數(shù),∴兩根分別位于和中，得，即，解得.故選：B【方法技巧】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解．【變式3-1】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，則在上恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：A.【變式3-2】（2024·高三·廣東汕頭·期中）設(shè)，若函數(shù)在遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在遞增，所以在上恒成立，則，即在上恒成立，由函數(shù)單調(diào)遞增得，又，所以，所以，所以即，解得，所以的取值范圍是.故選：B【變式3-3】（2024·陜西西安·三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在上遞增，又，所以.所以的取值范圍是.故選：B【變式3-4】（2024·高三·江蘇南通·期中）已知函數(shù)的減區(qū)間為，則.【答案】3【解析】由題意可得，，解集為，則.故答案為：3題型四：已知含參函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍【典例4-1】（2024·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，且，令，得，因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以，解得：故選：B.【典例4-2】已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，故在上有零點，令，令，得，令，則，由，得，單調(diào)遞增，又由，得，故，所以，的取值范圍故選：A【方法技巧】已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍．【變式4-1】函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，則，記，∵在上不單調(diào)，當時不滿足；當時，對稱軸為，，∴或，故選：C．【變式4-2】函數(shù)在上不單調(diào)的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，因在上不單調(diào)，故導(dǎo)函數(shù)在上必有變號零點.令，得，再令，則，由，得即在上單調(diào)遞增，所以，故只需，即，對于A，是的真子集,故A選項是一個充分不必要條件，而其他選項中，的范圍都不是的真子集，故都不正確.故選:A．【變式4-3】若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．不存在這樣的實數(shù)k【答案】B【解析】由題意得，在區(qū)間上至少有一個實數(shù)根，又的根為，且在或兩側(cè)異號，而區(qū)間的區(qū)間長度為2，故只有2或-2在區(qū)間內(nèi)，∴或，∴或，故A，C，D錯誤.故選：B.【變式4-4】函數(shù)在R上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，而，要使在R上不單調(diào)，則.故選：D題型五：已知含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍【典例5-1】已知函數(shù)在上有增區(qū)間，則a的取值范圍是.【答案】【解析】等價于存在使得成立，即成立，即得解.由題得，因為函數(shù)在上有增區(qū)間，所以存在使得成立，即成立，因為時，，所以.故答案為：【典例5-2】若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．【答案】【解析】，等價于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，則，即在上是增函數(shù)，∴，所以.故答案為：.【方法技巧】已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解．【變式5-1】若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，由題意知，在上有實數(shù)解，即有實數(shù)解，當時，顯然滿足，當時，只需綜上所述故答案為：【變式5-2】若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的最大值為．【答案】【解析】因為，所以，由題意有解，即有解，令,,時，該函數(shù)單調(diào)遞增；時,該函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當取得最大值,所以．【變式5-3】（2024·高三·湖北襄陽·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在的定義域內(nèi)存在一個區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個“漸緩增區(qū)間”．若對于函數(shù)，區(qū)間是其一個漸緩增區(qū)間，那么實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】對于函數(shù)，，令，則，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以恒成立，即恒成立，又，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以恒成立，所以，解得，綜合得.故答案為：.【變式5-4】若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是．【答案】【解析】，則，函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，只需在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，又，則，所以在區(qū)間上有解，所以，，令，，則，令，則在區(qū)間恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．題型六：不含參數(shù)單調(diào)性討論【典例6-1】（2024·河北保定·二模）已知函數(shù).若，討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域為，當時，，所以，設(shè)，因為、都在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【典例6-2】（2024·高三·天津·開學(xué)考試）已知函數(shù)．當時，求的單調(diào)區(qū)間；【解析】當時，若，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．【方法技巧】確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意兩點：一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，而用“，”或“和”隔開．【變式6-1】已知函數(shù)．判斷的單調(diào)性，并說明理由；【解析】令，在上遞增，，，在上單調(diào)遞增.【變式6-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)，若，求的單調(diào)區(qū)間.【解析】若，則的定義域為，且，令，解得；令，解得；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．當時，討論函數(shù)的單調(diào)性．【解析】當時，可得，其中，則，設(shè)，則，令，可得恒成立，所以為上的增函數(shù)，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增．【變式6-4】函數(shù).當時，求函數(shù)的單調(diào)性；【解析】當時，，定義域為，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，題型七：導(dǎo)函數(shù)為含參一次函數(shù)的單調(diào)性分析【典例7-1】已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由題意可知的定義域為，且，當時，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間.當時，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；綜上所述：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【典例7-2】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】（1）函數(shù)的定義域是，因，①若，則在上單調(diào)遞增；②若，則當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；綜上，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【方法技巧】導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)，首先討論一次項系數(shù)為0的情形，易于判斷；當一次項系數(shù)不為零時，討論導(dǎo)函數(shù)的零點與區(qū)間端點的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【變式7-1】（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，其中.討論的單調(diào)性；【解析】因為，易知其定義域為，，當時，在上恒成立，當時，由，得到，所以，當時，，時，，綜上所述，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間.【變式7-2】設(shè)函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】的定義域為，，若，則，在上單調(diào)遞增．若，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；題型八：導(dǎo)函數(shù)為含參準一次函數(shù)的單調(diào)性分析【典例8-1】（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù),討論的單調(diào)性；【解析】由題知，令，則，當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，當時，令，解得，當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.【典例8-2】（2024·海南海口·二模）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】的定義域為，，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【方法技巧】導(dǎo)函數(shù)的形式為含參準一次函數(shù)，首先對定號，然后討論導(dǎo)函數(shù)的零點與區(qū)間端點的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【變式8-1】已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域為，．令，解得，則有當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【變式8-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論的單調(diào)性;【解析】，當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當時，令，解得，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；題型九：導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)單調(diào)性分析【典例9-1】已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域為，則，①當時，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當時，令，解得，令，解得或，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，③當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，④當時，令，解得，令，解得或，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；【典例9-2】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】（1）因為的定義域為，又，當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，解得（舍去），；當，，在上單調(diào)遞減；，，在上單調(diào)遞增；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【方法技巧】若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.【變式9-1】已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由題知，，，①當時，，則時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是；②當時，，當和時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；③當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是；④當時，，在和上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；故的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，綜上，當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，當時，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．【變式9-2】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】的定義域為，，當時，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，令得（舍去），或，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，令得或，若時，，令得或，令得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若時，，此時恒成立，故在上單調(diào)遞增，若時，，令得或，令得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【變式9-3】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．【解析】（1）由題意知，當時，，則，故曲線在處的切線方程為．（2）的定義域為，且，當時，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，則有：若，則，令，則單調(diào)遞增；令，則或單調(diào)遞減；若，則，令，則單調(diào)遞增；令，則或單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞減．綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減．【變式9-4】已知函數(shù)，．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】函數(shù)的定義域為．由題意得,當時,，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當時，由，得或（舍去）,當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減．所以當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.題型十：導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)單調(diào)性分析【典例10-1】已知函數(shù)．討論的單調(diào)性【解析】，，當時，，所以在上單調(diào)遞增．當時，令，則．

若，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．若，即時，方程的根為，當時，或，在和上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【典例10-2】已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】的定義域為，．當時，，故在單調(diào)遞增；當時，，故在單調(diào)遞減；當時，令，解得．由于在上單調(diào)遞減，故當時，，故在單調(diào)遞增；當時，，故在單調(diào)遞減．【方法技巧】若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.【變式10-1】討論函數(shù)，的單調(diào)性【解析】因為，所以，即，當時，，令，解得，所以時，，所以在上單調(diào)遞減，時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，令，，當時，令，則，，所以方程有、兩個根，解得，，因為，，所以，，所以不在定義域內(nèi)，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增；時，當時，即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當，即時，方程有、兩個根，解得，，因為，，所以，，，又因為，，所以當時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減；綜上所述：時，

在是單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時，在單調(diào)遞減.【變式10-2】（2024·高三·廣西·開學(xué)考試）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性．【解析】，（i）當時，，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當時，的判別式，若，①當時，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；②當時，，方程的二根，由，得或，由，得，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，①當時，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減；②當時，，方程的二根，由，得，由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【變式10-3】設(shè)函數(shù),求的單調(diào)區(qū)間.【解析】，，若，則，則恒成立，此時在上單調(diào)遞增.當或,由解得，當時，列表如下：當時，列表如下：綜上,當時,在遞減，在遞增，在遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在遞增，在遞減，在遞增.題型十一：導(dǎo)函數(shù)為含參準二次函數(shù)型的單調(diào)性分析【典例11-1】已知函數(shù),其中.求的單調(diào)區(qū)間．【解析】,令，即解不等式:,①當時,解得:,故的單調(diào)區(qū)間為：②當時,,所以解得:,故的單調(diào)區(qū)間為：③,則,常值函數(shù)不具備單調(diào)性.④時,解得:或,故的單調(diào)區(qū)間為：綜上，當時,在遞減，在遞增，在遞減;當時,在遞減，在遞增，在遞增，在遞減；當時,則,常值函數(shù)不具備單調(diào)性;當時,在遞增，在遞減，在遞減，在遞增.【典例11-2】已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，若，則，且當時，，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減；若，令，解得，若，即，則恒成立，當時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增；若，即，則當時，，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減；若，即，則在上恒成立，函數(shù)在上遞增；若，即，則當時，，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當時，的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【方法技巧】若導(dǎo)函數(shù)為含參準二次函數(shù)型，首先對導(dǎo)函數(shù)進行因式分解，求導(dǎo)函數(shù)的零點并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.【變式11-1】已知函數(shù)，.若，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】.①當時，令，解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當時，令，解得或，當即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當即時，在上單調(diào)遞增，當即時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【變式11-2】已知函數(shù)．時，討論的單調(diào)性．【解析】因為，所以，所以，所以令可得，或，若時，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，，且當且僅當時取等號，所以在上單調(diào)遞增，綜上，當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為，當，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為，若時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有遞減區(qū)間，題型十二：分段分析法討論函數(shù)的單調(diào)性【典例12-1】已知函數(shù)（，且）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】定義域為，（，且），則.當時，，，若，則，，得，于是，若，則，，得，于是，∴當時，即在上單調(diào)遞增；當時，，，若，則，，得，于是，若，則，，得，于是，∴當時，即在上單調(diào)遞減；綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【典例12-2】已知函數(shù)，.(1)若，求a的取值范圍；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性；【解析】（1）由題意知的定義域為R.①當時，由得，設(shè)，則，當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，因此.②當時，若，因為，不合題意.所以，此時恒成立.③當時，，此時.綜上可得，a的取值范圍是.（2）設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立.所以.又由（1）知，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增.【方法技巧】分段討論導(dǎo)函數(shù)的正負.【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.【解析】因為，定義域為，，令，因為，則，可得在上單調(diào)遞減，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【變式12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函數(shù)，．討論函數(shù)在上的單調(diào)性．【解析】，，當時，此時在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，，此時在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，令，，在上為減函數(shù)．又，在上存在唯一零點，使得，∴當時，遞增；當時，遞減．綜上：當時，此時在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，當時，，遞增；當時，，遞減，其中為方程的根．【變式12-3】設(shè)函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性.【解析】由①時，由，令，解得，所以時，時，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②時，由，（i）時，因為，則在單調(diào)遞增，（ii）時，，解得或，所以時，時，，則在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（iii）時，由，所以時，時，，則在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上：時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；1．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【解析】（1）當時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，不合題意;令，則，當，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當時，由可得，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當時，，單調(diào)遞減，由于，故當時，，不合題意.綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.1．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：（1）；

（2）【解析】（1）,令，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2），令，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.2．證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【解析】因為，所以，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．3．利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗證：，，【解析】∵等價于，∴可令，則，在上，∴在上單調(diào)遞增，即，∴在上恒成立，則，得證.4．利用信息技術(shù)工具，根據(jù)給定的a，b，c，d的值，可以畫出函數(shù)的圖象，當，，，時，的圖象如圖所示，改變a，b，c，d的值，觀察圖象的形狀：（1）你能歸納函數(shù)圖象的大致形狀嗎？它的圖象有什么特點？你能從圖象上大致估計它的單調(diào)區(qū)間嗎？（2）運用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，并求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．【解析】（1）時，有如下圖所示的幾種情況，其圖象大致為“S”型，當圖象存在駝峰，即存在極值點，則必有一個極大值，一個極小值；當不存在駝峰時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增或單調(diào)減，