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安徽省亳州市重點中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.3.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.4.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為85.在平面直角坐標(biāo)系中,將點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)到點,設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為,則等于()A. B. C. D.6.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對比該??忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達線人數(shù)相同7.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項的和為A. B. C. D.8.用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動生成一個實數(shù),且每次生成每個實數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù),則這3個實數(shù)都小于的概率為()A. B. C. D.9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對應(yīng)的點為Z,將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.10.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.11.已知,,,,則()A. B. C. D.12.一個封閉的棱長為2的正方體容器,當(dāng)水平放置時,如圖,水面的高度正好為棱長的一半.若將該正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記實數(shù)中的最大數(shù)為,最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長,若,則的取值范圍是.14.已知、為正實數(shù),直線截圓所得的弦長為,則的最小值為__________.15.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,過點作傾斜角為的直線,已知直線與圓相交于兩點,則弦的長等于____________.16.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)為實數(shù),已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)設(shè)為實數(shù),若不等式對任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;(3)若函數(shù)(,)有兩個相異的零點,求的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(1)證明:函數(shù)的極小值點為1;(2)若函數(shù)在有兩個零點,證明:.19.(12分)如圖,在長方體中,,為的中點,為的中點,為線段上一點,且滿足,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知正實數(shù)滿足.(1)求的最小值.(2)證明:21.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實數(shù),使得,求證:22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】
求出集合,然后進行并集的運算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.5、A【解析】
設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為,由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值,依題有,則,利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖,設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點在角的終邊上,所以依題有,則,所以,故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯誤;2019年二本達線人數(shù),2016年二本達線人數(shù),增加了倍,故C錯誤;2016年藝體達線人數(shù),2019年藝體達線人數(shù),故D錯誤.故選:A.【點睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用,考查學(xué)生識圖的能力,是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.7、A【解析】分析:通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知,進而可知,利用裂項相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項的和為,故選A.點睛:裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點,常見的裂項技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題,導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.8、C【解析】
由幾何概型的概率計算,知每次生成一個實數(shù)小于1的概率為,結(jié)合獨立事件發(fā)生的概率計算即可.【詳解】∵每次生成一個實數(shù)小于1的概率為.∴這3個實數(shù)都小于1的概率為.故選:C.【點睛】本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率,考查學(xué)生基本的計算能力,是一道容易題.9、A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對應(yīng)點Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】
用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計算.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.11、D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時,令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.12、B【解析】
根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半,由此得到結(jié)論.【詳解】正方體的面對角線長為,又水的體積是正方體體積的一半,且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半,即最大水面高度為,故選B.【點睛】本題考查了正方體的幾何特征,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:顯然,又,①當(dāng)時,,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是(1,1)和,從而②當(dāng)時,,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是(1,1)和,從而綜上所述,的取值范圍是.考點:不等式、簡單線性規(guī)劃.14、【解析】
先根據(jù)弦長,半徑,弦心距之間的關(guān)系列式求得,代入整理得,利用基本不等式求得最值.【詳解】解:圓的圓心為,則到直線的距離為,由直線截圓所得的弦長為可得,整理得,解得或(舍去),令,又,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,則.故答案為:.【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考核基本不等式求最值,關(guān)鍵是對目標(biāo)式進行變形,變成能用基本不等式求最值的形式,也可用換元法進行變形,是中檔題.15、【解析】
方法一:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,設(shè),則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離,則.16、【解析】
先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)(3)【解析】
(1)據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;(2)分離參數(shù),可得對任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;(3)先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【詳解】解:(1)當(dāng)時,因為,當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)由,得,由于,所以對任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對任意的恒成立,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以.(3)由,得,其中.①若時,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個零點,不合題意;②若時,令,得.由第(2)小題,知:當(dāng)時,,所以,所以,所以當(dāng)時,函數(shù)的值域為.所以,存在,使得,即,①且當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因為函數(shù)有兩個零點,,所以.②設(shè),,則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時,.所以,②式中的,又由①式,得.由第(1)小題可知,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即.當(dāng)時,(?。┯捎?所以得,又因為,且函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)的圖象在上不間斷,所以函數(shù)在上恰有一個零點;(ⅱ)由于,令,設(shè),,由于時,,,所以設(shè),即.由①式,得,當(dāng)時,,且,同理可得函數(shù)在上也恰有一個零點.綜上,.【點睛】本題考查含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立問題,以及考查函數(shù)零點問題,考查學(xué)生的計算能力,是綜合性較強的題.18、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個零點,即方程在區(qū)間有兩解,令通過二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解:(1)證明:因為,當(dāng)時,,,所以在區(qū)間遞減;當(dāng)時,,所以,所以在區(qū)間遞增;且,所以函數(shù)的極小值點為1(2)函數(shù)在有兩個零點,即方程在區(qū)間有兩解,令,則令,則,所以在單調(diào)遞增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,且,又因為,所以,方程關(guān)于的方程在有兩個零點,由的圖象可知,,即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo),零點存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)解法一:作的中點,連接,.利用三角形的中位線證得,利用梯形中位線證得,由此證得平面平面,進而證得平面.解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直,證得平面.(2)利用平面和平面法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)法一:作的中點,連接,.又為的中點,∴為的中位線,∴,又為的中點,∴為梯形的中位線,∴,在平面中,,在平面中,,∴平面平面,又平面,∴平面.另解:(法二)∵在長方體中,,,兩兩互相垂直,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,,,,,,,,.(1)設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則,.∴,又,∵,,又平面,平面.(2)設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則,.∴.同理可算得平面的一個法向量為∴,又由圖可知二面角的平面角為一個鈍角,故二面角的余弦值為.【點睛】本小題考查線面的位置關(guān)系,空間向量與線面角,二面角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力,推理論證能力,運算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.20、(1);(2)見解析【解析】
(1)利用乘“1”法,結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.(2)直接利用基本不等式及乘“1”法,證明即可.【詳解】(1)因為,所以因為,所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立),所以(2)證明:因為,所以故(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立)【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了乘“1”法的技巧,考查了推理論證能力,屬于中檔題.21、(1)時,函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見解析【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對恒成立,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因為
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