2025屆陜西省延安市高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆陜西省延安市高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．2．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．3．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．4．中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類．這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類的方法，最先見(jiàn)于《周禮·春官·大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂(lè)器，“土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器，“絲”為彈撥樂(lè)器．現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂(lè)器的概率為（）A． B． C． D．5．若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則A．的值域?yàn)?B．為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期C．的圖像關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)6．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為（）.A．432 B．576 C．696 D．9607．已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號(hào)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④8．如圖，在三棱錐中，平面，，現(xiàn)從該三棱錐的個(gè)表面中任選個(gè)，則選取的個(gè)表面互相垂直的概率為（）A． B． C． D．9．已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．310．一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖），則這個(gè)四棱錐中最最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是（）．A． B． C． D．11．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于12．將一塊邊長(zhǎng)為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_(kāi)______.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率________.15．已知下列命題：①命題“?x0∈R，”的否定是“?x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q為兩個(gè)命題，若“p∨q”為假命題，則“”為真命題；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要條件；④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號(hào)是________．16．兩光滑的曲線相切，那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個(gè)外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：（2）若，記的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.18．（12分）如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，，，平面，是線段上靠近的三等分點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線為，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，與共線．20．（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來(lái)該健身館健身，設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的概率分別為，，健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別為，，且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）此促銷活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來(lái)參與健身活動(dòng)，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，求的取值范圍，并求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.當(dāng)與連線的斜率為時(shí)，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出，然后計(jì)算．【詳解】，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2、C【解析】

可設(shè)，根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到：，可設(shè)，，且，根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出，從而得出在上單調(diào)遞增，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到、、的大小關(guān)系，從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)?，即，又，設(shè)，根據(jù)條件，，；若，，且，則：；在上是減函數(shù)；；；在上是增函數(shù)；所以，故選：C【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程：設(shè)，通過(guò)條件比較與，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.3、B【解析】由題意可得c=，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點(diǎn)睛：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是線段（兩定點(diǎn)間的連線段），當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡不存在．4、B【解析】

分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法；“兩音”中含有打擊樂(lè)器的取法共有種取法；所求概率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).5、D【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)；因?yàn)?，，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，由題意無(wú)法求出的值域，所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.6、B【解析】

先把沒(méi)有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時(shí)，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.7、D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時(shí)滿足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線的距離公式.8、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對(duì)數(shù)，再求出四個(gè)面中任選2個(gè)的方法數(shù)，從而可計(jì)算概率．【詳解】由已知平面，，可得，從該三棱錐的個(gè)面中任選個(gè)面共有種不同的選法，而選取的個(gè)表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù)．9、D【解析】

轉(zhuǎn)化條件得，利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長(zhǎng)即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴這個(gè)四棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．12、D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關(guān)系表示，最后結(jié)合雙曲線離心率公式計(jì)算得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因?yàn)槠湟粭l漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，則，由此可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進(jìn)而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，由，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，直線方程為，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，，從而可求得，得斜率．【詳解】由得，即聯(lián)立得解得或，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交，考查向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元，應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問(wèn)題的常用方法．15、②【解析】命題“?x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，故①錯(cuò)誤；“p∨q”為假命題說(shuō)明p假q假，則(p)∧(q)為真命題，故②正確；a＞5?a＞2，但a＞2?/a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分條件，故③錯(cuò)誤；因?yàn)椤叭魓y＝0，則x＝0或y＝0”，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯(cuò)誤．16、【解析】

第一空：將圓與聯(lián)立，利用計(jì)算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時(shí)，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當(dāng)時(shí)，①，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）求導(dǎo).根據(jù)單調(diào)，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立求解（2）由（1）知，是的兩個(gè)根，不妨設(shè)，令.根據(jù)，確定，將轉(zhuǎn)化為.令，用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?因?yàn)閱握{(diào)，所以對(duì)恒成立，所以，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；（2）由（1）知，是的兩個(gè)根.從而，，不妨設(shè)，則.因?yàn)?，所以t為關(guān)于a的減函數(shù)，所以..令，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，.從而，所以在上為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由，故，所以四邊形為菱形，再通過(guò)，證得，所以四邊形為正方形，得到.（2）根據(jù)（1）的論證，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，由求得，再由，利用線面角的向量法公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，故，所以四邊形為菱形，而平面，?因?yàn)?，故，故，即四邊形為正方形，?（2）依題意，.在正方形中，，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；如圖所示：不紡設(shè)，則，又因?yàn)?，所?所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.于是.又因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）證明見(jiàn)解析．【解析】由與，得，，的方程為．設(shè)，則，由得．①（Ⅰ）由，得，②，③由①、②、③三式，消去，并求得，故．（Ⅱ），當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值，此時(shí)，，故與共線．20、（1）見(jiàn)解析，40元（2）6000元【解析】

（1）甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情況，分情況計(jì)算即可（2）根據(jù)（1）結(jié)果求均值.【詳解】解：（1）由題設(shè)知可能取值為0，20，40，60，80，則；；；；.故的分布列為：020406080所以數(shù)學(xué)期望（元）（2）此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)為：（元）【點(diǎn)睛】考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）的取值范圍是；對(duì)應(yīng)的的值為.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極