等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法

等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法常有四種：定義法、等差或等比中項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法。一.判斷或證明等差數(shù)列的方法定義法：等差中項(xiàng)法：2az皿物2通項(xiàng)公式法：/如岫（一次函敷.其中立手于公遂）前盤項(xiàng)和公式法：&=4界上+召府C殳有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),其中有等于公差一半）二、判斷或證明等差.等比數(shù)列的方法定義法：子=1⑷。。）等比中項(xiàng)法：巴；_[=4'4+工且4手。通項(xiàng)公式法：an=afqR（￡^q"） 前”項(xiàng)和公式法：&=A/-A?才T）一、定義法10。證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法:一、定義法10。證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法:a-an+1 ,a2n+2a3n+3=d（常數(shù)）o{a}是等差數(shù)列n n—a2 2n-a3n=d（常數(shù)）=｛a2｝是等差數(shù)列=d（常數(shù)）。｛at是等差數(shù)列3n20.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件的方法：a-a=d（n>2）n｛a｝是等差數(shù)列TOC\o"1-5"\h\zn n—1 na-a=a-a（n>2）n｛a｝是等差數(shù)列n+1 nn n-1 n3o。證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：a+1=q（q中0且為常數(shù)， 中0）=｛a｝為等比數(shù)列\(zhòng)o"CurrentDocument"a nna

n—aa

n—an-1=q（n>2,q為常數(shù)且=0）n｛a｝為等比數(shù)列注意事項(xiàng)：用定義法時(shí)常采用的兩個(gè)式子a-a=d和a-a=d有差別，前者必須加上nn-1 n+1n??=q（常數(shù)豐0）;@“n三2〃，否則n=1時(shí)a無意義，等比中一樣有：n三2??=q（常數(shù)豐0）;@n-1

〃￡N*日寸,有二…二q（常數(shù)中0）.an例1。設(shè)數(shù)列a,a，…，a，…中的每一項(xiàng)都不為0。1 2 n證明:｛a｝為等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任何neN,都有n1-+ aann+aann+1aa1n+12 23證明:先證必要性設(shè)｛a｝為等差數(shù)列，公差為d,n當(dāng)d=0時(shí),顯然命題成立當(dāng)d#0時(shí)，aann+1a2a3十■■」L」idlal'J[an+l-ai如+七4一%ildalan-i-L1^alan+l再證充分性:+???+,a?a?an n+1a?a1n+1②-①得:n+1②-①得:n+1a?an n+1+ = a?aa?an+1 n+2 1n+2a?aa?an+1n+2_n+1a?a1n+2a?a1n+1-nan-nan+1 n+2即：a—a=a-an+2n+1n+1n｛a｝為等差數(shù)列n兩邊同以anan+1a1得:a「（n+1）a同理:a=na-(n-1)a1n n+1③一④得：2na=n(a+a)n+1 n n+2例2。設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，試證｛a｝為等差數(shù)列的充要條件是(neN*)。c n((neN*)。TOC\o"1-5"\h\zS= 1 n—n2證:n）若｛a｝為等差數(shù)列，則n\o"CurrentDocument"a+a=a+a=a+a= ,1n2 n-1 3n一2故2S=(a+a)+(a+a)+ + (a+a)\o"CurrentDocument"n1n 2 n-2 n1n(a+a)S= 1 n—n2(n-1)(a+a)「 n(a+a)(u)當(dāng)n三2時(shí),由題設(shè),S= 1 1,S= 1 一n-1 2 n 2所以a=Sn-Sn-1n(a+a)(n-1)(a+a同理有an+1(n+1)(a+a) n(a+a)―1 n+12從而a-an+1(n+1)(a+a) 1 n+1——n(a+a)+2 1n(n-1)(a+a)-42整理得:an+1—an=an—an.1，對(duì)任意n^2成立.從而｛an｝是等差數(shù)列.是其前n項(xiàng)的和則S,S-S,S-S是其前n項(xiàng)的和則S,S-S,S-S，…，k2kk3k2kn仍成等比數(shù)列。證明一：（1）當(dāng)q=1時(shí)，結(jié)論顯然成立;（2）當(dāng)q力1時(shí)，Ska(1-qk)——，s1-q2ka(1-q2k)11-q-'S3ka(1-q3k)1 1-q-S2k kaG-q2k)1 S-S3k2k1-qa(1-q3k)- -1-qa(1-qk)1 1-qa(1-q2k 1-qaqk(1-qk)1 1-q) aq2k(1-qk)1a2q2k(1-qk)2???(S -S)2= S-(S -S)=2kk(1-q)2 k3k2k1-qa(1-qk)1-qaq2k(1-qk)1-qa2q2kG-qk)21(1-q)2.?.(s-s>=s.(S_s)2kkk3k2k:.s,s—s,s-s成等比數(shù)列。k2kk3k2kTOC\o"1-5"\h\z證明二：S—S—｛a+a+a)—(i+4+4+???[)2左 左1 2 3 2k 12 3 k=a+a+a —a=qk(a+a+aH—a)=qkSwOk+lk+2 k+3 2k 12 3 k k同理，S—S=a+a+a +…4=q2kswO3k2k2k+l 2左+2 2k+3 3k k：.S,S-S,5—S成等比數(shù)列。k2kk3k2k練習(xí)：L已知S?是數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和,且滿足:眄=2,S?+1+25Al=3Sn >2)求證：數(shù)列｛4—M是等比數(shù)列；2）設(shè)數(shù)列｛bn\滿足10三耙=匕9g：—片*—八，求教列色｝的前同項(xiàng)和斗.二、中項(xiàng)法（1）。（充要條件）若2a-a+ao｛a｝是等差數(shù)列TOC\o"1-5"\h\z外 n+1 n n+2 n（注：三個(gè)數(shù)a，b，c為等差數(shù)列的充要條件是：2b-a+c）（充分條件）a-a+a（n>2）n｛a｝是等差數(shù)列，nn+1n—1 n（2）。（充要條件）若aa-a2（a豐0）。｛a｝是等比數(shù)列nn+2n+1n n（充分條件）叱-an+1,an—1（nN1）n｛a｝是等比數(shù)列，n注：b-、a且（a?c>0）n是a、b、c等比數(shù)列的充分不必要條件b=t\lacn是a、b、c等比數(shù)列的必要不充分條件。b-±、/ocX（a?c>0）o是a、b、c等比數(shù)列的充要條件.任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac〉0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).三、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和法1。通項(xiàng)公式法(1).若數(shù)列通項(xiàng)a能表示成a=an+b(a,b為常數(shù))的形式，nn則數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列.(充要條件)n(2)。若通項(xiàng)a能表示成a二cqn(c，q均為不為0的常數(shù)，neN)的形式，

nn +則數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列.(充要條件)n2。前n項(xiàng)和法.若數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S能表示成S=an2+bn(a,b為常數(shù))的形式，n nn則數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列；(充要條件)n.若S能表示成S二Aqn-A(A,q均為不等于0的常數(shù)且qW1)的形式，nn則數(shù)列｛a｝是公比不為1的等比數(shù)列.(充要條件)n四、歸納—猜想—-—數(shù)學(xué)歸納證明法先根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng),觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn),猜想、歸納出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練,從“n=k時(shí)命題成立”到“n=k+1時(shí)命題成立"要會(huì)過渡.五、反證法解決數(shù)學(xué)問題的思維過程,一般總是從正面入手,即從已知條件出發(fā),經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算,最后得到所要求的結(jié)論,但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況,這時(shí)可從反面去考慮．六、等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些常規(guī)結(jié)論若數(shù)列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列(1)數(shù)列｛a｝｛九a｝(九為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；nn(2)若｛b｝是公比為qf的等比數(shù)列，則數(shù)列｛a?b｝是公比為qq的等比數(shù)列；n nn(3)數(shù)列［11是公比為1的等比數(shù)列；,a.qn(4)｛|an｝是公比為q的等比數(shù)列；(5)在數(shù)列｛a｝中，每隔k(keN*)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列n且公比為qk+1；(6)若m,n,p(m,n,peN*)成等差數(shù)列時(shí)，a,a,a成等比數(shù)列；mnp(7)S,S-S,S-S均不為零時(shí)，則S,S-S,S-S成等比數(shù)列；n2nn3n2n n2nn3n2n(8)若｛loga｝是一個(gè)等差數(shù)列,則正項(xiàng)數(shù)列｛〃｝是一個(gè)等比數(shù)列.bn n若數(shù)列｛〃J是公差為d等差數(shù)列,則(1)｛總+5｝成等差數(shù)列，公差為kd(其中左wO,k,〃是實(shí)常數(shù))；n(2)｛S—S｝,(keN,左為常數(shù))，仍成等差數(shù)歹U,其公差為42d；(〃+1)左kn(3)若｛〃｝,｛5｝都是等差數(shù)列，公差分別的d,則｛“±8｝是等差數(shù)列，公差為土d；nn 12 nn 1 2(4)當(dāng)數(shù)列｛〃｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列｛lg“｝是公差為lgq的等差數(shù)列；n n(5)m,n,p(m,n,peN*)成等差數(shù)列時(shí)，a,a,a成等差數(shù)列.mnp例1.己知函數(shù)底巧=/二數(shù)列也掰通項(xiàng)的;=f(x)：1)(n>2,n^N^A-I-3確定.0)求證：;:是等差數(shù)列⑵當(dāng)％=1時(shí)，求%Q.例立已知數(shù)列也祁J前71期和為3=：(詢—1)碧eN*.⑴求4⑵求L-：數(shù)列網(wǎng)｝是等比數(shù)列作業(yè)L已知數(shù)列｛4｝是苜項(xiàng)為4=1公比9=；的等比數(shù)列，々+2=31og14Qe界學(xué)）,數(shù)列｛*｝滿足￡=%也.CD求證：｛〃｝是等差數(shù)列：2,數(shù)列｛%卜茵足%=2%=%+6%+&也七N）,設(shè)￡=log式