等比數(shù)列與數(shù)列綜合講義

#等比數(shù)列與數(shù)列綜合講義一、知識串講等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)．．．． ．．列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q豐0）,即：a：a=q（q中0）。n+1n1、遞推關系與通項公式遞推關系：a=aqn+1 n通項公式：a=a?qn-1n1推廣：a=a?qn-mnm2、等比中項：若三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則稱b為a與c的等比中項，且為b=±4標，注：b2=ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.3、等比數(shù)列的基本性質,（1）若m+n=p+q，則a?a=a?a（其中m,n,p,qgN*）mnpqa（2）qn-m=—n~，a2=a?a （ngN*）an n-mn+mm（3）｝為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列.n（4）ta｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列0^｝是各項不為零的常數(shù)列.nn4、等比數(shù)列的前n項和，一na1 (q=1)S=1a(1-qn) a-aq (q中1)n—i =-J n—1-q1-q.等比數(shù)列的前n項和的性質若數(shù)列L｝是等比數(shù)列，S是其前n項的和，kgN*，那么S，S-S，S-S成等比數(shù)列.n n k 2k k 3k2k.等比數(shù)列的判定法（1）定義法：an+^=q（常數(shù)）nta｝為等比數(shù)列；ann（2）中項法：a2=a?a （a豐0）n｛a｝為等比數(shù)列；n+1 nn+2 n n（3）通項公式法：a=k?qn（k,q為常數(shù)）n｛a｝為等比數(shù)列；nn（4）前n項和法：S=k（1-qn）（k,q為常數(shù)）n｛a｝為等比數(shù)列。nnS=k—kqn(k,q為常數(shù))n1｝為等比數(shù)歹U。nn7、求數(shù)歹通項公式方法(1)．公式法(定義法)根據(jù)等差數(shù)歹、等比數(shù)歹的定義求通項(2)累加法a—a=f(1)21… a—a=f(2) 『若a—a=f(n)(n>2),貝U 兩邊分別相加得a—a=乙f(n)\o"CurrentDocument"n+1 n ... ... n+1 1k=1a—a=f(n)n+1 n(3)累乘法適用于：a=f(n)an+1 n若n+1r==f(n)，則—=f(1)，-3=f⑵， ，—n^=f(n)a aa an 12 n兩邊分別相乘得，—=a」nlf(k)

a11 k=1(4)待定系數(shù)法 適用于a=qa+f(n)n+1 n(5)根據(jù)條件找n+1與n項關系(6)倒數(shù)變換法適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項二、例題解析21.已知數(shù)歹久?！ǎ氖醉?。］=/,a用2a n-

a+1n(neN*),求證：數(shù)列｛工—1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)歹U｛?！ǎ耐梐公式.答案：2na= n2n+1.在數(shù)歹ij｛1｝中，a=2,a=4a—3n+1,neN*.(I)證明數(shù)列｛a—n｝是等比數(shù)列；(II)求數(shù)n 1 n+1 n n列｛a｝的前n項和S；nn答案：Sn.已知等比數(shù)列｛a｝的各項都是正數(shù)，s=80,s=6560，且在前n項中，最大的項為54,求首項a和n n 2n 1公比q.答案：a=2,q=3TOC\o"1-5"\h\z8 27.在-和彳之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為答案：216.等比數(shù)列｝中，a>0,a=a?+a,neN*，則公比為（C）.n n n n+1 n+2>5 八5 v：5-1 5+1A. B. C. D. 5 2 2 26.已知正項等比數(shù)列｛a｝中，。，，。二27，a與a的等差中項為9,則a.= .n 159 6 7 10答案：160TOC\o"1-5"\h\z7,已知等比數(shù)列｛a｝的各項均為正數(shù)，a=8,a+a=48.n 2 34(I)求數(shù)列｛a｝的通項公式；n(II)設b=loga.證明：｛b｝為等差數(shù)列，并求｛b｝的前n項和S.n 4n n n nn2+3n答案：(1)a=2n+1,(2)s=--—n n48.設8.設a1=2,neN*,求數(shù)列｛b｝的通項公式b.nn2a= n+1a+1n

a+2b=n na一1，n答案：b=2n+1n求通項公式an9.已知數(shù)列^a｝滿足:a=3,a =2a+1,求通項公式ann 1 n+1 n答案：a=2n+1—1n10.等比數(shù)列｛a｝中，已知對任意正整數(shù)nna+a+a+ +a=1 2 3 n2n+m,貝1Ja2+a2+a2h fa2等于()AA.1(4n+m) B,1(2n—1)C.(4n—1)D.(2n+m)211.f(n)=2+24+27+210+???+23n+10(ngN)，則f(n)=( ).DA.2(8n—1)222B.—(8n+1—1) C.—(8n+3—1)D.—(8n+4—1)7 7712.已知等比數(shù)列｛a｝中，s,s,s是等差數(shù)列，求公比q

n n+1nn+2答案：-213.設公差不為0的等差數(shù)列｛a｝中的部分項為a,a,a,??.a…成等比數(shù)列，且k=1,k=5,k=17,k1k2123(1)求通項k；(2)求和k+k+?.?+左12答案：⑴k二3n—n—1;s

n3n+1—3n2+3n14.已知數(shù)列｛a｝,

n｛b｝滿足a=2,n4n—1 4n—1 /、。、(n32)八1 3八1b-—a+—b+1n4n—1 4n—1(1)令c=a+bnnnd=a-b，求數(shù)列｛c｝,｛d｝的通項公式;nnn(II)求數(shù)列｛a｝的通項公式及前n項和公式S.答案：（1）2n-1;(2)an1 1 1 n2——+n+—,s=一——+——+n+12n 2n2n 2三、課后作業(yè)：S=48，則｛a｝的公差為6n.記S為等差數(shù)列｛a｝的前nS=48，則｛a｝的公差為6nA．1B．2C．4D．8.等差數(shù)列｛a｝的首項為i,公差不為0.若%,4,以成等比數(shù)列，則｛〃｝前6項的和為n 236 nA．-24 B．-3 C．3 D．8.等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,若a2+a8+an=30,那么"的值是（）A.130B.65C.70D.以上都不對.若數(shù)列｛an｝的通項公式為an=2n+2n—1,則數(shù)列｛an｝的前n項和為（）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2.設S為等比數(shù)列｛a｝的前n項和，已知3S=a-2,3S=a-2，則公比q=n n 34 23（A）3 （B）4 （C）5 （D）66.已知｛a｝是首項為1的等比數(shù)列，6.已知｛a｝是首項為1的等比數(shù)列，ns是｛a｝的前n項和，nn1,則數(shù)列｛/的刖5項和為15 31(A)9或5 (B)16或531(C)16(D)15T.設｛a｝是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X,Y,Z，則下列等式中恒成立n的是A、X+Z=2Yb、Y(Y-X)=Z(Z-X) c、Y2=XZ d、Y(Y-X)=X(Z-X).已知等比數(shù)列｛〃｝滿足〃>0,〃=L2,???，且。?〃 =22<n>3),則當1時，n n 5 2?-5loga+loga+???+loga-21 23 22?-lA.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2

(I)求a,a,a的值；(II)設b-aT,

123 nn9,在數(shù)列｛a｝中，a+a+a+...+(I)求a,a,a的值；(II)設b-aT,

123 nn求證：數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列；（III）設c-b-（n—n2）n nn(n(n-1,2,3...),如果對任意neN"都有cn<5,求正整數(shù)t的最小值.TOC\o"1-5"\h\z.等差數(shù)列&｝中，a+a“=40,a+a+a的值為( ).n 3 11 6 7 8A.48B.60C.72 D.84.等比數(shù)列｝中，a>0,a-a?+a,neN*，則公比為( ).n n n n+1 n+2.2.5 _v5 「A-1 5+1A..B.C..5 2 2 2.若^a｝是等差數(shù)列，首項ai>0,a_7+a,.>0,a_-a_.<0,則使前n項和S>0成立的最大自n 1 2007 2008 2007 2008 n然數(shù)n是().A.4013 B.4014 C.4015 D.4016.數(shù)列^a｝中，a>0,S是它的前n項和，且4S-a2+2a+1(neN*),則它的通項公式是n n n nnn.若a=1+2+…+n，則數(shù)列］—\的前n項和S-.TOC\o"1-5"\h\zn IaJ nn.數(shù)歹^a卜滿足：a+2a+3a+—+na-n(n+1)(n+2)，則通項a-a+a+aa+a+a貝IJ一—3 9-a +a +a2 4 10.等差數(shù)列之｝中，公差d豐0,若a，a,a成等比數(shù)列，n 139a-1,a =a+2n(n—1).通項a—1 n+1 n n18.已知數(shù)列｝的前n項和為Snn18.已知數(shù)列｝的前n項和為Snn點（n下）在直線y--x+了上，數(shù)列”滿足b—2b+b=0(neN*),且b=11,前9項和為153. ⑴求數(shù)列ib}的通項；⑵設n+2 n+1 n 3 nnC=-——3^-.--，數(shù)列C)的前n項和為T，不等式T>k對一切neN*恒成立的最大正整n (2a-11)(2b一1)n n n57nn數(shù)k的值.19.已知數(shù)列A:a,a，…,a(N>3)的各項均為正整數(shù)，設集合T=｛小二a-a,1J〈j<N｝，記T的元素1 2 ji個數(shù)為P(T).(I)若數(shù)歹UA:1,2,4,3，求集合T,并寫出P(T)的值；(II)若A是遞增數(shù)列，求證：“P(T)=N-1”的充要條件是“A為等差數(shù)列”137作業(yè)答案：1.C；2.A；3.A；4.C；5.B；6.C；7.D；8.C,9(1)a=-a=-a=3(2)略;(3)1 22 43 84.10.B11.C12.B13.a=2n-1 14. n n+115.3n+316. 17.2n-1 18.1619.解：(I)因為a=1,1①a=n+5;b=3n+2nna=2,a=4,a=3,234②18；所以T={1,2,3,-1},P(T)=4.(II)充分性：若A是等差數(shù)列，設公差為d.因為數(shù)列A是遞增數(shù)列，所以d〉0.則當j>i時，a一a=(j-i)d.ji所以T={d,2d，…,(N-l)d},P(T)=N-1.必要性：若P(T)=N-1.TOC\o"1-5"\h\z因為A是遞增數(shù)列，所以a-a<a-a<???<?-a,2 13 1 N1所以a-aa-a，…,a-aeT，且互不相等.2 1