浙江專用2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷期中測試卷03新人教A版

-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷03一、單選題1．過點(diǎn)A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0【答案】D【分析】考慮直線是否過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其斜率為，故直線方程為y＝2x；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)（1，2）可得，解得a＝－1，故直線方程為x-y+1＝0.綜上，可知所求直線方程為y＝2x或x-y+1＝0，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的截距式以及分類探討思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線方程的截距式解題時(shí)，肯定要留意探討直線的截距是否為零.2．已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A．1B．2C．4D．6【答案】C【分析】依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)拋物線的定義，可列方程，得到答案.【解析】由，可得其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，所以點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，解得，故選：C.3．如圖，三棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合向量線性運(yùn)算即可求得【解析】，分別是，的中點(diǎn)，.故選：D.4．中國的嫦娥四號(hào)探測器，簡稱“四號(hào)星”，是世界上首個(gè)在月球背面軟著陸和巡察探測的航天器.如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號(hào)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球旁邊一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)其次次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸長，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由橢圓的性質(zhì)推斷A；由結(jié)合不等式的性質(zhì)推斷BCD.【解析】，，即，因?yàn)?，所以，即，故A錯(cuò)誤；∵，∴，，，，∴，故B錯(cuò)誤；由B可知，，，則，故C錯(cuò)誤；由B可知，，則，故D正確；故選：D5．已知圓，若存在過點(diǎn)的直線與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解析】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線定理可知：，明顯有，或，因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)?，所以，而，或，所以，故選：D6．廣為人知的太極圖，其形態(tài)如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)題意，結(jié)合符號(hào)函數(shù)，探討時(shí)解除A，探討時(shí)解除BD，進(jìn)而得答案.【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，明顯不滿意，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，滿意；當(dāng)時(shí)，，即表示圓的內(nèi)部及邊界，滿意，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，明顯不滿意，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，明顯不滿意，故錯(cuò)誤；故選：C7．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M為橢圓C上不與A，B重合的隨意一點(diǎn)，直線AM與直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B，D分別作BP⊥直線，DQ⊥直線，垂足分別為P，Q，則使成立的點(diǎn)M（

）A．有一個(gè) B．有兩個(gè) C．有多數(shù)個(gè) D．不存在【答案】D【分析】由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè),則，的中點(diǎn)為，設(shè)，聯(lián)立消去，求出用k表示，分和兩種狀況，分別證明即可，從而即可求解.【解析】解：由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，則,的中點(diǎn)，聯(lián)立，消去整理得，設(shè)，由韋達(dá)定理得，解得，故有，又，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)軸，所以四邊形為矩形，所以，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以直線，即，所以點(diǎn)到直線的距離，而，即，所以以為直徑的圓與直線相切，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，的中點(diǎn)為，所以.綜上，.所以不存在使成立的點(diǎn)M，故選：D.8．如圖，已知矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，將沿翻折，若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出翻折后的位置，利用向量垂直，數(shù)量積為零，找出關(guān)系式，進(jìn)而求得，再利用極限位置求得a的最小值，即可求得答案。【解析】如圖示,設(shè)處為沿翻折后的位置，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC分別為x,y軸，過點(diǎn)D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由于,故，而，由于,故，則，即；又由在翻折過程中存在某個(gè)位置，便得，不妨假設(shè),則，即，即，當(dāng)將翻折到如圖位置時(shí)，位于平面ABCD內(nèi)，不妨假設(shè)此時(shí)，設(shè)垂足為G,作AD的延長線，垂足為F,此時(shí)在x軸負(fù)半軸上方向上，DF的長最大，a取最小值，由于，故,所以,而,故，又,故為正三角形，則,而,故,則，故，，則，故的取值范圍是，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間的垂直關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要充分發(fā)揮空間想象力，明確空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，解答時(shí)涉及到空間坐標(biāo)系的建立以及空間向量的應(yīng)用，還要留意極限位置的利用，有較大難度.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．“”是“直線與直線相互垂直”的充要條件B．已知，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則與圓相交C．已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．直線的傾斜角的取值范圍是【答案】BD【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率、直線的方程，直線與圓的位置關(guān)系，逐一推斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解析】解：對(duì)于A，由直線與直線相互垂直，，化為，解得或，“”是“直線與直線相互垂直”的充分但不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)是圓外一點(diǎn)，所以，所以圓心到直線的距離，可得與圓相交，故B正確；對(duì)于C，已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則、兩個(gè)點(diǎn)在直線的兩側(cè)或直線上，則有，解可得或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)直線的傾斜角，則,，故的取值范圍是，故D正確.故選：BD.10．下列方程的圖形為拋物線的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用方程表示的幾何意義并結(jié)合拋物線定義推斷A，B，C，利用方程干脆推斷D作答.【解析】對(duì)于A，方程化為表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，且定點(diǎn)不在定直線上，原方程表示的圖形是拋物線，A是；對(duì)于B，方程表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，而定點(diǎn)在定直線上，原方程表示的圖形不是拋物線，B不是；對(duì)于C，方程表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，且定點(diǎn)不在定直線上，原方程表示的圖形是拋物線，C是；對(duì)于D，方程化為，方程表示的圖形是拋物線，D是.故選：ACD11．已知在直三棱柱中，底面是一個(gè)等腰直角三角形，且分別為的中點(diǎn).則（

）A．與平面夾角余弦值為B．與所成角為C．平面D．平面平面【答案】BCD【分析】對(duì)于A、B：建系，利用空間向量處理相關(guān)角度問題；對(duì)于C：依據(jù)線面平行的判定定理證明；對(duì)于D：利用線面垂直的判定定理先證平面，可得，再證平面，進(jìn)而說明結(jié)果.【解析】對(duì)于A、B：如圖1，建立空間之間坐標(biāo)系，設(shè)，則有：∴設(shè)平面的法向量為則有，令，則∴則∴與平面夾角的正弦值為，則余弦值為，A錯(cuò)誤；∵∴與所成角的余弦值為，則夾角為，B正確；如圖2：對(duì)于C：連接，設(shè)，連接分別為的中點(diǎn)，則且∴為平行四邊形，則O為的中點(diǎn)又∵F為的中點(diǎn)，則平面，平面∴平面，C正確；對(duì)于D：平面即為平面由題意可得：，平面∴平面平面，則又∵為正方形，則，平面平面平面∴平面平面，即平面平面，D正確；故選：BCD.12．已知的左，右焦點(diǎn)分別為，，長軸長為4，點(diǎn)在橢圓C外，點(diǎn)Q在橢圓C上，則下列說法中正確的有（

）A．橢圓C的離心率的取值范圍是B．已知，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，的最大值為3C．存在點(diǎn)Q使得D．的最小值為1【答案】ACD【分析】易得，再依據(jù)點(diǎn)在橢圓C外，可得，從而可求得的范圍，再依據(jù)離心率公式即可推斷A；依據(jù)離心率求出橢圓方程，設(shè)點(diǎn)，依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合橢圓的有界性即可推斷B；當(dāng)點(diǎn)Q位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，結(jié)合余弦定理推斷是否大于等于即可推斷C；依據(jù)結(jié)合基本不等式即可推斷D.【解析】解：依據(jù)題意可知，則橢圓方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C外，所以，所以，所以，則離心率，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，，所以，所以橢圓方程為，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)Q位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，此時(shí)，，即當(dāng)點(diǎn)Q位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)為鈍角，所以存在點(diǎn)Q使得為直角，所以存在點(diǎn)Q使得，故C正確；對(duì)于D，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為1，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的焦距為4，則___________．【答案】4【分析】依據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系得到關(guān)于m的方程，解方程得到m的值.【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上且焦距為4，所以，解得.故答案為：4.14．已知實(shí)數(shù)x，y滿意直線l的方程，則的最小值為______．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到直線l：上點(diǎn)的距離最小值，即可得結(jié)果.【解析】由題意，表示點(diǎn)到直線l：上點(diǎn)的距離，所以其最小值為.故答案為：15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2且斜率為的直線與雙曲線C的左支交于點(diǎn)A．若，則雙曲線C的漸近線方程為__．【答案】【分析】由已知可得，由過F2的直線斜率為，可得，進(jìn)而由余弦定理可得c＝3a，可求雙曲線C的漸近線方程．【解析】由，得，所以，故由雙曲線的定義知，，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，即，結(jié)合，因?yàn)?，可得，由余弦定理得：，解得：c＝3a，因?yàn)?，所以，即，可得，∴雙曲線C的漸近線方程為．故答案為：．16．空間向量，，，，，，且，，若點(diǎn)P滿意，且，，，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的空間區(qū)域的體積為__________.【答案】【解析】先分析若，，，時(shí)，點(diǎn)在圖中的點(diǎn)，由，，，可得，，，可以得出點(diǎn)在三棱錐內(nèi)，計(jì)算三棱錐的體積即可求解.【解析】因?yàn)椋?，，，?dāng)，，時(shí)，點(diǎn)在圖中的點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)，時(shí)，同理，，，，，由知點(diǎn)在內(nèi)，而，，，，所以點(diǎn)在三棱錐內(nèi)，且，，，過作平面的垂線，垂足為，由三余弦定理可得：，即，所以，所以，，所以三棱錐的體積為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是由可得是以為鄰邊所成的平行六面體的體對(duì)角線，關(guān)鍵點(diǎn)是分析出，，，得出點(diǎn)在三棱錐內(nèi).四、解答題17．已知向量，，.(1)當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)x和k的值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：向量與向量，共面.【答案】(1)；；(2)證明見解析.【分析】（1）依據(jù)可求得，再依據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解即可.（2）設(shè)，依據(jù)條件可得，依據(jù)共面對(duì)量定理即得.（1）因?yàn)?所以，解得，因?yàn)?，向量與垂直，所以，∴，∴；所以實(shí)數(shù)和的值分別為和；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)（），則，，解得，即，所以向量與向量，共面.18．已知點(diǎn)，圓：．(1)推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并加以證明；(2)當(dāng)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程；(3)若經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)點(diǎn)在圓外．(2)或(3)【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程的左邊計(jì)算結(jié)果大于4知點(diǎn)在圓外；（2）分類探討斜率是否存在時(shí)，利用圓心到直線的距離等于其半徑求出切線方程；（3）由經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，得到，代入可求的范圍．（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程的左邊計(jì)算，，所以點(diǎn)在圓外．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圓．知圓心為，，①當(dāng)直線的斜率不存在，方程為，圓以到直線的距離為2，所以是圓的切線；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由題意有，解得，所以直線的方程為，即，綜上所述，過點(diǎn)與圓相切的直線方程為或（3）若存在經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，由圓的半徑為2，所以，則有，，當(dāng)為直徑時(shí)，有最大值6，所以有，解得，所以橫坐標(biāo)的取值范圍為．19．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓的圓心坐標(biāo)為，其中且，軸?軸被圓截得的弦分別為，.(1)求證：的面積為定值，并求出這個(gè)定值；(2)設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，若，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)證明見解析，定值為4(2)【分析】(1)由題意可知圓C必定是經(jīng)過原點(diǎn)的，算出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)即可；(2)考慮圓C過原點(diǎn)的幾何關(guān)系，推斷所得解的合理性，即可算出圓的方程.(1)依題意作圖如下：由題可知為中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知圓C必定經(jīng)過原點(diǎn)，即圓的方程為：，所以，所以，所以的面積為定值，該定值為4；(2)因?yàn)椋堑妊切?，圓C是其外接圓，所以線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，直線的方程，所以，所以或1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑，所以圓心到直線的距離為：，即直線與圓相離，故不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，故符合題意，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；綜上，的面積為4，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20．已知，如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓雉曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，為曲線所在圓雉曲線的焦點(diǎn)(1)若，求曲線的方程;(2)如圖，作斜率為正數(shù)的直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程；【答案】(1)和(2)，【分析】（1）依題意可得，即可求出、，從而求出曲線方程；（2）設(shè)直線，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，依據(jù)及結(jié)合圖象得到，再利用韋達(dá)定理得到，即可得解；（1）解：因?yàn)椋?，所以，解得，所以曲線的方程為和；（2）解：曲線的漸近線為，設(shè)直線則又由數(shù)形結(jié)合知，所以設(shè)點(diǎn)，，，則所以，，所以，即點(diǎn)的軌跡為，；21．正方形ABCD中，，點(diǎn)O為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若P為平面ABCD外一點(diǎn)，滿意，記，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系得到，坐標(biāo)，進(jìn)而寫出、坐標(biāo)，應(yīng)用向量模長的坐標(biāo)表示求目標(biāo)式的值.（2）以A為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)表示得到，結(jié)合換元法及三角函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)