中科大《結(jié)晶化學(xué)導(dǎo)論》第3章-唐凱斌2015

章晶體的微觀對(duì)稱性節(jié)十四種空間格子節(jié)晶體的微觀對(duì)稱元素節(jié)微觀對(duì)稱元素組合原理節(jié)等效點(diǎn)系2021/6/271

點(diǎn)陣周期重復(fù)單位可能的選取方式第一節(jié)十四種空間格子微觀晶體對(duì)稱性與宏觀晶體的根本區(qū)別是增加了平移對(duì)稱性，描述微觀對(duì)稱性首先是要表征平移對(duì)稱性，這可以通過(guò)選取合適的空間格子來(lái)反映。2021/6/272

點(diǎn)陣格子的對(duì)稱性（點(diǎn)陣點(diǎn)群）三斜格子：Ci/C單斜格子：C2h/L2PC正交格子：D2h/3L23PC四方格子：D4h/L44L25PC三方格子：D3d/L33L23PC六方格子：D6h/L66L27PC立方格子：Oh/3L44L36L29PC屬于某一晶系的晶體，其點(diǎn)陣格子具有該晶系全對(duì)稱類型的對(duì)稱性。2021/6/273

布拉威法則：1、劃分出來(lái)的平行六面體單位必須充分地反映晶體的固有對(duì)稱性。2、在不違背晶體固有對(duì)稱性的條件下，平行六面體單位的棱間直角數(shù)盡量多。3、在滿足條件1和2的前提下，平行六面體單位的體積應(yīng)為最小。2021/6/274

十四種空間格子1）三斜格子：P點(diǎn)陣點(diǎn)群：Ci晶格參數(shù)：abc,90o三斜I=三斜P三斜C=三斜P三斜F=三斜P顯然，三斜格子的選取方式并不是唯一的。2021/6/2752）單斜格子：P，C點(diǎn)陣點(diǎn)群：C2h

晶格參數(shù)：

abc,==90o,90o單斜B=單斜P單斜I=單斜C(A)單斜F=單斜C(A)單斜格子的選取方式也不是唯一的。2021/6/2763）正交格子：P，C，I，F(xiàn)點(diǎn)陣點(diǎn)群：D2h

晶格參數(shù)：

abc,===90o4）四方格子：P，I點(diǎn)陣點(diǎn)群：D4h

晶格參數(shù)：

a=bc,===90o四方C=四方P，四方F=四方IA或B面加心會(huì)破壞四次軸對(duì)稱性。5）立方格子：P，I，F(xiàn)點(diǎn)陣點(diǎn)群：Oh

晶格參數(shù)：

a=b=c,===90o單獨(dú)在某一面上加心會(huì)破壞四個(gè)三次軸對(duì)稱性。2021/6/2776）三方格子：R點(diǎn)陣點(diǎn)群：D3d

簡(jiǎn)單格子參數(shù)：

a=b=c,==

90o

三方I=三方R(P)三方F=三方R(P)單獨(dú)在某個(gè)面加心會(huì)破壞三次軸對(duì)稱性。2021/6/2787）六方格子：P點(diǎn)陣點(diǎn)群：D6h

晶格參數(shù)：

a=bc,==90o,=120o

2021/6/279在平行六面體體心或底心位置加陣點(diǎn)會(huì)破壞六次軸對(duì)稱性。2021/6/2710在平行六面體面心位置加陣點(diǎn)會(huì)破壞六次軸對(duì)稱性。綠色點(diǎn)在c/2位置，藍(lán)色點(diǎn)在0或c位置。2021/6/2711在平行六面體底面加雙心，可以劃分出體積更小的簡(jiǎn)單六方格子。2021/6/2712淡藍(lán)色點(diǎn)在2c/3位置。黃色點(diǎn)在c/3位置。在平行六面體內(nèi)加雙心，可以劃分出簡(jiǎn)單三方格子。2021/6/2713六方格子與三方格子的關(guān)系六方平面點(diǎn)陣沿垂直于ab面的c方向平移得到空間點(diǎn)陣。六方平面點(diǎn)陣平移矢量為：t=2a/3+b/3+c/3,得到的空間點(diǎn)陣只有三次軸，為三方空間點(diǎn)陣。2021/6/2714為什么六方平面點(diǎn)陣平移可以得到三方空間點(diǎn)陣？2021/6/2715

三方點(diǎn)陣的簡(jiǎn)單三方格子可以取成一個(gè)六方定向的雙體心復(fù)格子，該格子的c軸平行于三次軸，a，b軸在垂直于三次軸的點(diǎn)陣面上，它是一個(gè)三方三重復(fù)格子。同樣，六方點(diǎn)陣的六方格子可以取成一個(gè)三方定向的雙體心復(fù)格子，它是一個(gè)六方三重復(fù)格子。2021/6/2716三方晶系可以具有六方點(diǎn)陣Ni2HH(0,0,0)Ni(1/3,2/3,0.233)Ni(2/3,1/3,0.768)三方晶系六方點(diǎn)陣P格子三方點(diǎn)陣R格子2021/6/27171983年以前三方R格子三方hR格子需要強(qiáng)調(diào)的是，雖然六方定向的三方hR格子使用更方便，但實(shí)際工作和國(guó)際晶體學(xué)聯(lián)合會(huì)都沒(méi)有放棄三方定向的三方R格子的使用。2021/6/2718第二節(jié)晶體的微觀對(duì)稱元素

晶體的宏觀對(duì)稱性是晶體結(jié)構(gòu)微觀對(duì)稱性的反映。晶體的宏觀對(duì)稱元素在微觀對(duì)稱中也同樣存在。晶體結(jié)構(gòu)是由其結(jié)構(gòu)單位（晶胞）在三維空間上的無(wú)限排列，晶體的微觀對(duì)稱性還具有宏觀對(duì)稱不能出現(xiàn)的對(duì)稱元素—點(diǎn)陣（平移軸），平移和旋轉(zhuǎn)或反映的復(fù)合對(duì)稱操作，又產(chǎn)生新的對(duì)稱元素，螺旋軸和滑移面。它們是在微觀的無(wú)限空間中所特有的，稱為微觀對(duì)稱元素。微觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱性的主要區(qū)別：1、宏觀對(duì)稱性對(duì)稱元素必須相交一點(diǎn)，微觀對(duì)稱性中對(duì)稱元素不須交于一點(diǎn)，可以在三維空間無(wú)限分布。2、宏觀對(duì)稱性中對(duì)稱元素只考慮方向，微觀對(duì)稱性中需要考慮對(duì)稱元素的相互位置關(guān)系。2021/6/2719

宏觀對(duì)稱性

微觀對(duì)稱性有限大小的晶體外形中的對(duì)稱性無(wú)限的晶體結(jié)構(gòu)中的對(duì)稱性分辨能力受到限制時(shí)所觀察到的實(shí)際存在的、本質(zhì)的對(duì)稱元素只考慮方向不僅考慮方向，還考慮對(duì)稱元素的相互位置關(guān)系對(duì)稱元素必須交于一點(diǎn)對(duì)稱元素不須交于一點(diǎn)，在三維空間無(wú)限分布對(duì)稱動(dòng)作只有點(diǎn)動(dòng)作包括點(diǎn)動(dòng)作與空間動(dòng)作晶體宏觀對(duì)稱性和微觀對(duì)稱性的比較2021/6/2720點(diǎn)陣（平移軸）：對(duì)應(yīng)的對(duì)稱操作為平移。點(diǎn)陣反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性，這種周期性也就是點(diǎn)陣的平移復(fù)原的特性。對(duì)于點(diǎn)陣，連接任意兩個(gè)陣點(diǎn)的位置矢量：R=ma+nb+pc，進(jìn)行平移可以使點(diǎn)陣復(fù)原，表現(xiàn)在晶體結(jié)構(gòu)上就是使在三維空間無(wú)限伸展的相同部分得以重復(fù)。R可以定義為晶體微觀結(jié)構(gòu)平移的方向矢量。十四種空間格子反映了晶體結(jié)構(gòu)中平移對(duì)稱的組合規(guī)律。任何一種點(diǎn)陣格子，都具有基本平移矢量a,b,c以及a+b,a+c,b+c,a+b+c等。對(duì)于復(fù)格子，則增加附加平移矢量:C格子：(a+b)/2,B格子：(a+c)/2,A格子：(b+c)/2I格子：(a+b+c)/2F格子：(a+b)/2,(a+c)/2,(b+c)/2在滿足布拉威法則的前提下，附加平移類型是格子類型的充要條件。2021/6/2721滑移面(glideplane)：晶體結(jié)構(gòu)沿著某一平面進(jìn)行反映，再平行于該平面平移一定距離，結(jié)構(gòu)中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均與相同的質(zhì)點(diǎn)重復(fù)。相應(yīng)的對(duì)稱操作為反映和平移的復(fù)合操作。mmabmmG(b/2+c/2)G(a/2+c/2)mmG(b/2)G(a/2)立方P立方I立方F2021/6/2722NaCl結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影m=m?b在晶體的微觀對(duì)稱性中，反映操作等同于反映與點(diǎn)陣某個(gè)平移矢量的復(fù)合操作。

對(duì)于晶體結(jié)構(gòu)中的反映和平移復(fù)合操作，如平移分量為點(diǎn)陣平移矢量的分?jǐn)?shù)值，則進(jìn)行反映操作所依據(jù)的平面就是滑移面。m?b/2=b滑移面的平移分量：2021/6/2723對(duì)于滑移面，為使滑移面的平移分量不與點(diǎn)陣矛盾，經(jīng)過(guò)兩次滑移操作，其平移分量和應(yīng)屬于點(diǎn)陣的平移矢量。3、(a+b)/4,(a+c)/4,(b+c)/4,(a+b+c)/4–d滑移面，金剛石滑移面點(diǎn)陣格子的平移矢量都有a,b,c及

a+b,a+c,b+c,a+b+c,對(duì)應(yīng)的滑移面平移分量可以為：1、

a/2,b/2,c/2–a、b、c滑移面，統(tǒng)稱為軸向滑移面。2、(a+b)/2,(a+c)/2,(b+c)/2,(a+b+c)/2–n滑移面，對(duì)角線滑移面。復(fù)格子產(chǎn)生附加平移矢量：(a+b)/2,(a+c)/2,(b+c)/2,(a+b+c)/2，對(duì)應(yīng)滑移面的平移分量可以為：2021/6/27242021/6/2725金剛石結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影滑移面在宏觀尺度表現(xiàn)為反映面同一方向上滑移面等距離無(wú)窮分布2021/6/2726滑移面名稱符號(hào)方向平移分量對(duì)稱面m軸滑移a

[010]/[001]?ab

[100]/[001]?bc

[100]/[010]/[110]?c對(duì)角滑移n

[001];[010];[100]?(a+b);?(a+c);?(b+c)

[1-10]?(a+b+c)金剛石滑移d

[001];[010];[100]?(a

b);?(a

c);?(b

c)

[1-10]?(a+b

c)為什么垂直

[1-10]的n滑移面不考慮?(a+b)的平移分量？2021/6/27271994年以后增加的滑移面：e滑移面（doubleglideplane）一個(gè)滑移面同時(shí)具有兩個(gè)互相垂直的滑移分量，它只存在于復(fù)格子中。[100]方向[010]方向2021/6/2728螺旋軸(screwaxis)：晶體結(jié)構(gòu)圍繞一條直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再沿著該直線方向平移一定距離，結(jié)構(gòu)中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均與相同質(zhì)點(diǎn)重復(fù)。相應(yīng)的對(duì)稱操作為旋轉(zhuǎn)和平移的復(fù)合操作。abS(c/2)立方PS(c/2)立方F立方I2021/6/27294=4?c

在晶體的微觀對(duì)稱性中，旋轉(zhuǎn)操作等同于旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移矢量的復(fù)合操作。

對(duì)于晶體結(jié)構(gòu)中的旋轉(zhuǎn)和平移復(fù)合操作，如平移分量為點(diǎn)陣平移矢量的分?jǐn)?shù)值。則進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作所依據(jù)的直線即為螺旋軸。4?c/2=42螺旋軸的平移分量：2021/6/2730NaCl結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影2021/6/27312021/6/2732與旋轉(zhuǎn)軸的軸次類似，螺旋軸的軸次n只能為1，2，3，4，6。為使螺旋軸作用結(jié)果與點(diǎn)陣一致，螺旋軸經(jīng)過(guò)n次作用后的平移分量和應(yīng)為點(diǎn)陣平移矢量的整數(shù)倍，即：nt=mT或t=mT/n其中：n為螺旋軸軸次，t為螺旋軸平移分量，T為晶體結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣平移矢量，m為小于n的正整數(shù)。對(duì)于取定的n，m取小于n的不同整數(shù)，可以得到不同的類型的螺旋軸，記為nm，表示平移分量為mT/n的n次螺旋軸。晶體結(jié)構(gòu)中允許存在的螺旋軸類型為：21,31,32,41,42,43,61,62,63,64,65。2021/6/2733

與旋轉(zhuǎn)軸不同，螺旋軸的旋轉(zhuǎn)方向的不同會(huì)導(dǎo)致不同的對(duì)稱結(jié)構(gòu)。如左旋41和右旋41螺旋軸得到的結(jié)構(gòu)是不一樣的，它們互成對(duì)映體。0(c)c/4c/23c/42021/6/2734左旋和右旋螺旋軸有以下關(guān)系：左旋螺旋軸nm=右旋螺旋軸nn-m0(c)c/4c/23c/4左旋41螺旋軸右旋43螺旋軸2021/6/27352021/6/27362021/6/27372021/6/2738金剛石結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影螺旋軸在宏觀尺度表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸同一方向上螺旋軸等距離無(wú)窮分布2021/6/2739第三節(jié)微觀對(duì)稱元素組合原理

平行反映面（滑移面）的組合平移與正交反映面（滑移面）的組合平移與斜交反映面（滑移面）的組合旋轉(zhuǎn)軸（螺旋軸）與垂直平移的組合旋轉(zhuǎn)軸（螺旋軸）與斜交平移的組合2021/6/2740定理一：兩個(gè)互相平行反映面的連續(xù)操作相當(dāng)于一個(gè)平移對(duì)稱操作，其平移距離為反映面間距的二倍。m1

m2=T2021/6/2741推論：兩個(gè)平行滑移面的連續(xù)操作相當(dāng)于一個(gè)平移對(duì)稱操作，并且該平移對(duì)稱操作垂直于滑移面的分量也是一個(gè)平移對(duì)稱操作。a1

a2=m1a/2m2a/2=m1m2a=ta=T2021/6/2742NaCl結(jié)構(gòu)沿c方向的投影2021/6/2743定理二：平移T及垂直于平移的反映面的連續(xù)操作相當(dāng)于與該反映面相距T/2處的一個(gè)反映面的反映操作。m

?T=m

?m1?m2=I?m2=m22021/6/2744推論：平移T及垂直于平移的滑移面的連續(xù)操作相當(dāng)于與該反映面相距T/2處的一個(gè)滑移面的反映平移復(fù)合操作。a

?T=m?a/2?T

=m2?a/2=a22021/6/2745d

a

?a

=m

a?(b+c)/4?a

=ma/2?(b+c)/4=da/22021/6/2746定理三：平移T與反映面m斜交，如T在垂直于反映面的平移分量為t，平行于反映面的平移分量為g，則存在一平行于m的滑移面G，它與反映面相距t/2，滑移操作的平移分量為g。m

?T=m?t

?g=m1?g=G2021/6/2747NaCl結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影m

?(a+b)/2=m?a/2?b/2=ma/4?b/2=ba/42021/6/2748推論：平移T與滑移面G斜交，如滑移面的平移分量為g1,T在垂直于滑移面的平移分量為t，平行于滑移面G的平移分量為g2，則存在一平行于G的滑移面G’，它與滑移面G’相距t/2，滑移操作的平移分量為g1+g2。G?T=m?g1?t?g2=m1?g1?g2=G’2021/6/2749d

?(a+b)/2=m?(b+c)/4?(a+b)/2

=m?a/2?3b/4?

c/4=ma/4?(-b+c)/4=d’a/42021/6/2750定理四：基轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)軸A與垂直于它的平移T連續(xù)動(dòng)作相當(dāng)于與A平行的旋轉(zhuǎn)軸B，其基轉(zhuǎn)角也為，旋轉(zhuǎn)方向與A相同，且B位置取決于和T。A

?T=m1?m2?m3?m4=(m2?m3)?m1?m4=I?B=BA

m2m3B

A’

m1m4六次軸與垂直平移組合結(jié)果B位置在AA′的垂直平分線上，與AA′相距2021/6/2751推論：基轉(zhuǎn)角為的螺旋軸A與垂直于它的平移T連續(xù)動(dòng)作相當(dāng)于與A平行的螺旋軸B，其基轉(zhuǎn)角也為，旋轉(zhuǎn)方向和平移分量與A相同，且B位置取決于和T。42

?a=4?a?c/2=4(a+b)/2?c/2=422021/6/2752定理五：基轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)軸A與平移T斜交，如T垂直于A的平移分量為t，平行于A的平移分量為r，則存在一平行于A的螺旋軸B，它的基轉(zhuǎn)角也為，旋轉(zhuǎn)方向與A相同，平移分量為r，且B位置取決于和t。A?T=A?t?r=B’?r=B4?(a+c)/2=4?a/2?c/2=4(a+b)/4?c/2=422021/6/2753推論：基轉(zhuǎn)角為的螺旋軸A與平移T斜交，如A的平移分量為r1，T垂直于A的平移分量為t，平行于A的平移分量為r2，則存在一平行于A的螺旋軸B，它的基轉(zhuǎn)角也為，旋轉(zhuǎn)方向與A相同，平移分量為r1+r2，且B位置取決于和t。A?T=A’?r1?t?r2=A’?t?(r1?r2)=B’?(r1?r2)=B41

?(a+c)/2=4?c/4?a/2?c/2=4(a+b)/4?3c/4=432021/6/2754第四節(jié)空間群晶體的微觀對(duì)稱元素有以下七類：1、旋轉(zhuǎn)軸：1，2，3，4，62、反映面：m3、對(duì)稱中心：14、反軸：45、螺旋軸：21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，656、滑移面：a，b，c，n，d7、點(diǎn)陣（平移軸）這七類對(duì)稱元素的在空間的組合所表現(xiàn)出的對(duì)稱性的集合即為空間群，它反映了晶體微觀結(jié)構(gòu)的全部對(duì)稱性。2021/6/2755空間群與點(diǎn)群的關(guān)系及表示方法晶體外形所具有的宏觀對(duì)稱元素，在微觀晶體結(jié)構(gòu)中，加入平移成分，可以表現(xiàn)為不同的微觀對(duì)稱元素。如宏觀的反映面，在晶體微觀結(jié)構(gòu)中可以為反映面，也可以是不同的滑移面，或者是相互平行排列的反映面和滑移面；旋轉(zhuǎn)軸既可以表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，也可以為螺旋軸。以點(diǎn)群為m3m的晶體為例：CsCl垂直于a方向?yàn)閙NaCl垂直于a方向m，b，c，n共存金剛石垂直于a方向?yàn)閐2021/6/2756CsCl結(jié)構(gòu)沿c方向投影2021/6/2757NaCl結(jié)構(gòu)沿c方向的投影2021/6/2758金剛石結(jié)構(gòu)沿c方向的投影2021/6/2759屬于同一點(diǎn)群的晶體，可以屬于不同的空間群。屬于同一宏觀點(diǎn)群的所有空間群，稱為與該點(diǎn)群同形的空間群?？臻g群的國(guó)際符號(hào)由兩部分構(gòu)成，第一個(gè)大寫字母表示點(diǎn)陣格子類型，第二部分標(biāo)明空間群的特征對(duì)稱元素，其定向和符號(hào)形式與點(diǎn)群相同，但增加了螺旋軸和滑移面。如果空間群的微觀對(duì)稱元素用相應(yīng)的宏觀對(duì)稱元素取代，則得到晶體的點(diǎn)群。2021/6/2760NaCl結(jié)構(gòu)沿c方向的投影及部分對(duì)稱元素空間群符號(hào)如果省略格子類型，只標(biāo)明三個(gè)方向的對(duì)稱元素，則NaCl結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性可表示為：

或等。顯然作為表示同一結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的這兩種符號(hào)都無(wú)法把微觀對(duì)稱性完全反映出來(lái)。NaCl結(jié)構(gòu)中4和42軸同時(shí)存在是由于F格子的平移對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)軸或螺旋軸組合的結(jié)果：4?(a+c)/2=4?a/2?c/2=4(a+b)/4?c/2=42因此，空間群符號(hào)中加入格子類型，并結(jié)合三個(gè)方向的特征對(duì)稱元素，即可以反映晶體的全部對(duì)稱性。2021/6/2761NaCl結(jié)構(gòu)沿c方向的投影及部分對(duì)稱元素對(duì)稱元素選取的一般原則：1、反映面m--滑移面a，b，c，n，d2、旋轉(zhuǎn)軸--螺旋軸--反軸以NaCl結(jié)構(gòu)為例：a方向：有平行的4次軸、42次螺旋軸和垂直的反映面、b、c、n滑移面等。a+b+c方向：有平行的3次軸。a+b方向：有平行的2次軸和垂直的反映面等。其空間群符號(hào)為：F2021/6/2762空間群表示的一些特殊情況：I222=I21212,I2221=I212121，兩種空間群分別寫成I222和I212121。Pn3n=Pn3c,Pm3n=Pm3c,Pn3m

前兩個(gè)空間群表示為Pn3n和Pm3n，其中a+b方向的n的平移分量為(a+b+c)/2，而非(a+b)/2。

n滑移面的平移分量為(a+b+c)/2，則：

n

?a=m/(a+b)?(a+b+c)/2?a=m/(a+b)?(a+b+c)/2?(a+b)/2?(a-b)/2=m/(a+b)?(a-b)/2?c/2=m(a-b)/4?c/2=c(a-b)/4

n滑移面的平移分量為(a+b)/2，則：

n

?a=m/(a+b)?(a+b)/2?a=m/(a+b)?(a+b)/2?(a+b)/2?(a-b)/2=m/(a+b)?(a-b)/2=m(a-b)/4

故a+b方向的n滑移面只考慮前者，且該n滑移面與c滑移面同時(shí)存在。

2021/6/2763空間群推導(dǎo)的一般步驟：1、將點(diǎn)群（國(guó)際符號(hào)）各定向的對(duì)稱元素轉(zhuǎn)換為所有可能的微觀對(duì)稱元素。2、將微觀對(duì)稱元素組合得到相應(yīng)的空間群。3、通過(guò)對(duì)稱元素組合原理將相同空間群簡(jiǎn)并，得到與該點(diǎn)群同形的空間群。2021/6/2764

空間群推導(dǎo)實(shí)例1、C4同形的空間群C4的國(guó)際符號(hào)為4，四方晶系，有P，I兩種格子，在微觀結(jié)構(gòu)中，4次軸可以為4，41，42，43次螺旋軸。與P,I格子組合得：P4,P41,P42,P43,I4,I41,I42,I43八種。P4P41P格子的平移矢量與四次（螺旋）軸垂直或平移，不產(chǎn)生新的四次螺旋軸，簡(jiǎn)單格子的空間群不能合并。2021/6/2765I格子產(chǎn)生附加平移：(a+b+c)/2,它與螺旋軸斜交：42

?(a+b+c)/2=4?c/2?(a+b+c)/2=4?(a+b)/2?c=4?(a+b)/2=4(在a/2或b/2處）43

?(a+b+c)/2=4?3c/4?(a+b+c)/2=4?(a+b)/2?c/4=4?c/4=41(在a/2或b/2處）I4=I42，I41=I43，C4同形的空間群有P4,P41,P42,P43,I4,I41六種。I4I412021/6/2766黑色點(diǎn)的c方向坐標(biāo)為z，紅色點(diǎn)的c方向坐標(biāo)為z+1/2。2021/6/2767二、C2h同形的空間群C2h的國(guó)際符號(hào)為2/m，單斜晶系，有P，C兩種Bravais格子，在b方向上有2次軸及垂直于2次軸的反映面。在微觀晶體結(jié)構(gòu)中，反映面可以為m，a，c，n，旋轉(zhuǎn)軸可以為2，21。m=mb

a=mb

?a/2c=mb

?c/2n=mb

?(a+c)/221=2?b/2無(wú)論P(yáng)，C格子都不存在附加平移(a+c)/2，因此不存在d滑移面。2021/6/2768對(duì)于P格子，a,c方向是任意的，如果存在a或n滑移面，可以把點(diǎn)陣格子的c方向取成a或n滑移面平移分量的方向，這樣P格子中滑移面的種類可以簡(jiǎn)并為m，c兩種。P格子的空間群類型為：P2/m，P21/m，P2/c，P21/c2021/6/2769對(duì)于C格子，a,c方向不能互換，C格子產(chǎn)生了附加平移:(a+b)/2。它與螺旋軸或滑移面組合：21

?(a+b)/2=2?b/2?a/2?b/2=2?a/2=2a/4a

?(a+b)/2=mb

?a/2?(a+b)/2=mb

?b/2?a=mb

?b/2=mb/4n

?(a+b)/2=mb

?(a+c)/2?(a+b)/2=mb

?b/2?c/2?a

=mb/4?c/2=cb/4在C格子中，2和21次螺旋軸同時(shí)存在，m和a滑移面共存，c和n滑移面共存。故只需要考慮2次軸和m，c滑移面的組合。C格子有兩種空間群：C2/m，C2/c

C2h同形的空間群為P2/m，P21/m，P2/c，P21/c，C2/m，C2/c六種。2021/6/2770空間群對(duì)稱元素投影圖示：Cmc21abCmc21=ma

?(a+b)/2=ma

?a/2?b/2=ma/4?b/2=ba/4cb?(a+b)/2=mb?c/2?a/2?b/2=mb?b/2?(a+c)/2=mb/4?(a+c)/2=nb/4Cbc21=Cmn21=Cbn212021/6/2771立方Cu2O沿c方向投影六方Mg沿c方向投影O0Oc/2Cu3c/4Cuc/4c/20空間群：Pn3m空間群：P63/mmc2021/6/2772第五節(jié)等效點(diǎn)系

空間群所有的對(duì)稱元素聯(lián)系起來(lái)的一組點(diǎn)，稱為等效點(diǎn)系。對(duì)于給定的一個(gè)不處在非平移對(duì)稱元素(反映面、旋轉(zhuǎn)軸等)上的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)空間群的全部對(duì)稱元素作用得到的一組點(diǎn)，稱為一般等效點(diǎn)系。如果給定的點(diǎn)處于特殊位置，將減少等效點(diǎn)的數(shù)目，得到的一組點(diǎn)稱為特殊等效點(diǎn)系。

簡(jiǎn)單格子的空間群一般等效點(diǎn)系的點(diǎn)數(shù)目與它所屬點(diǎn)群的普形的等效晶面數(shù)相同。復(fù)格子的空間群一般等效點(diǎn)系的點(diǎn)數(shù)目等于它所屬點(diǎn)群的普形的等效晶面數(shù)與格子陣點(diǎn)數(shù)的乘積。

如C21/c的一般等效點(diǎn)系的數(shù)目為8，I42/ncm為32，Ia3為48，F(xiàn)d3c為192。2021/6/2773

等效點(diǎn)系的表示方法Pmm2Amm2ab2021/6/2774abPmm241(x,y,z),(x,-y,z),(-x,y,z),(-x,-y,z)2m(0,y,z),(0,-y,z)2m(x,0,z),(-x,0,z)2m(1/2,y,z),(1/2,-y,z)2m(x,1/2,z),(-x,1/2,z)1mm(1/2,1/2,z)1mm(0,1/2,z)1mm(1/2,0,z)1mm(0,0,z)2021/6/2775abAmm2(0,0,0),(0,1/2,1/2)+81(x,y,z),(x,-y,z),(-x,y,z),(-x,-y,z)4m(1/2,y,z),(1/2,-y,z)4m(0,y,z),(0,-y,z)4m(x,0,z),(-x,0,z)2mm(1/2,0,z)2mm(0,0,z