2025屆福建省長(zhǎng)汀、連城、武平、永定、漳平、上杭六地一中聯(lián)考高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析_第1頁
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2025屆福建省長(zhǎng)汀、連城、武平、永定、漳平、上杭六地一中聯(lián)考高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.602.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.43.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A. B. C. D.4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.75.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.6.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若時(shí),,則的取值范圍為()A. B. C. D.8.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.9.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.10.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則11.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.12.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列,,則的最小值為________.14.請(qǐng)列舉用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.15.已知數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,,,則_________,_________.16.甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽,有兩人獲獎(jiǎng).在比賽結(jié)果揭曉之前,四人的猜測(cè)如下表,其中“√”表示猜測(cè)某人獲獎(jiǎng),“×”表示猜測(cè)某人未獲獎(jiǎng),而“○”則表示對(duì)某人是否獲獎(jiǎng)未發(fā)表意見.已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的,那么兩名獲獎(jiǎng)?wù)呤莀______.甲獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)丙獲獎(jiǎng)丁獲獎(jiǎng)甲的猜測(cè)√××√乙的猜測(cè)×○○√丙的猜測(cè)×√×√丁的猜測(cè)○○√×三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其短半軸長(zhǎng)為,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上的點(diǎn),且.證明:直線與圓相切;求面積的最小值.20.(12分)一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)設(shè)拋擲4次的得分為,求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)當(dāng)游戲得分為時(shí),游戲停止,記得分的概率和為.①求;②當(dāng)時(shí),記,證明:數(shù)列為常數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列.21.(12分)已知在四棱錐中,平面,,在四邊形中,,,,為的中點(diǎn),連接,為的中點(diǎn),連接.(1)求證:.(2)求二面角的余弦值.22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若的解集為,,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】

先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題,化歸基本量,尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.3、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6、C【解析】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡(jiǎn)單題.7、D【解析】

由題得對(duì)恒成立,令,然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對(duì)恒成立,令,在單調(diào)遞減,且,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,又在單調(diào)遞增,,的取值范圍為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式恒成立問題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題,可采用參變量分離法去求解.8、D【解析】

試題分析:如圖所示,截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點(diǎn):本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.9、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式,再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)區(qū)間,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,由單調(diào)遞增,則(),解得(),當(dāng)時(shí),D選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)是遞減區(qū)間,A,B選項(xiàng)中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).10、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí),不滿足,錯(cuò)誤;對(duì)于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),,但,錯(cuò)誤;對(duì)于,由,知:,又,,正確;對(duì)于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計(jì)算.【詳解】,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.12、C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和,根據(jù)后兩個(gè)公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,故即,由可得或,因?yàn)闉檫f增數(shù)列,故符合.此時(shí),所以或(舍,因?yàn)闉檫f增數(shù)列).故,.故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、27【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.14、231,321,301,1【解析】

分個(gè)位數(shù)字是1、3兩種情況討論,即得解【詳解】0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有:(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是1時(shí),數(shù)字可以是231,321,301;(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是3時(shí)數(shù)字可以是1.故答案為:231,321,301,1【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)法的應(yīng)用,考查了學(xué)生分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、8(寫為也得分)【解析】

由,得,.當(dāng)時(shí),,所以,所以的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列;其偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.則,.16、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的”將題目分為四種情況,然后對(duì)四種情況依次進(jìn)行分析,觀察四人所猜測(cè)的結(jié)果是否沖突,最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知,若甲猜測(cè)正確,則乙,丙,丁猜測(cè)錯(cuò)誤,與題意不符,故甲猜測(cè)錯(cuò)誤;若乙猜測(cè)正確,則依題意丙猜測(cè)無法確定正誤,丁猜測(cè)錯(cuò)誤;若丙猜測(cè)正確,則丁猜測(cè)錯(cuò)誤;綜上只有乙,丙猜測(cè)不矛盾,依題意乙,丙猜測(cè)是正確的,從而得出乙,丁獲獎(jiǎng).所以本題答案為乙、丁.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的合情推理題,能否根據(jù)“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,是簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)零點(diǎn)分段去絕對(duì)值解不等式即可(2)由題在上有解,去絕對(duì)值分離變量a即可.【詳解】(1)不等式,即等價(jià)于或或解得,所以原不等式的解集為;(2)當(dāng)時(shí),不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式解法,不等式有解求參數(shù),熟記零點(diǎn)分段,熟練處理不等式有解問題是關(guān)鍵,是中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)按絕對(duì)值的定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后解不等式;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,求出在上的最小值即可,利用絕對(duì)值定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后可求得函數(shù)最小值.【詳解】解:(1)或或解得或或無解綜上不等式的解集為.(2)時(shí),,即所以只需在時(shí)恒成立即可令,由解析式得在上是增函數(shù),∴當(dāng)時(shí),即【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式,考查不等式恒成立問題,解決絕對(duì)值不等式的問題,分類討論是常用方法.掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵.19、證明見解析;1.【解析】

由題意可得橢圓的方程為,由點(diǎn)在直線上,且知的斜率必定存在,分類討論當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)和斜率不為時(shí)的情況列出相應(yīng)式子,即可得出直線與圓相切;由知,的面積為【詳解】解:由題意,橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點(diǎn)在直線上,且知的斜率必定存在,當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí),,,于是,到的距離為,直線與圓相切.當(dāng)?shù)男甭什粸闀r(shí),設(shè)的方程為,與聯(lián)立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時(shí),到的距離為,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.由知,的面積為,上式中,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,所以面積的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.20、(1)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為6;(2)①;②證明見解析【解析】

(1)變量的所有可能取值為4,5,6,7,8,分別求出對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而可求出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,分別求出兩種情況的概率,進(jìn)而可求得;②得分分兩種情況,第一種為得分后拋擲一次正面向上,第二種為得分后拋擲一次反面向上,可知當(dāng)且時(shí),,結(jié)合,可推出,從而可證明數(shù)列為常數(shù)列;結(jié)合,可推出,進(jìn)而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】(1)變量的所有可能取值為4,5,6,7,8.每次拋擲一次硬幣,正面向上的概率為,反面向上的概率也為,則,.所以變量的分布列為:45678故變量的數(shù)學(xué)期望為.(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,概率的和為.②得分分兩種情況,第一種為得分后拋擲一次正面向上,第二種為得分后拋擲一次反面向上,故且時(shí),有,則時(shí),,所以,故數(shù)列為常數(shù)列;又,,所以數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2)【解析】

(1)連接,證明,得到面,得到證明.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,為平面的法向量,平面的一個(gè)法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(1)連接,在四邊形中,,平面,面,,,面,又面,,又在直角三角形中,,為的中點(diǎn),,,面,面,.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,,,,,令,則,,,同理可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)向量與的所成的角為,,由圖形知,二面角為銳二面角,所以余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和

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