2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章第01講數(shù)列的基本知識(shí)與概念(六大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第01講數(shù)列的基本知識(shí)與概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：數(shù)列的周期性 2題型二：數(shù)列的單調(diào)性 2題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng) 3題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題 3題型五：數(shù)列的恒成立問題 4題型六：遞推數(shù)列問題 502重難創(chuàng)新練 603真題實(shí)戰(zhàn)練 8題型一：數(shù)列的周期性1．（2024·四川廣安·二模）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A． B． C． D．22．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知在數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．23．若數(shù)列滿足（且），則的值為（

）A．3 B．2 C． D．4．（2024·廣西南寧·一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)（其中且），當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．無法確定題型二：數(shù)列的單調(diào)性5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2024·高三·河南·期末）已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且單調(diào)遞增，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)它為遞增數(shù)列時(shí)，的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則此數(shù)列的最大項(xiàng)為（

）A． B． C． D．11．（2024·廣東廣州·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)取最小值時(shí)，.12．（2024·高三·廣東潮州·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，則數(shù)列中最小項(xiàng)的值為．13．（2024·上海普陀·一模）若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是.14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的最大項(xiàng)的值為；數(shù)列的最小項(xiàng)的值為．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題15．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：，，，…，按此規(guī)律，若分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2019，則m的值是（

）A．46 B．45 C．44 D．4316．（2024·福建廈門·一模）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖所示的1，5，12，22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個(gè)數(shù)為（

）A．51 B．70 C．92 D．11717．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．78118．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項(xiàng)分別為，據(jù)此可以推測(cè)，該數(shù)列的第15項(xiàng)與第60項(xiàng)的和為（

）A．1012 B．1016 C．1912 D．1916題型五：數(shù)列的恒成立問題19．（2024·高三·陜西渭南·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，且.若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為.20．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．在數(shù)列中，，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值.題型六：遞推數(shù)列問題22．（2024·陜西咸陽·三模）在數(shù)列中，，，則（

）A．43 B．46 C．37 D．3623．（2024·北京昌平·二模）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前4項(xiàng)和等于（

）A．16 B．24 C．30 D．6224．我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠．設(shè)從今年起第n年綠洲面積為萬平方千米．(1)求第n年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系；(2)至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60%？（）25．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.現(xiàn)將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；然后將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；如此繼續(xù)操作下去.(1)求操作1次后桶中的水量；(2)求操作次后桶中的水量；(3)至少操作多少次，桶中的水量與桶中的水量之差小于升？（參考數(shù)據(jù)：，）1．（2024·甘肅蘭州·一模）數(shù)列滿足，，則（

）A．5 B．4 C．2 D．12．（2024·高三·山西大同·期末）等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，且成等差數(shù)列，則的最小值為（

）A． B． C． D．13．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，當(dāng)取最大值時(shí)，的最大值為（

）A．63 B．64 C．71 D．724．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或45．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)．則三角形數(shù)?正方形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項(xiàng)分別為（

）

A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，256．（多選題）（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則7．（多選題）（2024·遼寧·一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則（

）A．存在使數(shù)列為常數(shù)列B．存在使數(shù)列為遞增數(shù)列C．存在使數(shù)列為遞減數(shù)列D．存在使得恒成立8．（多選題）意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和．后人為了紀(jì)念他，就把這一列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列．下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A．B．是奇數(shù)C．D．9．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，單調(diào)遞增，則的取值范圍為.10．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是，若數(shù)列是遞增的，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．11．（2024·重慶·二模）記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為.12．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列在時(shí)取到最小值．13．（2024·重慶·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記，則；若數(shù)列滿足，則的最小值是．14．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．若對(duì)恒成立，則的取值范圍為．15．（2024·高三·黑龍江大慶·期末）已知數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．?dāng)?shù)列定義如下：，且當(dāng)時(shí)，，已知，則正整數(shù)n的值為.17．已知數(shù)列滿足．若，則；前60項(xiàng)和為．18．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，則．1．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．2．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，數(shù)列中，，,則A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)4．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（遼寧卷））設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則A． B． C． D．5．（2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（湖北卷））傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測(cè)：（Ⅰ）是數(shù)列中的第項(xiàng)；（Ⅱ）．（用表示）6．（2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（福建卷））五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次．已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為．7．（2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科數(shù)學(xué)）已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.8．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國Ⅱ卷））數(shù)列滿足，，則．9．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．10．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷））設(shè)，對(duì)1，2，···，n的一個(gè)排列，如果當(dāng)s<t時(shí)，有，則稱是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)．第01講數(shù)列的基本知識(shí)與概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：數(shù)列的周期性 2題型二：數(shù)列的單調(diào)性 3題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng) 5題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題 7題型五：數(shù)列的恒成立問題 9題型六：遞推數(shù)列問題 1102重難創(chuàng)新練 1303真題實(shí)戰(zhàn)練 25題型一：數(shù)列的周期性1．（2024·四川廣安·二模）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，又，所以故選：A2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知在數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由可得因此故，故選：D3．若數(shù)列滿足（且），則的值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榍?，所以，所以?shù)列具有周期性，且，所以.故選：A.4．（2024·廣西南寧·一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)（其中且），當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】，，，，故數(shù)列的周期為3.故.故選：B題型二：數(shù)列的單調(diào)性5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，若為遞增數(shù)列，則，有，解得，則，當(dāng)時(shí)，，所以,則的取值范圍為.故選：D.6．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，即，則.當(dāng)時(shí)，由，得，得，則，易知，即.又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.又單調(diào)遞增，所以，解得.故選：C7．（2024·高三·河南·期末）已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，整理得，令，則，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故是數(shù)列的最大項(xiàng)，則的取值范圍為，故C正確.故選：C．8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且單調(diào)遞增，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由為等差數(shù)列，且，所以，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，則，即從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)均為正數(shù)，又因?yàn)楹愠闪?，所以?shù)列為常數(shù)數(shù)列或遞增數(shù)列，所以，則有，解可得，綜上可得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)它為遞增數(shù)列時(shí)，的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，所以對(duì)于任意的，都有，即，化簡(jiǎn)得，所以對(duì)于任意的都成立，因?yàn)?，所?故選：A題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則此數(shù)列的最大項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：－＝·，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以數(shù)列有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且.方法二：設(shè)數(shù)列的第n項(xiàng)最大，則，即，解得，又，則或，故數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且.故選：D11．（2024·廣東廣州·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】3【解析】因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，滿足，故；則，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，取得最小值，也即時(shí)，取得最小值.故答案為：.12．（2024·高三·廣東潮州·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，則數(shù)列中最小項(xiàng)的值為．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，則，解得，所以，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以，所以當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為：13．（2024·上海普陀·一模）若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是.【答案】6【解析】由已知，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在遞增，因此在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，又，，所以的最小值是6，故答案為：6.14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的最大項(xiàng)的值為；數(shù)列的最小項(xiàng)的值為．【答案】【解析】由，則當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，且；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，且，所以數(shù)列的最大項(xiàng)的值為；最小項(xiàng)的值為．故答案為：；．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題15．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：，，，…，按此規(guī)律，若分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2019，則m的值是（

）A．46 B．45 C．44 D．43【答案】B【解析】題目所給規(guī)律可以表示為等式，故由題目條件知，即且.故，，這得到，從而.故選：B.16．（2024·福建廈門·一模）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖所示的1，5，12，22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個(gè)數(shù)為（

）A．51 B．70 C．92 D．117【答案】C【解析】由題圖及五邊形數(shù)知：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差依次為，所以五邊形數(shù)依次為，即第8個(gè)數(shù)為92.故選：C17．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781【答案】C【解析】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列，依題意，，歸納得，所以.故選：C18．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項(xiàng)分別為，據(jù)此可以推測(cè)，該數(shù)列的第15項(xiàng)與第60項(xiàng)的和為（

）A．1012 B．1016 C．1912 D．1916【答案】C【解析】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為，可得此時(shí)滿足，奇數(shù)項(xiàng)為，可得，所以，，則，所以.故選：C.題型五：數(shù)列的恒成立問題19．（2024·高三·陜西渭南·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，且.若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，相減得，即，所以，當(dāng)時(shí)，也適合，所以，又，所以，所以，對(duì)任意，恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：20．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由，得，所以.設(shè)，則.設(shè)，則，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，解得，即在上單調(diào)遞減，又，，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.當(dāng)時(shí)，，即，所以.綜上，，所以，即，所以的取值范圍為.故答案為：21．在數(shù)列中，，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值.【答案】【解析】由整理得，即，又，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，可得,不等式，可化為，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，綜上，，所以，故最小值為．故答案為：題型六：遞推數(shù)列問題22．（2024·陜西咸陽·三模）在數(shù)列中，，，則（

）A．43 B．46 C．37 D．36【答案】C【解析】法一：由題得，所以.法二：由題，，所以.故選：C.23．（2024·北京昌平·二模）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前4項(xiàng)和等于（

）A．16 B．24 C．30 D．62【答案】C【解析】由已知可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以數(shù)列的前4項(xiàng)和等于，故選：C.24．我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠．設(shè)從今年起第n年綠洲面積為萬平方千米．(1)求第n年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系；(2)至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60%？（）【解析】（1）由題意得，所以．（2）由（1）得，．又，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，即．令，即，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，所以，，至少經(jīng)過6年，綠洲面積可超過60%．25．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.現(xiàn)將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；然后將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；如此繼續(xù)操作下去.(1)求操作1次后桶中的水量；(2)求操作次后桶中的水量；(3)至少操作多少次，桶中的水量與桶中的水量之差小于升？（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1）記桶中的水量為，桶中的水量為，，所以.（2）根據(jù)題意可得：，，所以，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，所以.（3），，令，得，兩邊取對(duì)數(shù)，得，所以至少經(jīng)過5次操作，才能使桶中的水量與桶中的水量之差小于.1．（2024·甘肅蘭州·一模）數(shù)列滿足，，則（

）A．5 B．4 C．2 D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，，，，，又，所?故選：B2．（2024·高三·山西大同·期末）等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，且成等差數(shù)列，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】設(shè)公比為，由成等差數(shù)列，得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以得，解得，所以，令，則，所以數(shù)列遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1.故選：D.3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，當(dāng)取最大值時(shí)，的最大值為（

）A．63 B．64 C．71 D．72【答案】C【解析】因?yàn)槭嵌ㄖ担巩?dāng)取最大值時(shí)也取得最大值，需滿足各項(xiàng)盡可能取到最小值，又因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以，即是首相為，公差為的等差數(shù)列，其中；的前項(xiàng)和為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又因?yàn)?，所以的最大值為，此時(shí)，取得最大值為.故選：C.4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4【答案】B【解析】由題知，因?yàn)椋瑒t有：若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；若為奇數(shù)，則，可得；若為偶數(shù)，則.綜上所述：或32.故選：B5．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)．則三角形數(shù)?正方形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項(xiàng)分別為（

）

A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25【答案】B【解析】三角形數(shù)：第一個(gè)數(shù)1，第二個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)：，第四個(gè)數(shù)，第五個(gè)數(shù)，正方形數(shù)：第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)：，第四個(gè)數(shù)，第五個(gè)數(shù)故選：B6．（多選題）（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則【答案】ACD【解析】由題意可知，且，，故有且（否則若，則的符號(hào)會(huì)正負(fù)交替，這與，，矛盾），也就是有或，無論如何，數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若數(shù)列是遞增數(shù)列，即，由以上分析可知只能，故C正確；對(duì)于D，若數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然不可能是，（否則的符號(hào)會(huì)正負(fù)交替，這與數(shù)列是遞增數(shù)列，矛盾），從而只能是，且這時(shí)有，故D正確.故選：ACD.7．（多選題）（2024·遼寧·一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則（

）A．存在使數(shù)列為常數(shù)列B．存在使數(shù)列為遞增數(shù)列C．存在使數(shù)列為遞減數(shù)列D．存在使得恒成立【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，又，則，設(shè)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)使數(shù)列為常數(shù)列，故A正確；當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增，又，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞減，又，所以，又在上單調(diào)遞增且，所以，所以存在使得恒成立，即D正確；由上述分析可知，不存在使數(shù)列為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤.故選：ABD8．（多選題）意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和．后人為了紀(jì)念他，就把這一列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列．下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A．B．是奇數(shù)C．D．【答案】AD【解析】由已知得數(shù)列滿足遞推關(guān)系.選項(xiàng)A：，A正確；選項(xiàng)B：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項(xiàng)都是奇、奇、偶重復(fù)循環(huán)，2022＝674×3，恰好能被3整除，且為偶數(shù)，所以也為偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若選項(xiàng)C正確，又，則，同理，依次類推，可得，顯然錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，所以，故D正確．故選：AD．9．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以即，則的取值范圍為，故答案為：.10．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是，若數(shù)列是遞增的，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由數(shù)列是遞增的，則，即，整理可得，由一次函數(shù)的單調(diào)性且，則，解得.故答案為：.11．（2024·重慶·二模）記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則或（舍去），當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等差數(shù)列，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由隨的增大而增大，，，則，所以的最小值為.故答案為：.12．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列在時(shí)取到最小值．【答案】2或6【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，，令得，，令得，故，且，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，顯然，，，，，，……，當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，即當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，故只需計(jì)算出，，，顯然最小，綜上，n=2或6.故答案為：2或613．（2024·重慶·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記，則；若數(shù)列滿足，則的最小值是．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，則，且，所以，，，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，則，故數(shù)列從第二項(xiàng)開始單調(diào)遞增，因?yàn)?，且，所以，的最小值?故答案為：；.14．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．若對(duì)恒成立，則的取值范圍為．【答案】【解析】法一：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，兩式相減得．當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則．則．要使對(duì)恒成立，則即解得，所以的取值范圍為.法二：，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，兩式相減得，所以數(shù)列都是以2為公差的遞增數(shù)列，要使對(duì)恒成立，只需而，則解得,所以的取值范圍為.故答案為：15．（2024·高三·黑龍江大慶·期末）已知數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】數(shù)列滿足：，時(shí)，時(shí)，，得，即，時(shí)也滿足，則有.，，不等式恒成立，即，解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：16．?dāng)?shù)列定義如下：，且當(dāng)時(shí)，，已知，則正整數(shù)n的值為.【答案】【解析】由題設(shè)知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，.因?yàn)?，所以，為偶?shù).從而，,是偶數(shù)，則,是偶數(shù)，則，是奇數(shù)；則是偶數(shù)，依次可得：，是偶數(shù)；，偶數(shù)；，偶數(shù)；，偶數(shù)；，偶數(shù)；，所以，.故答案為：17．已知數(shù)列滿足．若，則；前60項(xiàng)和為．【答案】11830【解析】數(shù)列滿足，，所以，解得，所以，解得．因?yàn)?，所以有，，，，，…，…，，從而可得，，，，，，，，…．從?項(xiàng)開始，依次取1個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于2；從第2項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8為首項(xiàng)，16為公差的等差數(shù)列．所以的前60項(xiàng)和為．故答案為·：1，1830.18．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，則．【答案】/-0.5【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，，，所以是一個(gè)周期數(shù)列，且周期為3，故．故答案為：1．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，由累乘法可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．2．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．3．（2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，數(shù)列中，，,則A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)【答案】A【解析】若數(shù)列為常數(shù)列，，則只需使，選項(xiàng)的結(jié)論就會(huì)不成立.將每個(gè)選項(xiàng)的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項(xiàng)B、C、D均有小于10的解，故選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤.而選項(xiàng)A對(duì)應(yīng)的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及基本不等式，可證得A選項(xiàng)正確.若數(shù)列為常數(shù)列，則，由，可設(shè)方程選項(xiàng)A：時(shí)，，，，故此時(shí)不為常數(shù)列，，且，，則，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：時(shí)，，，則該方程的解為，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：時(shí)，，該方程的解為或，即當(dāng)或時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，或，同樣不滿足，則選項(xiàng)C也錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：時(shí)，，該方程的解為，同理可知，此時(shí)的常數(shù)列也不能使，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.4．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（遼寧卷））設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C.考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列.5．（2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（湖北卷））傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測(cè)：（Ⅰ）是數(shù)列中的第項(xiàng)；（Ⅱ）．（用表示）【答案】5030；.【解析】由三角形數(shù)規(guī)律可得，所以，累加得，所以，當(dāng)時(shí)仍成立，故，寫出若干項(xiàng)有：其中能被5整除的有，故，從而由上述規(guī)律可猜想：（為整數(shù)），所以，即是數(shù)列中的第5030項(xiàng).故答案為：5030；.6．（2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜?/p>