福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2025屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2025屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦點F的坐標為(c,0)，點A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點，O為坐標原點，滿足|OA|=A．2 B．2 C．2333．一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為，則（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．25．集合的真子集的個數(shù)為()A．7 B．8 C．31 D．326．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．7．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．8．已知，，為圓上的動點，，過點作與垂直的直線交直線于點，若點的橫坐標為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如圖是計算值的一個程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A．B．C．D．10．若，則的虛部是（）A． B． C． D．11．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列通項公式為，則該數(shù)列是等差數(shù)列；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．012．年某省將實行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)，G分別為的中點,點P在平面ABCD內(nèi)，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.14．已知數(shù)列的前項和公式為，則數(shù)列的通項公式為___．15．若存在實數(shù)使得不等式在某區(qū)間上恒成立，則稱與為該區(qū)間上的一對“分離函數(shù)”，下列各組函數(shù)中是對應(yīng)區(qū)間上的“分離函數(shù)”的有___________.（填上所有正確答案的序號）①，，；②，，；③，，；④，，.16．點P是△ABC所在平面內(nèi)一點且在△ABC內(nèi)任取一點，則此點取自△PBC內(nèi)的概率是____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊長分別為、、.設(shè)為的面積，滿足.(1)求；(2)若，求的最大值.18．（12分）第十四屆全國冬季運動會召開期間，某校舉行了“冰上運動知識競賽”，為了解本次競賽成績情況，從中隨機抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率；（2）若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動，并指定2名負責(zé)人，求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負責(zé)人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0019．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點，求的最小值.20．（12分）某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開展“慶元旦”活動，當天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積極性，采用搖號抽獎的方式，抽取了家店鋪進行紅包獎勵.如圖是抽取的家店鋪元旦當天的銷售額（單位：千元）的頻率分布直方圖.（1）求抽取的這家店鋪，元旦當天銷售額的平均值；（2）估計抽取的家店鋪中元旦當天銷售額不低于元的有多少家；（3）為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進行銷售研究，求抽取的店鋪銷售額在中的個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，，若，，成等比數(shù)列．（1）求及；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和，證明：．22．（10分）橢圓：的離心率為，點為橢圓上的一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為橢圓的下頂點，求證：對于任意的實數(shù)，直線的斜率之積為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.2、C【解析】

計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A故Ac,bca，F(xiàn)c,0，故Mc,故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.3、B【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因為，所以.故選：B【點睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

結(jié)合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.5、A【解析】

計算，再計算真子集個數(shù)得到答案.【詳解】，故真子集個數(shù)為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.6、C【解析】

設(shè)M,N,P分別為和的中點，得出的夾角為MN和NP夾角或其補角，根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點，則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知，.作BC中點Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點睛】此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.7、C【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是，于是所求的概率．故選：C【點睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由題意得，即可得點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.9、B【解析】

根據(jù)計算結(jié)果，可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次；輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，進而可得判斷框內(nèi)的不等式．【詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，根據(jù)結(jié)果填寫判斷框，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

通過復(fù)數(shù)的乘除運算法則化簡求解復(fù)數(shù)為：的形式，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關(guān)系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列的通項公式為，可得為一次項系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯誤；③在中，，而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯誤；④若，則，所以，當且僅當時取等號，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個；故選：B【點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．12、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接，因為E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

由題意，根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項公式．【詳解】由題意，可知當時，；當時，.又因為不滿足，所以.【點睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式，其中解答中熟記數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系，合理準確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、①②④【解析】

由題意可知，若要存在使得成立，我們可考慮兩函數(shù)是否存在公切點，若兩函數(shù)在公切點對應(yīng)的位置一個單增，另一個單減，則很容易判斷，對①，③，④都可以采用此法判斷，對②分析式子特點可知，，進而判斷【詳解】①時，令，則，單調(diào)遞增，，即.令，則，單調(diào)遞減，，即，因此，滿足題意.②時，易知，滿足題意.③注意到，因此如果存在直線，只有可能是（或）在處的切線，，因此切線為，易知，，因此不存在直線滿足題意.④時，注意到，因此如果存在直線，只有可能是（或）在處的切線，，因此切線為.令，則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.令，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即.因此，滿足題意.故答案為：①②④【點睛】本題考查新定義題型、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題16、【解析】

設(shè)是中點，根據(jù)已知條件判斷出三點共線且是線段靠近的三等分點，由此求得，結(jié)合幾何概型求得點取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點，因為，所以，所以三點共線且點是線段靠近的三等分點，故，所以此點取自內(nèi)的概率是．故答案為：【點睛】本小題主要考查三點共線的向量表示，考查幾何概型概率計算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解析】

(1)根據(jù)條件形式選擇，然后利用余弦定理和正弦定理化簡，即可求出；(2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分別用角的三角函數(shù)值表示出，即可得到，再利用三角恒等變換，化簡為，即可求出最大值．【詳解】(1)∵，即，∴變形得：，整理得：，又，∴；(2)∵，∴，由正弦定理知，，∴，當且僅當時取最大值．故的最大值為.【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，以及利用三角恒等變換求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題18、（1），，，；（2）【解析】

（1）根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出，根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出，進而求出不低于70分的概率；（2）由（1）得，根據(jù)分層抽樣原則，分別從抽出2人，2人，1人，并按照所在組對抽出的5人編號，列出所有2名負責(zé)人的抽取方法，得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負責(zé)人的抽法數(shù)，由古典概型概率公式，即可求解.【詳解】（1），，，由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為：（2）因為第3、4、5組共有50名學(xué)生，所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，每組分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人，所以第3、4、5組分別抽取2人，2人，1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、，第4組的2位同學(xué)為、，第5組的1位同學(xué)為，則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下：，，，，，，，，，，其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負責(zé)人有7種抽法，故所求的概率為.【點睛】本題考查補全頻率分布表、古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設(shè)，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實際應(yīng)用，還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式，考查計算能力.20、（1）元；（2）32家；（3）分布列見解析；【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率，再由平均數(shù)公式，即可求解；（2）求出的頻率即可；