等差數(shù)列復習

#等差數(shù)列(一)【知識要點】.等差數(shù)列的定義及通項公式.等差數(shù)列的兩個重要性質⑴等差數(shù)列｛a｝中，若m+n=p+q，則a+a=a+an mnpq⑵等差數(shù)列｛a｝的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列：S,S-S,S-S，…仍為等差數(shù)列n m2mm3m 2m.等差數(shù)列的前n項和公式【典型例題】.基本訓練題(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項.⑵在等差數(shù)列｛an｝中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.TOC\o"1-5"\h\z“ - 5 3?一(3)已知數(shù)歹U｛a/為等差數(shù)列，a3=4,a7=—4，求a15的值..等差數(shù)列性質的應用⑴已知等差數(shù)列｛a｝中，a+a=16,a=1，則a。的值是 .n 794 12⑵等差數(shù)列｛a｝的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為.n⑶一個只有有限項的等差數(shù)列，它的前5項的和為34,最后5項的和為146,所有項的和為234,則它的第七項等于..在等差數(shù)列｛a｝中n(1)已知a+a+a+a=36，求S.2 5 12 15 16(2)已知a=20，求S.6 11

TOC\o"1-5"\h\z.數(shù)列｛a｝的前n項和S=n2-7n-8，求數(shù)列通項公式.n n【課堂練習】.設｛a｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a+a+a-15，aaa=80，則a+a+a=( )n 1 2 3 123 11 12 13A.120 B.105 C.90 D.75.數(shù)列｛a｝的前n項和S=n2+2n-1,則a+a+aH Fa=( )n n 1 3 5 25A.350 B.351 C.337 D.338.在等差數(shù)列｛a｝中：n⑴已知a=10,a=19,求a與d；4 7 1⑵已知a=9,a=3,求a.3 9 124.在等差數(shù)列｛4.在等差數(shù)列｛aJ中,若a3Ha8Ha13-12，aaa3813=28，求｛a｝的通項公式.n等差數(shù)列的前n項和知識要點：一、等差數(shù)列的前n項和公式1：S「『證明：S=a+a+aH Fa+a①S-a+a+aHFa+a②TOC\o"1-5"\h\zn 12 3 n-1n n nn-1 n-2 2 1\o"CurrentDocument"①+②：2S -(a+a)+(a +a)+(a+a )H F(a +a)n1n 2n-1 3n-2 nn?/a+a-a+a=a+a1n2 n-1 3n-2\o"CurrentDocument"???2S=n(a+a)由此得：S?/a+a-a+a=a+a1n2 n-1 3n-2二、等差數(shù)列的前n項和公式2：S=na+n(n-1)dn1 2\o"CurrentDocument"把a=a+(n-1)d代入公式1即得：S=na+n(n-1)dn1 n1 2此公式要求S必須已知三個條件：n,a,d(有時比較有用)n 1公式二又可化成式子：S=dn2+(a-d)n，當d/0,是一個常數(shù)項為零的二次式

n2 12三、對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法：利用a:n當a>0,d<0,前n項和有最大值,可由a三0,且aW0,求得n的值.n n n+1當a<0,d>0,前n項和有最小值.可由aW0,且a三0,求得n的值.n n n+1利用S：n由Sn=2n2+(a1-2)n利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值.三、等差數(shù)列｛a｝的一些性質nTOC\o"1-5"\h\z(1)當公差d豐0時，等差數(shù)列的通項公式a-a+(n-1)d-dn+a-d是關于n的一次函數(shù)，且斜率為公n1 1\o"CurrentDocument"差d；前n和S=na+ndd=dn2+(a-d)n是關于n的二次函數(shù)常數(shù)項0.n1 2 2 12(2)若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列，若公差d=0,則為常數(shù)列。｛a｝的通項公式a=a+(n-1)d或a=a+(n-m)d或a=pn+q(p、q是常數(shù))一n n1 nm n(4)對于任意的整數(shù)p,q,r,s，如果p+q=r+s，那么a+a=a+a.pqrs(5)對于任意的正整數(shù)n>1,有2a=a+a.n n+1 n-1(6)若｛a｝是等差數(shù)列，則｛a｝,｛a｝,｛a｝,｛a｝,｛a｝等都是等差數(shù)列；對于任意的非零實數(shù)b,n 2n 2n-1 3n 3n-1 3n一2數(shù)列｛ba｝也是等差數(shù)列；若｛b｝是等差數(shù)列，則｛a土b｝也是等差數(shù)列n n nn(7)S是等差數(shù)列L｝的前n項和，則S,S-S,S-S仍成等差數(shù)列，即S=3(S-S).n n k2k k3k 2k 3m 2m m(8)若S=S(m豐n)，貝US =0；若S=q,S=p，貝。S=-(p+q)mn n+n p q p+q(9)在等差數(shù)列｛a｝中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S—S=nd；項數(shù)為奇數(shù)2n-1時，n 偶奇S-S=a,S=(2n-1).a(這里a即a)；S:S=(k+1):k。奇偶中 2n-1 中 中n 奇偶(10)若等差數(shù)列｛a｝、｛b｝的前n和分別為A、B，且察=f(n)，則?=祟二)?=卻nn nnB b(2n—1)b Bn n n 2n-1題型講解：【例1】.等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項的和是54?【例2】.一個堆放鉛筆的V型架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆？【例3】在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)能被3除余2,并求這些數(shù)的和.【練習】.求集合M=｛m|m=2n—1,n￡N*,且m<60｝的元素個數(shù)及這些元素的和.【例4】在等差數(shù)列｛an｝中，已知a1=25,S9=S17，問數(shù)列前多少項和最大，并求出最大值?【練習】.已知等差數(shù)列｛a｝中a=13且S=S，那么n取何值時，S取最大值.n 1 311 n【例5】在等差數(shù)列｛an｝中，設前m項和為Sm，前n項和為Sn,且Sm=Sn,mWn,求Sm+n.【練習】.已知等差數(shù)列｛an｝中，S3=21,S6=64,求數(shù)列｛*｝的前n項和Tn【例7】.等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n(m>n),求前m+n項和Sm+n.【練習】.一個等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，求它的前110項和.【例8】.證明：數(shù)列｛an｝的前n項之和Sn=an2+bn(a、b為常數(shù))是這個數(shù)列成為等差數(shù)列的充分必要條件.【練習】.求證：前n項和為4n2+3n的數(shù)列是等差數(shù)列.【例9】.在兩個等差數(shù)列2,5,8,…，197與2,7,12,…，197中，求它們相同項的和.【例10].已知數(shù)列^a｝是等差數(shù)列，S是其前n項和，求證：（1）S,S-S,S-S成等差數(shù)列;n n 6 12 6 18 12（2）設S,S-S,S-S（kEN+）成等差數(shù)列k2k k3k2k習題：一、選擇題：1、在-9與3之間插入口個數(shù).使這n+2個數(shù)組成和為-21的等差數(shù)列，則n等于（）A、4 B、5 C、6 D、72、所有被7除余3的兩位數(shù)之和為（）A、435 B、582 C、659 D、6663、一個五邊形的五個內角成等差數(shù)列，且最小角為46°,則最大角為（）A、170° B、144° C、139° D、108°4、已知等差數(shù)列前n項之和S：n2-17n,則使S最小的n等于（）A、8 B、9nC、10n D、8或95、一個項數(shù)為26的等差數(shù)列的前四項和為21,末四項的和為67,則S26等于（）TOC\o"1-5"\h\zA.1142 B.572 C.286 D.3526、設等差數(shù)列｛an｝的前n項和為30,前2n項和為100,則它的前3n項和為（）A.300 B.170 C.210 D.2607、在等差數(shù)列｛an｝中，a產0,anT—an2+an+1=0（nN2）,若S2n_1=38，則n等于（）A.38 B.20 C.10 D.98、一個項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項和偶數(shù)項的和分別為24和30,若最后一項超過第一項5,那么該等差數(shù)列的項數(shù)是（）A.18 B.12 C.10 D.89、、已知等差數(shù)列｛an｝中，d=2,an=11,Sn=35，那么a1的值是（）A.—1或3 B.—1或7 C.5或7 D.不確定10、一個等差數(shù)列共有n項，前四項和為124,最后四項和為156,所有n項的和是210,那么該數(shù)列的總項數(shù)n等于（）A.5 B.6 C.7 D.不確定11、已知等差數(shù)列｛an｝中，Sn=25,S2n=100，則S3n等于（）TOC\o"1-5"\h\zA.225 B.250 C.215 D.24512、在等差數(shù)列｛a｝中，公差d=1,$100=145，則a]+a3+a5+…+@99的值為（）n 2 100 1 3 5 "A.57 B.58 C.59 D.60二、填空題：13、等差數(shù)列｛a｝中，若a/aja/-1,則S5= .n^ 135 514、已知｛an｝為等差數(shù)列，且a2+a4+a6+a8=48,則S9=.15、一個有11項的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為30,則它的中項為.16、等差數(shù)列｛an｝的通項公式an=2n-49,前n項和Sn的最小值為.17、等差數(shù)列｛an｝中，d=1,S98=137，則a2+a4+a6+???+a98=.18、在等差數(shù)列｛an｝中，已知a6+a9+a12+a15=34,則前20項之和S20=.19、設f(x)=，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…2x+.<2+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為.20、已知數(shù)列｛a｝的前n項和S=一3n2+205n,則數(shù)列｛a｝的通項公式為n n2 2 n21、已知兩個等差數(shù)列｛a