等比數(shù)列-教學(xué)設(shè)計(jì)

#等比數(shù)列的概念【教學(xué)目標(biāo)】理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；掌握等比中項(xiàng)的概念．逐步靈活應(yīng)用等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式解決問題．通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、推理的能力，培養(yǎng)學(xué)生類比分析的能力．【教學(xué)重點(diǎn)】等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式．【教學(xué)難點(diǎn)】靈活應(yīng)用等比數(shù)列概念及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題．【教學(xué)方法】本節(jié)課主要采用類比教學(xué)法和自主探究教學(xué)法．充分利用現(xiàn)實(shí)情景，盡可能地增加教學(xué)過程的趣味性、實(shí)踐性．在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動參與，讓學(xué)生在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上用類比的方法自己去分析、探索，在探索過程中研究和領(lǐng)悟得出的結(jié)論，從而達(dá)到使學(xué)生既獲得知識又發(fā)展智能的目的．【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入復(fù)習(xí)提問：(1)等差數(shù)列的定義；(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)計(jì)算公差d的方法；(4)等差中項(xiàng)的定義及公式.學(xué)生動手操作：把一張紙連續(xù)對折5次，試寫出每次對折后紙的層數(shù).通過學(xué)生動手操作可得折紙的層數(shù)是2,4,8,16,32.教師提出問題.學(xué)生思考回答.教師用問題引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，根據(jù)前面所學(xué)等差數(shù)列的知識，嘗試給出等比數(shù)列的定義.回顧以前學(xué)過的知識，為知識遷移做準(zhǔn)備.通過動手操作解答問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程.新課1.等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等比數(shù)列的公比.公比通常用字母“q”表示.練習(xí)一學(xué)生對比等差、等比兩數(shù)列的異同.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，類比推導(dǎo)與歸納總結(jié)的能力.

新課搶答：下列」數(shù)列是否為等比數(shù)列？8,16,32,64,128,256,…；1,1,1,1,1,1,1,?…243,81,27,9,3,1,,,…；16,8,4,2,0,—2,…；1,—1,1,—1,1,—1,1,…；1,—10,100,—1000,….注意：1)求公比q一定要用后項(xiàng)除以前項(xiàng)，而不能用前項(xiàng)除以后項(xiàng)；2)等比數(shù)列中，各項(xiàng)和公比均不為0;3)q=1時(shí)，{叫為常數(shù)列.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)是4,公比是q的等比數(shù)列U{an}的通項(xiàng)公式可以表示為an=a1qn—1?根據(jù)這個(gè)通項(xiàng)公式，只要已知首項(xiàng)a1和公比q，便可求得等比數(shù)列的任意項(xiàng)an.事實(shí)上，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中共有四個(gè)變量，知道其中三個(gè)，便可求出第四個(gè).練習(xí)二已知一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,公比為一1,求這個(gè)數(shù)列的第9項(xiàng).練習(xí)三求下列等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第8項(xiàng)：5,—15,45,…；1.2,2.4,4.8,…；,八2 1 33,2,8…；教師出示題目.學(xué)生思考、搶答.師問：你能說出練習(xí)一中，等比數(shù)列的公比嗎？教師出示練習(xí)一中的等比數(shù)列.學(xué)生說出各題的公比q.師：等比數(shù)列中，某一項(xiàng)可以為0嗎？公比q可以為0嗎？為什么？師：常數(shù)列是等比數(shù)列嗎？學(xué)生根據(jù)定義，得出結(jié)論.師：請仿照等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，歸納總結(jié)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.學(xué)生分組探究.a2=a1q,a3=—q=——q=a1——,a4=—q=——q=a1——,an=a1——.練習(xí)時(shí)請個(gè)別學(xué)生在黑板上做題.教師訂正.學(xué)生做練習(xí)三.通過一組練習(xí)題，加深學(xué)生對等比數(shù)列定義的理解.用搶答的方式，激發(fā)學(xué)生的思維，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.在教師的引導(dǎo)下，結(jié)合等比數(shù)列定義，歸納得出結(jié)論，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力和合作意識.鞏固加深對等比數(shù)列概念及其通項(xiàng)公式的理解，能運(yùn)用等比數(shù)列解決一些簡單的實(shí)際問題.

新課(4)2,,1,亭，….例1已知一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18,求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng).解設(shè)這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是由,公比是q，貝Ua1q2=12， ①a1q3=18. ②解①②所組成的方程組，得3 16 16x3°q=2,a1=3，a?=a1q=3X2=8.即這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是號，第2項(xiàng)是8.練習(xí)四41.一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是9,公比是一3,求它的第1項(xiàng).2.一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的第1項(xiàng)和第4項(xiàng).例2將20,50,100三個(gè)數(shù)分別加上相同的常數(shù)，使這三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求它的公比q.解設(shè)所加常數(shù)為a，依題意20+a,50+a,100+a成等比數(shù)列，則50+a_100+a20+a—50+a'去分母，得(50+a)2=(20+a)(100+a),即2500+100a+a2=2000+120a+a2,解得a=25.番'50+a50+255七代入計(jì)算，得20+a=20+25=3,所以公比q=5.教師引導(dǎo)學(xué)生分析本題，已知什么？求什么？怎么求？教師啟發(fā)學(xué)生，當(dāng)用一個(gè)式子解決不了問題的時(shí)候，考慮構(gòu)成方程組來解決.教師板書解題過程.引導(dǎo)學(xué)生注意求公比的方法：兩式相除.學(xué)生解答練習(xí)四.請學(xué)生在黑板上做題.教師巡視指導(dǎo).教師引導(dǎo)學(xué)生利用等比數(shù)列的定義列出方程.教師注重引導(dǎo)學(xué)生分析題意，教會學(xué)生思考問題、解決問題的思路與方法.通過練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握等比數(shù)列中，求公比的獨(dú)特方法.此題看似復(fù)雜，實(shí)際上學(xué)生自己可以完成.另外例2的思路與以下等比中項(xiàng)的思路一致，可以在講完等比中項(xiàng)以后讓學(xué)生再回顧此題.

新課.等比中項(xiàng)的定義在2與8之間插入一個(gè)數(shù)4,那么2,4,8成等比數(shù)列.一般地，如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)..等比中項(xiàng)公式如果G是a與b的等比中項(xiàng)，則G2=ab,即G=±yfOb.容易看出，一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).練習(xí)五求下列各組數(shù)的等比中項(xiàng)：(1)2,18； (2)16,4.由特殊數(shù)列2,4,8引出等比中項(xiàng)的定義.師：2,-4,8是否構(gòu)成等比數(shù)列？一4是不是2和8的等比中項(xiàng)？學(xué)生思考、合作探究，得出等比中項(xiàng)公式.教師引導(dǎo)學(xué)生注意等比中項(xiàng)的值有兩個(gè).學(xué)生口答練習(xí)五.師生統(tǒng)一訂正.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)行類比、推導(dǎo)以及歸納總結(jié)的能力.小結(jié).等比數(shù)列的定義..等比數(shù)列的通項(xiàng)公式..等比中項(xiàng)的定義及公式..等比數(shù)列定義與通項(xiàng)公式的應(yīng)用.學(xué)生閱讀課本P18?P20,暢談本節(jié)課的收獲.教師引導(dǎo)梳理，總結(jié)本節(jié)課的知識點(diǎn)和解題方法.教師鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和歸納概括能力.作業(yè)教材P23,習(xí)題第1,2題.學(xué)生課后完成.鞏固拓展.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【教學(xué)目標(biāo)】.理解并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并會應(yīng)用公式解決簡單的問題..逐步熟練等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力..通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納、分析、綜合推理的能力，滲透類比與轉(zhuǎn)化的思想．【教學(xué)重點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和靈活運(yùn)用.【教學(xué)方法】本節(jié)課在公式推導(dǎo)中宜采用類比教學(xué)法和自主探究教學(xué)法．師生共同參與整個(gè)教學(xué)活動，教師是活動的主導(dǎo)，學(xué)生是活動的主體，教師在引導(dǎo)的同時(shí)，讓學(xué)生在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上用類比的方法自己去分析、探索，在探索過程中研究和領(lǐng)悟得出的結(jié)論，從而達(dá)到使學(xué)生既獲得知識又發(fā)展智能的目的．【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入印度一國王與國際象棋發(fā)明家的故事：發(fā)明者要國王在他的棋盤上的64格中的第1格放入1粒麥粒，第2格放入2粒麥粒，第3格放入4粒麥粒，第4格放入8粒麥粒……問應(yīng)給發(fā)明家多少粒麥粒？教師講故事，并提出問題.學(xué)生分組合作探究.學(xué)生用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和.教師對他們的這種思路給予肯定.利用學(xué)生好奇心理，讓學(xué)生去經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，便于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的積極性.新課1.求數(shù)列1,2,4,…,262,263的各項(xiàng)和數(shù)列1,2,4,…，262,263是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，前面的問題應(yīng)歸結(jié)為求這個(gè)數(shù)列前64項(xiàng)的和，可表示為S64=1+2+4+8+…+262+263. ①師：數(shù)列1,2,4,…，262,263是個(gè)什么數(shù)列？有何特征？前面的問題應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？學(xué)生思考回答.師：讓我們尋找一種更簡單的解決這個(gè)問題的辦法吧.師：觀察①式中的各項(xiàng)有何聯(lián)系？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍.教學(xué)中，繁難的求解過程激起學(xué)生急于探求新方法的欲望，為后面的教學(xué)埋下伏筆.

新課2S64=2+4+8+…+263+264. ②①一②，得到S64―2S64=-264.即(1-2)S64=1-264.1—264S64=1-2.2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.當(dāng)qW1時(shí)，S=弟3;n 1—q當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，包含四個(gè)變量，只要知道其中任意三個(gè)，就可求出第四個(gè).例1求等比數(shù)列1,1,1,…的前2 4 88項(xiàng)的和.1…… 1 4 1解因?yàn)閍1=2,q=1=2,n=8,22[1-(2悶 255所以S8= 1 =256.1-2師：如果我們把每一項(xiàng)都乘公比2,得到②式，請觀察各項(xiàng)發(fā)生了什么變化？與①式有什么聯(lián)系？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，除最后一項(xiàng)外，每一項(xiàng)都變成了①的后一項(xiàng).教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生比較、探究：①、②兩式有許多相同的項(xiàng)，用什么辦法可以把相同的項(xiàng)消掉？學(xué)生會想到把兩式相減，消去相同的項(xiàng).教師板書推導(dǎo)過程，得出求和公式.教師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過程后反思：為什么①式兩邊要同乘2呢？教師順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分qW1與q=1時(shí)兩種情況討論.請學(xué)生說出公式中包含的變量：a],q,n,Sn.學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題.師生共同總結(jié)解法.教師訂正評價(jià).留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)關(guān)鍵是錯(cuò)位相減，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力.讓學(xué)生在化繁為簡的過程中，充分感受到數(shù)學(xué)的簡潔性.培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識.在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，完成公式的探究.通過對例題的解答，強(qiáng)化對公式的掌握.

新課練習(xí)根據(jù)下列各組條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列｛。"的年ai=3，q=2,n=6；a1=8，q=2，n=5.例2等比數(shù)列｛an｝的公比q=—3,前4項(xiàng)的和9,求這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng).解根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及已知條件可得5”1一(-3)4]9= 1 ，一(一子解得a