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文檔簡介
安徽蚌埠龍湖中學2025屆高考數學五模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.要得到函數的圖象,只需將函數的圖象A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度2.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,aβ,bα,則“ab“是“αβ”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的表面積為()A.8 B. C. D.4.已知函數的圖象在點處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-35.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.復數滿足,則()A. B. C. D.7.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積為()A. B. C. D.8.一個袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個、黑球2個,現隨機等可能取出小球,當有放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數為;當無放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數為,則()A., B.,C., D.,9.如圖,長方體中,,,點T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.10.已知集合,則集合()A. B. C. D.11.若樣本的平均數是10,方差為2,則對于樣本,下列結論正確的是()A.平均數為20,方差為4 B.平均數為11,方差為4C.平均數為21,方差為8 D.平均數為20,方差為812.定義域為R的偶函數滿足任意,有,且當時,.若函數至少有三個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設復數滿足,其中是虛數單位,若是的共軛復數,則____________.14.在平面直角坐標系中,點P在直線上,過點P作圓C:的一條切線,切點為T.若,則的長是______.15.關于函數有下列四個命題:①函數在上是增函數;②函數的圖象關于中心對稱;③不存在斜率小于且與函數的圖象相切的直線;④函數的導函數不存在極小值.其中正確的命題有______.(寫出所有正確命題的序號)16.已知函數,若,則實數的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系xOy中,已知平行于x軸的動直線l交拋物線C:于點P,點F為C的焦點.圓心不在y軸上的圓M與直線l,PF,x軸都相切,設M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)若直線與曲線E相切于點,過Q且垂直于的直線為,直線,分別與y軸相交于點A,當線段AB的長度最小時,求s的值.18.(12分)如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點,為的中點,在線段上,且。將沿折起,使點到的位置(如圖2所示),且。(1)證明:平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值19.(12分)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查,每一位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調查的人的得分(滿分:分)數據,統(tǒng)計結果如下表所示.組別頻數(1)已知此次問卷調查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案.(?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈次隨機話費,得分低于的可以獲贈次隨機話費;(ⅱ)每次贈送的隨機話費和相應的概率如下表.贈送的隨機話費/元概率現市民甲要參加此次問卷調查,記為該市民參加問卷調查獲贈的話費,求的分布列及數學期望.附:,若,則,,.20.(12分)已知橢圓()經過點,離心率為,、、為橢圓上不同的三點,且滿足,為坐標原點.(1)若直線、的斜率都存在,求證:為定值;(2)求的取值范圍.21.(12分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)證明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直線AD與平面APC所成角的正弦值.22.(10分)已知,,分別為內角,,的對邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
先將化為,根據函數圖像的平移原則,即可得出結果.【詳解】因為,所以只需將的圖象向右平移個單位.【點睛】本題主要考查三角函數的平移,熟記函數平移原則即可,屬于基礎題型.2、D【解析】
根據面面平行的判定及性質求解即可.【詳解】解:a?α,b?β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α與β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a與b異面,∴a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,a∥β,b∥α,則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷,考查面面平行的判定與性質,屬于基礎題.3、D【解析】
根據三視圖還原幾何體為四棱錐,即可求出幾何體的表面積.【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐,如圖,且四棱錐的一條側棱與底面垂直,四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2,所以,故選:【點睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體,棱錐表面積的計算,考查了學生的運算能力,屬于中檔題.4、B【解析】
根據求出再根據也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因為,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點睛】本題主要考查導數的幾何意義,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5、B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若,則,故或,當時,直線,直線,此時兩條直線平行;當時,直線,直線,此時兩條直線平行.所以當時,推不出,故“”是“”的不充分條件,當時,可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷,前者應根據系數關系來考慮,后者依據兩個條件之間的推出關系,本題屬于中檔題.6、C【解析】
利用復數模與除法運算即可得到結果.【詳解】解:,故選:C【點睛】本題考查復數除法運算,考查復數的模,考查計算能力,屬于基礎題.7、B【解析】
由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側棱垂直于底面,由此求出四棱錐的體積.【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側棱垂直于底面,畫出四棱錐的直觀圖,如圖所示:則該四棱錐的體積為.故選:B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題,是基礎題.8、B【解析】
分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.【點睛】離散型隨機變量的分布列的計算,應先確定隨機變量所有可能的取值,再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.9、D【解析】
根據線面垂直的性質,可知;結合即可證明,進而求得.由線段關系及平面向量數量積定義即可求得.【詳解】長方體中,,點T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質應用,平面向量數量積的運算,屬于基礎題.10、D【解析】
弄清集合B的含義,它的元素x來自于集合A,且也是集合A的元素.【詳解】因,所以,故,又,,則,故集合.故選:D.【點睛】本題考查集合的定義,涉及到解絕對值不等式,是一道基礎題.11、D【解析】
由兩組數據間的關系,可判斷二者平均數的關系,方差的關系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數是10,方差為2,所以樣本的平均數為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數是,方差為,則的平均數為,方差為.12、B【解析】
由題意可得的周期為,當時,,令,則的圖像和的圖像至少有個交點,畫出圖像,數形結合,根據,求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數,滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數,當時,,當,當,作出圖像,如下圖所示:函數至少有三個零點,則的圖像和的圖像至少有個交點,,若,的圖像和的圖像只有1個交點,不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個交點,則有,即,.故選:B.【點睛】本題考查函數周期性及其應用,解題過程中用到了數形結合方法,這也是高考??嫉臒狳c問題,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由于,則.14、【解析】
作出圖像,設點,根據已知可得,,且,可解出,計算即得.【詳解】如圖,設,圓心坐標為,可得,,,,,解得,,即的長是.故答案為:【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,以及求平面兩點間的距離,運用了數形結合的思想.15、①②③【解析】
由單調性、對稱性概念、導數的幾何意義、導數與極值的關系進行判斷.【詳解】函數的定義域是,由于,在上遞增,∴函數在上是遞增,①正確;,∴函數的圖象關于中心對稱,②正確;,時取等號,∴③正確;,設,則,顯然是即的極小值點,④錯誤.故答案為:①②③.【點睛】本題考查函數的單調性、對稱性,考查導數的幾何意義、導數與極值,解題時按照相關概念判斷即可,屬于中檔題.16、【解析】
畫圖分析可得函數是偶函數,且在上單調遞減,利用偶函數性質和單調性可解.【詳解】作出函數的圖如下所示,觀察可知,函數為偶函數,且在上單調遞增,在上單調遞減,故,故實數的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查利用函數奇偶性及單調性解不等式.函數奇偶性的常用結論:(1)如果函數是偶函數,那么.(2)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性;偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2).【解析】
根據題意設,可得PF的方程,根據距離即可求出;點Q處的切線的斜率存在,由對稱性不妨設,根據導數的幾何意義和斜率公式,求,并構造函數,利用導數求出函數的最值.【詳解】因為拋物線C的方程為,所以F的坐標為,設,因為圓M與x軸、直線l都相切,l平行于x軸,所以圓M的半徑為,點,則直線PF的方程為,即,所以,又m,,所以,即,所以E的方程為,,設,,,由知,點Q處的切線的斜率存在,由對稱性不妨設,由,所以,,所以,,所以,.令,,則,由得,由得,所以在區(qū)間單調遞減,在單調遞增,所以當時,取得極小值也是最小值,即AB取得最小值此時.【點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關系,以及利用導數求函數最值的關系,考查了運算能力和轉化能力,屬于難題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)要證明線面平行,需證明線線平行,取的中點,連接,根據條件證明,即;(2)以為原點,所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,求兩個平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取的中點,連接.∵,∴為的中點.又為的中點,∴.依題意可知,則四邊形為平行四邊形,∴,從而.又平面,平面,∴平面.(2),且,平面,平面,,,且,平面,以為原點,所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,不妨設,則,,,,,,,,.設平面的法向量為,則,即,令,得.設平面的法向量為,則,即,令,得.從而,故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明和空間坐標法解決二面角的問題,意在考查空間想象能力,推理證明和計算能力,屬于中檔題型,證明線面平行,或證明面面平行時,關鍵是證明線線平行,所以做輔助線或證明時,需考慮構造中位線或平行四邊形,這些都是證明線線平行的常方法.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據題中所給的統(tǒng)計表,利用公式計算出平均數的值,再利用數據之間的關系將、表示為,,利用題中所給數據,以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性,求出對應的概率;(2)根據題意,高于平均數和低于平均數的概率各為,再結合得元、元的概率,分析得出話費的可能數據都有哪些,再利用公式求得對應的概率,進而得出分布列,之后利用離散型隨機變量的分布列求出其數學期望.【詳解】(1)由題意可得,易知,,,;(2)根據題意,可得出隨機變量的可能取值有、、、元,,,,.所以,隨機變量的分布列如下表所示:所以,隨機變量的數學期望為.【點睛】本題考查概率的計算,涉及到平均數的求法、正態(tài)分布概率的計算以及離散型隨機變量分布列及其數學期望,在解題時要弄清楚隨機變量所滿足的分布列類型,結合相應公式計算對應事件的概率,考查計算能力,屬于中等題.20、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)首先根據題中條件求出橢圓方程,設、、點坐標,根據利用坐標表示出即可得證;(2)設直線方程,再與橢圓方程聯立利用韋達定理表示出,即可求出范圍.【詳解】(1)依題有,所以橢圓方程為.設,,,由為的重心,;又因為,,,,(2)當的斜率不存在時:,,,代入橢圓得,,,當的斜率存在時:設直線為,這里,由,,根據韋達定理有,,,故,代入橢圓方程有,又因為,綜上,的范圍是.【點睛】本題主要考查了橢圓方程的求解,三角形重心的坐標關系,直線與橢圓所交弦長,屬于一般題.21、(Ⅰ)見解析(Ⅱ).【解析】
(I)取的中點,連接,通過證明平面得出;(II)以為原點建立坐標系,求出平面的法向量,通過計算與的夾角得出與平面所成角.【詳解】(I)證明:
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