自動控制原理 課件 第6章 控制系統(tǒng)的校正

第6章控制系統(tǒng)的校正自動控制原理第6章控制系統(tǒng)的根軌跡分析6.1系統(tǒng)校正設計基礎6.2常用校正裝置及其特性6.3串聯(lián)校正6.4反饋校正6.5復合校正6.6習題⑴理解線性系統(tǒng)的基本控制規(guī)律。⑵理解超前校正、滯后校正、滯后-超前校正裝置的特性及對系統(tǒng)的影響。⑶理解并掌握串聯(lián)超前、串聯(lián)滯后和串聯(lián)滯后-超前的頻域設計原理及方法；理解串聯(lián)綜合設計法的特點及方法。⑷理解反饋校正和復合校正的特點和作用，掌握運用反饋校正和復合校正提高系統(tǒng)性能的方法。學習目標：⑴了解PID控制規(guī)律的特點。⑵熟練掌握超前校正、滯后校正、滯后-超前校正裝置的適用場合和參數(shù)的選擇原則。⑶熟練掌握串聯(lián)校正的頻域法設計步驟和方法。⑷掌握反饋校正和復合校正的特點，能采用電器元件實現(xiàn)校正裝置。本章重點：第3章-第5章的內(nèi)容主要是研究線性控制系統(tǒng)的分析方法，即運用這些方法對控制系統(tǒng)性能進行定性分析和定量計算。在實際工程控制問題中，當控制系統(tǒng)的性能指標不能滿足要求時，就必須在系統(tǒng)原有結(jié)構(gòu)的基礎上引入附加裝置，使控制系統(tǒng)的性能得到改善。根據(jù)預先給定的性能指標，去設計滿足性能要求的控制系統(tǒng)，這類問題稱為控制系統(tǒng)的校正，引入的附加裝置稱為校正裝置。本章討論僅限于單輸入、單輸出線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)。6.1系統(tǒng)校正設計基礎控制系統(tǒng)的校正就是從實際工程出發(fā)，提出系統(tǒng)要達到的各項性能指標，然后根據(jù)控制對象合理選擇控制方案及結(jié)構(gòu)形式，計算參數(shù)和選擇元器件，通過仿真和實驗研究，設計同時滿足穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能指標的實用系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)的校正問題常?？梢詺w結(jié)為設計適當類型和適當參數(shù)值的校正裝置。校正裝置可以補償系統(tǒng)不可變動部分(由控制對象、執(zhí)行機構(gòu)和測量部件組成的部分)在特性上的缺陷，使校正后的控制系統(tǒng)能滿足事先要求的性能指標。6.1.1性能指標7在控制系統(tǒng)設計中，采用的設計方法一般依據(jù)性能指標的提出形式而定。一般系統(tǒng)校正常用的性能指標如下。1.時域指標時域指標包括穩(wěn)態(tài)誤差ess、靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp、靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka、超調(diào)量σ%、上升時間tr、峰值時間tp和調(diào)節(jié)時間ts等。2.頻域指標頻域指標包括截止頻率ωc、相角裕度h、幅值裕度γ、諧振頻率ωr、諧振峰值Mp及帶寬頻率ωb等。3.頻域指標與時域指標的關系在頻域中對系統(tǒng)進行分析設計時，通常以頻域指標為依據(jù)，但是頻域指標不如時域指標直觀、準確。因此，需進一步探討頻域指標與時域指標的關系。由本書第五章可知，對于典型二階系統(tǒng)，時域指標和頻域指標之間的關系可以準確地用以下數(shù)學公式表示出來。諧振峰值：諧振頻率：帶寬頻率：截止頻率：相角裕度：超調(diào)量：調(diào)節(jié)時間：對于高階系統(tǒng)，工程實際中，常用以下經(jīng)驗公式實現(xiàn)兩種指標的轉(zhuǎn)換。諧振峰值：超調(diào)量：調(diào)節(jié)時間：

正確選擇各項性能指標，是控制系統(tǒng)設計中一項重要工作。實際系統(tǒng)對性能指標的要求應有所側(cè)重，如調(diào)速系統(tǒng)對平穩(wěn)性和穩(wěn)態(tài)精度要求嚴格，而隨動系統(tǒng)則對快速性要求很高。另外，性能指標的提出不能脫離實際，性能指標既要滿足設計需要，又不能過于苛刻，以便容易實現(xiàn)。6.1.2校正方式按照校正裝置在系統(tǒng)中的連接方式，控制系統(tǒng)校正方式通常有串聯(lián)校正、反饋校正和復合校正等。以Gc(s)表示校正裝置的傳遞函數(shù)，G(s)表示被控對象的傳遞函數(shù)，可以得到以下幾種校正連接方式。1.串聯(lián)校正2.反饋校正3.復合校正圖6-1-3復合校正控制系統(tǒng)設計中采用哪種校正方式，通常取決于性能指標要求、信號性質(zhì)、系統(tǒng)各點功率、可選用的元件和經(jīng)濟性等因素。一般來說，串聯(lián)校正比反饋校正簡單，且易實現(xiàn)，但是串聯(lián)校正裝置常有嚴重的增益衰減，因此采用串聯(lián)校正往往同時需要引入附加放大器，以提高增益并起隔離作用。為了避免功率損耗，串聯(lián)校正通常安裝在前向通路中能量最低的點上。對于反饋校正，信號總是從功率較高的點傳輸?shù)焦β瘦^低的點，無須引入附加放大器，所需元件數(shù)目常比串聯(lián)校正要少。在性能指標要求較高的控制系統(tǒng)設計中，例如要求穩(wěn)態(tài)誤差小、同時又要求動態(tài)特性好的系統(tǒng)，復合校正方式尤為適用。6.1.3基本控制規(guī)律確定校正裝置的具體形式時，應先了解校正裝置所需提供的控制規(guī)律，以便選擇相應的元件。校正裝置中最常采用的是PID控制規(guī)律。PID控制器是比例-積分-微分控制器的簡稱，在工業(yè)過程領域被廣泛應用。設控制器的輸出信號為u(t)，輸入信號為e(t)，則基本的PID控制規(guī)律可描述為式（6-1-1）中，Kp為比例系數(shù)；Ki為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)；Ti為積分時間常數(shù)；Td為微分時間常數(shù)。在控制系統(tǒng)的設計中，往往采用比例、積分、微分等基本控制規(guī)律，或者將這些控制規(guī)律進行線性組合，使校正后的控制系統(tǒng)滿足性能指標的要求。（6-1-1）1.比例控制P控制器的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-1-4所示。從控制作用看，通過Kp可以調(diào)整系統(tǒng)的開環(huán)增益，對輸入信號的相位無影響。在串聯(lián)校正中，與原系統(tǒng)相比，適當提高Kp，可以增大開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的控制精度，但也會導致系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性變差，甚至不穩(wěn)定。（6-1-2）圖6-1-4P控制對數(shù)頻率特性曲線2.比例-微分控制PD控制器的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-1-5所示。在1/Td-+∞頻段，PD控制器對輸入信號有微分作用，具有正相位，能對系統(tǒng)進行相位補償，提高了相角裕度，從而可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當頻率ω>1/Td時，校正裝置的幅值也在增加，放大了可能存在于系統(tǒng)內(nèi)部的高頻噪聲。微分作用能反應輸入信號的變化趨勢，只對動態(tài)過程起作用，而對穩(wěn)態(tài)過程沒有影響。所以在系統(tǒng)校正設計中，一般不單獨使用微分控制。（6-1-3）圖6-1-5PD控制對數(shù)頻率特性曲線例6-1已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析PD控制器對系統(tǒng)的影響。解：無PD控制器時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s2+1=0系統(tǒng)在校正前是不穩(wěn)定的，閉環(huán)特征根為一對共軛純虛根±j，阻尼比ζ=0，階躍響應為不衰減的等幅振蕩形式，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。在串聯(lián)校正中加入PD控制器，相當于使系統(tǒng)增加了一個位于s平面負實軸的開環(huán)零點z=-1/Td，系統(tǒng)的相角裕度提高，因而有助于改善系統(tǒng)動態(tài)性能。此時系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s2+KpTds+Kp=0。其阻尼比，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。PD控制器提高系統(tǒng)的阻尼程度，可通過參數(shù)Kp

和Td來調(diào)整。3.比例-積分控制PI控制器的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-1-6所示。在0-1/Ti頻段，PI控制器對輸入信號有積分作用，具有負相位，同時對系統(tǒng)的中頻和高頻特性影響較小，使系統(tǒng)基本能保持原來的響應速度和穩(wěn)定裕度；當頻率ω<1/Ti時，PI控制器在零頻率具有無窮大增益，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。（6-1-4）圖6-1-6PI控制對數(shù)頻率特性曲線例6-2已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試分析PI控制器對系統(tǒng)性能的改善作用。解：原系統(tǒng)與PI控制器串聯(lián)后，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

加入PI作用，相當于給系統(tǒng)增加了1個位于原點的開環(huán)極點p=0和1個位于負實軸的開環(huán)零點z=-1/Ti。增加的開環(huán)極點提高了系統(tǒng)的型別，由原來的0型提高到Ⅰ型，有利于減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差，但也使信號產(chǎn)生90°的相位滯后，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。增加的負實零點緩和了PI控制器極點對系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)過程產(chǎn)生的不利影響。參數(shù)Ti影響積分作用的強弱，Ti過小會使系統(tǒng)超調(diào)加大，甚至使系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩，穩(wěn)定性變差。因此，在系統(tǒng)校正設計中，一般不單獨使用積分控制。采用PI控制器后，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

由于參數(shù)Kp和Ti都是正數(shù)，由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，通過調(diào)整PI控制器參數(shù)Kp和Ti可以對系統(tǒng)的性能有所改善。4.比例-積分-微分控制PID控制器的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-1-7所示。在系統(tǒng)頻率特性的低頻段，主要是積分控制起作用，提高系統(tǒng)的型別，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能；在系統(tǒng)頻率特性的中頻段，主要是微分控制起作用，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。因此，PID控制器可以全面地提高系統(tǒng)的性能。（6-1-5）圖6-1-7PID控制對數(shù)頻率特性曲線6.2常用校正裝置及其特性根據(jù)校正裝置的頻率特性，校正裝置分為超前校正裝置、滯后校正裝置和滯后-超前校正裝置。本節(jié)主要研究常用校正裝置及其特性，以便在控制系統(tǒng)校正時使用。6.2.1超前校正裝置超前校正裝置可以用RC無源網(wǎng)絡實現(xiàn)，其電路連接圖如圖6-2-1所示。無源超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為其中，a為超前網(wǎng)絡的分度系數(shù)，T為時間常數(shù)。加補償放大器后，無源超前網(wǎng)絡其傳遞函數(shù)為（6-2-1）（6-2-2）式（6-2-2）所對應的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-2-2（a）所示。顯然，超前網(wǎng)絡對頻段1/(aT)-1/T的輸入信號有微分作用，相當于比例-微分（PD）控制。由于該校正裝置的相角總是超前的，故稱為超前網(wǎng)絡。(a)對數(shù)頻率特性曲線

圖6-2-2無源超前網(wǎng)絡特性a與的關系曲線如圖6-2-2（b）所示。(b)分度系數(shù)與最大超前角關系圖6-2-2無源超前網(wǎng)絡特性為了保持系統(tǒng)較高的信噪比，實際選用一般a≤20°，超前網(wǎng)絡的最大超前角一般不大于65°。如果需要大于65°的相位超前角，則要將兩個超前網(wǎng)絡串聯(lián)來實現(xiàn)，并在所串聯(lián)的兩個超前網(wǎng)絡之間加一隔離放大器，以消除它們之間的負載效應。最大超前角頻率最大超前角最大超前角頻率ωm處的對數(shù)幅頻值為超前網(wǎng)絡的相頻特性為（6-2-3）（6-2-4）（6-2-5）（6-2-6）從對數(shù)頻率特性看，超前網(wǎng)絡相當于一個高通濾波器。當ω>1/T時，幅頻特性上移了20lgadB，這會削弱系統(tǒng)抗高頻干擾的能力，因此在高頻干擾比較嚴重的情況下，一般不用超前校正。小結(jié)：6.2.2滯后校正裝置滯后校正裝置可以用RC無源網(wǎng)絡實現(xiàn)，其電路連接圖如圖6-2-3所示。無源滯后網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為其中，b為滯后網(wǎng)絡的分度系數(shù)，T為時間常數(shù)。（6-2-7）式（6-2-7）對應的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-2-4(a)所示。顯然，無源滯后網(wǎng)絡對頻段在1/T-1/(bT)的輸入信號有積分作用，相當于比例-積分（PI）控制。由于該校正裝置的相角總是滯后的，故稱為滯后網(wǎng)絡。(a)對數(shù)頻率特性曲線圖6-2-4無源滯后網(wǎng)絡特性最大滯后角頻率最大滯后角為為避免相角滯后對系統(tǒng)有較大的影響，選擇校正參數(shù)時，應盡量使滯后網(wǎng)絡第二個轉(zhuǎn)折頻率1/(bT)遠離系統(tǒng)校正后的截止頻率。一般取無源滯后網(wǎng)絡的相頻特性為（6-2-8）（6-2-9）（6-2-10）（6-2-11）此時，滯后網(wǎng)絡在處產(chǎn)生的相角滯后量為隨b變化的關系曲線如圖6-2-4（b）所示?？梢?，滯后網(wǎng)絡的第二個轉(zhuǎn)折頻率10倍頻處的相位滯后不超過6°。(a)對數(shù)頻率特性曲線圖6-2-4無源滯后網(wǎng)絡特性（6-2-12）滯后網(wǎng)絡幅值的衰減使得有可能調(diào)大開環(huán)增益，從而提高穩(wěn)態(tài)精度。缺點是使頻帶變窄，降低了快速性。一般適用于穩(wěn)態(tài)精度要求較高或穩(wěn)定性要求嚴格的系統(tǒng)。小結(jié)：6.2.3滯后-超前校正裝置滯后-超前校正裝置可以用無源RC網(wǎng)絡實現(xiàn)，電路連接圖如圖6-2-5所示。無源滯后-超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為其中，圖6-2-5無源滯后-超前網(wǎng)絡為網(wǎng)絡的滯后部分，

為網(wǎng)絡的超前部分。（6-2-13）圖6-2-6無源滯后-超前網(wǎng)絡頻率特性曲線對應的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-2-6所示。由圖6-2-6可見，無源滯后-超前網(wǎng)絡在低頻段和高頻段的幅頻特性曲線均為零分貝。當0<ω<ω0時，相角為負，起到滯后校正的作用；當ω0<ω<+∞時，相角為正，起到超前校正的作用。滯后-超前網(wǎng)絡綜合了滯后網(wǎng)絡和超前網(wǎng)絡的特點，可以同時提高穩(wěn)態(tài)和動態(tài)特性，相當于比例-積分-微分（PID）作用，故稱為滯后-超前網(wǎng)絡。滯后-超前網(wǎng)絡的零相角頻率為表6-2-1同樣給出了有源滯后-超前網(wǎng)絡的電路連接形式、傳遞函數(shù)及對數(shù)頻率特性曲線。6.3串聯(lián)校正頻率法是分析設計控制系統(tǒng)最常用的方法。應用頻率法對系統(tǒng)進行校正，其目的是改變頻率特性的形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標。當系統(tǒng)的期望性能指標是時域指標時，需要將其轉(zhuǎn)化為頻域指標。本節(jié)主要應用超前校正裝置、滯后校正裝置和滯后-超前校正裝置實現(xiàn)串聯(lián)校正，介紹串聯(lián)校正綜合法的設計思想，并給出相應的串聯(lián)校正示例。6.3.1頻率法校正設計從第五章的內(nèi)容可知，一個合理的控制系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線有如下特點：低頻段應具有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率，并有一定的高度，以滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的要求；中頻段應以-20dB/dec的斜率穿過零分貝線，并占有足夠?qū)挼闹蓄l寬度，以滿足動態(tài)性能指標要求；高頻段的頻率特性應該盡快衰減，以削減噪聲影響。頻域法串聯(lián)校正的實質(zhì)是利用校正裝置改變系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性，使之符合三頻段的要求，從而達到改善系統(tǒng)性能的目的。6.3.2串聯(lián)超前校正頻率法串聯(lián)超前校正的設計思想是利用超前網(wǎng)絡的相角超前特性，只要正確地將超前網(wǎng)絡的轉(zhuǎn)折頻率1/(aT)和1/T置于待校正系統(tǒng)截止頻率的兩旁，并適當選擇超前網(wǎng)絡參數(shù)a和T，就可以提高校正后系統(tǒng)的相角裕度和截止頻率，從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。用頻域法設計無源超前網(wǎng)絡的步驟如下。⑴根據(jù)給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。當，時，首先考慮超前校正。⑶根據(jù)給定的相角裕度，確定超前網(wǎng)絡的最大超前角為式（6-3-1）中，ε為補償角，用于補償因超前網(wǎng)絡的引入，使校正后系統(tǒng)截止頻率增大而導致的待校正系統(tǒng)的相角損失量。若待校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-40dB/dec時，一般取ε=5°-10°，若待校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-60dB/dec時，一般取ε=15°-20°。（6-3-1）⑷根據(jù)所確定的最大超前角，由式（6-2-5）求得超前網(wǎng)絡參數(shù)a為⑸確定超前網(wǎng)絡最大超前角對應的最大超前角頻率。為充分利用超前網(wǎng)絡相角超前特性，選擇作為校正后系統(tǒng)的截止頻率。此時根據(jù)式（6-2-6）可得⑹由式（6-2-4）確定超前網(wǎng)絡參數(shù)T為

（6-3-3）（6-3-2）（6-3-4）⑺根據(jù)已求得的超前網(wǎng)絡參數(shù)a和T，由式（6-2-2）確定超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)Gc(s)。⑻驗算校正后系統(tǒng)的性能。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為相應的相角裕度為若驗算結(jié)果不滿足性能指標要求，返回步驟⑶，適當增大補償角ε，重新設計直到系統(tǒng)滿足性能指標要求。設計中也可以根據(jù)截止頻率的要求，選擇校正后系統(tǒng)的截止頻率。通過計算待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值，依據(jù)步驟⑸-步驟⑹，求出超前網(wǎng)絡參數(shù)a和T。例6-3已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-3-1所示，要求設計串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡，使得系統(tǒng)滿足如下指標：⑴在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差；⑵截止頻率；⑶相角裕度。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能要求，確開環(huán)增益K。由,取K=10，則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應有可求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=3.16rad/s（在ω≥1頻段內(nèi)）。待校正系統(tǒng)的相角裕度為

顯然，，，系統(tǒng)不滿足性能指標要求。⑶確定超前網(wǎng)絡的參數(shù)。方法一由于待校正系統(tǒng)中頻段斜率為-40dB/dec，故取ε=10°。由式（6-3-1）得代入式（6-3-2），解得超前網(wǎng)絡參數(shù)a為

根據(jù)式（6-3-3），可求得校正后系統(tǒng)的截止頻率，即解得。顯然，截止頻率滿足性能指標要求。根據(jù)式（6-3-4），可得超前網(wǎng)絡參數(shù)T為

因此，串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中Lc(ω)所示。⑷驗算系統(tǒng)性能指標。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中所示。

校正后系統(tǒng)相角裕度為綜上，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)誤差，滿足系統(tǒng)性能指標要求。校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)相角裕度顯然，利用方法二所計算參數(shù)也滿足系統(tǒng)性能指標要求。方法二根據(jù)系統(tǒng)截止頻率的要求，直接選取校正后系統(tǒng)截止頻率由式（6-3-3），可求得超前網(wǎng)絡參數(shù)a，即解得a=3.75，則超前網(wǎng)絡參數(shù)因此串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為通過例6-3可以看出，校正后曲線以-20dB/dec斜率穿過0dB線，并且在處具有較寬的頻段，相角裕度相對于校正前系統(tǒng)有了明顯的提高。在L(ω)的上方，對高頻信號的幅值衰減能力降低。由此可見，串聯(lián)超前校正主要用來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，但以犧牲系統(tǒng)的抗擾性能為代價。由于無源超前網(wǎng)絡最大超前角（a≤20），當待校正系統(tǒng)的中頻段斜率為-60dB/dec（相角裕度γ<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定）時，采用一級串聯(lián)超前校正將無法實現(xiàn)性能指標的要求。另外，若待校正系統(tǒng)的截止頻率附近存在多個慣性環(huán)節(jié)，導致截止頻率滯后的相位迅速減小，不宜采用串聯(lián)超前校正。6.3.2串聯(lián)滯后校正頻率法串聯(lián)滯后校正的設計思想是利用滯后網(wǎng)絡的高頻幅值衰減特性，使校正后系統(tǒng)截止頻率下降，從而使系統(tǒng)獲得足夠的相角裕度。因此，在設計滯后網(wǎng)絡時應避免最大滯后角發(fā)生在系統(tǒng)截止頻率附近。由于滯后網(wǎng)絡的高頻幅值衰減特性，減小了系統(tǒng)帶寬，降低了系統(tǒng)的快速性。因此，串聯(lián)滯后校正適用于快速性要求不高而抑制噪聲要求較高的系統(tǒng)。若待校正系統(tǒng)僅穩(wěn)態(tài)性能不滿足指標要求時，也可以采用串聯(lián)滯后校正以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。用頻域法設計無源滯后網(wǎng)絡的步驟如下。⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。⑶根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，確定校正后系統(tǒng)的截止頻率，即滿足（6-3-5）式（6-3-5）中，為待校正系統(tǒng)在處的相角值，為滯后網(wǎng)絡在處引起的相位滯后量，一般取-6°。⑷確定滯后網(wǎng)絡參數(shù)b和T。

⑷確定滯后網(wǎng)絡參數(shù)b和T。由于滯后網(wǎng)絡在處的幅值衰減量為20lgb，要保證校正后系統(tǒng)的截止頻率為，則待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值應滿足（6-3-6）由式（6-3-6）可確定滯后網(wǎng)絡參數(shù)b。由已確定的b值可根據(jù)式（6-2-11）計算滯后網(wǎng)絡參數(shù)T。若求得的T值過大而難以實現(xiàn)，則可將式（6-2-11）中的系數(shù)適當增大，即（6-3-7）相應的的估計值應在范圍內(nèi)確定。⑸校驗校正后系統(tǒng)的性能指標。例6-4已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)要求設計串聯(lián)滯后網(wǎng)絡，使得系統(tǒng)滿足如下指標：⑴穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)；⑵相角裕度。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv要求，確定開環(huán)增益K。因為

取K

=5，則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⑵根據(jù)已確定的K值，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應有求得待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=2.24rad/s（在1≤ω<4頻段范圍內(nèi)）待校正系統(tǒng)相角裕度為

顯然，待校正系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且相角裕度不滿足性能指標的要求。

⑶根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，確定校正后系統(tǒng)的截止頻率。由式（6-3-5）可得

根據(jù)待校正系統(tǒng)在處的相角可求得（在ω<1頻段范圍內(nèi)）。⑷確定滯后網(wǎng)絡參數(shù)b和T。根據(jù)式（6-3-6）可得

解得b=0.136。將和b=0.136帶入式（6-2-11），即

解得T=108.131s。因此串聯(lián)滯后網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中Lc(ω)所示。⑸校驗校正后系統(tǒng)的性能指標。校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中所示。校正后系統(tǒng)的相角裕度為

綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

=5，滿足系統(tǒng)性能指標要求。由圖6-3-3可以看出，校正前L(ω)曲線以-40dB/dec的斜率穿過0dB線，相角裕度不足，系統(tǒng)不穩(wěn)定；校正后曲線則以-20dB/dec的斜率穿過0dB線，相角裕度明顯增加，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性得到顯著改善。然而校正后比校正前ωc降低，因此,串聯(lián)滯后校正以犧牲截止頻率換取了相角裕度的提高。另外，由于滯后網(wǎng)絡高頻幅值衰減特性，使校正后系統(tǒng)曲線高頻段降低，抗高頻干擾能力提高。6.3.2串聯(lián)滯后-超前校正如果校正前系統(tǒng)不穩(wěn)定，且要求校正后系統(tǒng)有較高的響應速度、相角裕度和穩(wěn)態(tài)精度，一般需采用串聯(lián)滯后-超前校正。頻率法串聯(lián)滯后-超前校正的設計思想是利用超前部分提高相角裕度，同時利用滯后部分改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，具有超前校正和滯后校正的優(yōu)點。用頻域法設計無源滯后-超前網(wǎng)絡的步驟如下。⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc、相角裕度γ和幅值裕度h(dB)。⑶選擇待校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線斜率從-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率，作為校正網(wǎng)絡超前部分的轉(zhuǎn)折頻率ωb（ωb=1/Tb）。這里選擇ωb的原因，一是降低校正后系統(tǒng)的階次，二是保證校正后系統(tǒng)的中頻段斜率為-20dB/dec，且具有一定的寬度。⑷根據(jù)響應速度的要求，選擇系統(tǒng)的截止頻率和校正網(wǎng)絡參數(shù)α。要保證校正后系統(tǒng)的截止頻率為所選的，應滿足（6-3-8）式（6-3-8）中，為待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值，-20lgα為校正網(wǎng)絡最大幅值衰減值，為校正網(wǎng)絡超前部分在處的對數(shù)幅頻值。由式（6-3-8）可計算校正網(wǎng)絡參數(shù)α。⑸根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，估算校正網(wǎng)絡滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率ωa（ωa=1/Ta）。⑹校驗校正后系統(tǒng)的性能指標。例6-5已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)要求設計串聯(lián)校正裝置，使得系統(tǒng)滿足如下指標：⑴最大指令速度為180°/s時，位置滯后誤差不超過1°；⑵相角裕度；⑶幅值裕度；⑷動態(tài)過程調(diào)節(jié)時間。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定開環(huán)增益K。當系統(tǒng)輸入信號r(t)=180t時，其穩(wěn)態(tài)誤差。由題意，取K=180

則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應有求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=12.93rad/s（在ω≥6頻段內(nèi)）。待校正系統(tǒng)的相角裕度為

顯然，待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定。分析：如果采用串聯(lián)超前校正，要將待校正系統(tǒng)的相角裕度從-56°提高到45°，至少需要選用兩級無源超前網(wǎng)絡，并且還需要附加前置放大器，從而使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜化。另外，校正后系統(tǒng)的截止頻率將過大，響應速度將過快，伺服電機來不及動作而出現(xiàn)飽和效應。同時系統(tǒng)過大的帶寬，也會造成輸出噪聲電平過高。如果采用串聯(lián)滯后校正，可以使系統(tǒng)的相角裕度提高到45°左右，但是對于該例題要求的高性能系統(tǒng)，由于滯后網(wǎng)絡時間常數(shù)太大而無法實現(xiàn)，此外滯后網(wǎng)絡極大地減小了系統(tǒng)的截止頻率，使得系統(tǒng)的響應遲緩。通過上述分析表明，超前校正和滯后校正都不宜采用，因此，應當選用串聯(lián)滯后-超前校正。⑶由待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)可知，其斜率從-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率為2rad/s，此頻率作為校正網(wǎng)絡超前部分的轉(zhuǎn)折頻率ωb，即ωb=2rad/s，相應Tb=1/ωb=0.5s。⑷選擇系統(tǒng)的截止頻率和校正網(wǎng)絡參數(shù)α。根據(jù)系統(tǒng)相角裕度及調(diào)節(jié)時間的要求，代入

解得截止頻率考慮到要求中頻段斜率為-20dB/dec，故校正后系統(tǒng)截止頻率應在3.2-6rad/s范圍內(nèi)選取。這里取由式（6-3-8）計算α，即解得α=51。因此串聯(lián)無源滯后-超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)可寫為

⑸根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，估算校正網(wǎng)絡滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率ωa（ωa=1/Ta）。校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的相角裕度為

根據(jù)相角裕度的要求，取校正后系統(tǒng)的相角裕度，上式可寫為解得Ta=1.24（ωa=1/Ta=0.8065）則串聯(lián)無源滯后-超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中Lc(ω)所示。

⑹校驗校正后系統(tǒng)的性能指標校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中所示，校正后系統(tǒng)的相角裕度為

最后，驗算系統(tǒng)的幅值裕度，得到。綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕量，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)，幅值裕度，滿足系統(tǒng)性能指標要求。

由以上對串聯(lián)校正的三種校正方式的分析可知，串聯(lián)超前校正可提高系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度，從而減小階躍響應的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量；串聯(lián)滯后校正可以提高系統(tǒng)的相角裕度，降低系統(tǒng)的截止頻率，從而使系統(tǒng)的階躍響應超調(diào)量下降并提高系統(tǒng)的抗干擾能力；串聯(lián)滯后-超前校正兼有兩者的優(yōu)點，即可提高系統(tǒng)的響應速度、降低超調(diào)量，又能抑制高頻噪聲。6.3.5串聯(lián)綜合法校正串聯(lián)綜合法校正的設計思想是根據(jù)給定的性能指標，確定系統(tǒng)期望的開環(huán)頻率特性，然后與未校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性進行比較，最后確定校正裝置的形式及參數(shù)。由于綜合法校正的主要依據(jù)是期望特性，因此又稱為期望特性法。應當指出，該方法一般僅適用于最小相位系統(tǒng)。設原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)為Gc(s)，具有期望性能的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，則相應的對數(shù)幅頻特性為即為滿足給定性能指標的“期望特性”。下面分析將頻域性能指標轉(zhuǎn)化為期望頻率特性的方法。通常，具有較好性能的控制系統(tǒng)應具有的期望開環(huán)頻率特性如圖6-3-5所示。由圖6-3-5可知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

相頻特性為則（6-3-9）

由，解得產(chǎn)生的角頻率（6-3-10）顯然ωm是轉(zhuǎn)折頻率ω1和ω2的幾何中心。將式（6-3-10）代入式（6-3-9），求得（6-3-11）

令中頻段的寬度為H，即，則式（6-3-11）可寫為

考慮到通常在極大值附近相角變化較小，特別是在開環(huán)截止頻率接近兩個轉(zhuǎn)折頻率的幾何中心時誤差很小，近似有。由諧振峰值和相角裕度之間的近似關系，可得由相角裕度與阻尼比的關系可知，Mr和H均是體現(xiàn)系統(tǒng)阻尼比的頻域指標。

（6-3-11）當ω2和ω3與滿足系統(tǒng)的閉環(huán)諧振峰值最小。由于中頻段對系統(tǒng)的動態(tài)性能起決定性作用，通常采用綜合法進行系統(tǒng)校正時要留出一定的裕量，取由此可得期望頻率特性的兩個參數(shù)ω2和ω3，結(jié)合就可以確定期望頻率特性的中頻段。通常，為保證有足夠的相角裕度，一般取中頻寬度H≥10。為了使校正裝置較為簡單，需要結(jié)合原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線確定期望頻率特性的低頻段和高頻段?？刹捎孟旅娴牟襟E按期望特性對系統(tǒng)進行串聯(lián)校正。⑴根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)性能的要求，確定系統(tǒng)的型別v和開環(huán)增益K，繪制期望特性的低頻段。⑵根據(jù)系統(tǒng)性能指標確定期望截止頻率、期望相角裕度以及期望諧振峰值Mr。根據(jù)和Mr確定參數(shù)H、ω2和ω3，繪制期望特性的中頻段，使中頻段的斜率為-20dB/dec，并有足夠?qū)挾然驗?40dB/dec，且比較窄，以保證系統(tǒng)具有足夠的相角裕度。⑶繪制期望特性低、中頻段之間的銜接頻段，其斜率一般為-40dB/dec或-60dB/dec，為了簡化校正裝置，應使直線的斜率盡量接近相鄰線段的斜率，以減少對系統(tǒng)性能的影響。⑷根據(jù)系統(tǒng)幅值裕度及高頻段抗擾能力的要求，繪制期望特性的高頻段。通常為了使校正裝置較為簡單且便于實現(xiàn)，一般期望特性的高頻段與原系統(tǒng)的高頻段斜率一致或完全重合。⑸繪制期望特性的中、高頻段之間的銜接頻段，其斜率一般取-40dB/dec。

⑹根據(jù)期望對數(shù)幅頻特性與原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性之差，繪制校正裝置的對數(shù)幅頻特性Lc(ω)，求出校正裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)。⑺校驗校正后系統(tǒng)的性能指標。例6-6已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

要求設計串聯(lián)校正裝置，使得系統(tǒng)滿足如下指標：⑴當r(t)=t時，穩(wěn)態(tài)誤差；⑵相角裕度；⑶開環(huán)截止頻率。解：由穩(wěn)態(tài)誤差，得開環(huán)增益K≥126，取K=126。繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應有可求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=35.5rad/s（在10≤ω<60頻段內(nèi)）待校正系統(tǒng)相角裕度為

顯然，原系統(tǒng)不穩(wěn)定，不滿足性能指標要求。下面繪制期望頻率特性。⑴低頻段系統(tǒng)為Ⅰ型，當ω=1rad/s時，20lgK=42dB，過點(1,42)作斜率為-20dB/dec的直線與原系統(tǒng)的低頻段重合。⑵中頻段及銜接段根據(jù)的要求，可得，取Mr=1.7。由的要求，可以確定中頻段兩個轉(zhuǎn)折頻率的范圍，即求得ω2≤8.24rad/s，ω3≥31.76rad/s。為使期望頻率特性簡單，取ω2=5rad/s，ω3=50rad/s，則中頻段寬度H=ω2/ω3=10。在處作斜率為-20dB/dec的直線。為連接中頻段和低頻段，在中頻段ω2=5rad/s處作斜率為-40dB/dec的直線，其與低頻段的交點ω1，可由下式

解得ω1=0.79rad/s。⑶高頻段及銜接段為簡化校正裝置，在中頻段ω3=50rad/s處作斜率為-40dB/dec的直線，并與原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)的高頻段交于ω4。ω>ω4時，取期望特性高頻段與原系統(tǒng)高頻特性一致。高頻段的交點ω4可由

解得ω4=75.6rad/s。繪制期望對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中所示。根據(jù)，求出校正裝置的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中Lc(ω)所示。

校正裝置傳遞函數(shù)為顯然校正裝置為滯后-超前網(wǎng)絡。最后校驗系統(tǒng)性能指標。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中所示。校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度為

綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)誤差，滿足系統(tǒng)性能指標要求。6.3.6MATLAB實現(xiàn)借助MATLAB強大的計算功能，可以進一步討論控制系統(tǒng)校正裝置的設計問題，以獲得滿意的系統(tǒng)性能。下面通過具體實例，說明MATLAB在控制系統(tǒng)校正中的應用。1.超前校正的MATLAB實現(xiàn)例6-7針對例6-3所給系統(tǒng)和要求，試利用MATLAB確定串聯(lián)超前校正裝置，并比較校正前后系統(tǒng)的性能指標。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=45;%期望相角裕度γ=45°epsilon=10;%補償角取ε=10°K=10;%開環(huán)增益G0=K*tf(1,[110]);%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率GmdB=20*log10(Gm0);%待校正系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值(dB)[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅值、相位值和對應頻率magdB=20*log10(mag0);%幅值的對數(shù)值phim=exp_gama-Pm0+epsilon;%最大超前角φma=(1+sind(phim))/(1-sind(phim));%求校正參數(shù)aadB=-10*log10(a);%a的對數(shù)值wc=spline(magdB,w0,adB);%校正后系統(tǒng)的截止頻率T=1/wc/sqrt(a);%校正參數(shù)TGc=tf([a*T1],[T1])%超前校正網(wǎng)絡傳遞函數(shù)G=Gc*G0;%校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率figure(1)bode(G0)gridholdonbode(G)figure(2)G1=feedback(G0,1);step(G1)holdonG2=feedback(G,1);step(G2)校正前后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-3-7所示。系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應曲線如圖6-3-8所示。圖6-3-8例6-7的單位階躍響應曲線由運行結(jié)果可知，待校正系統(tǒng)的相角裕度γ=17.9642°，截止頻率ωc=3.0842rad/s，顯然不滿足要求。采用串聯(lián)超前校正，得到超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)的相角裕度，截止頻率，滿足性能指標要求。校正前系統(tǒng)超調(diào)量σ%=60.4%，調(diào)節(jié)時間ts=7.31s，校正后系統(tǒng)的超調(diào)量σ%=22.4%，調(diào)節(jié)時間ts=1.23s。可見，系統(tǒng)動態(tài)性能得到了明顯改善。2.滯后校正的MATLAB實現(xiàn)例6-8針對例6-4所給系統(tǒng)和要求，試利用MATLAB確定串聯(lián)滯后校正裝置，并求出系統(tǒng)校正后的性能指標。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=40;%期望相角裕度γ=40°phic=-6;%滯后角取φc(wc’)=-6°K=5;%開環(huán)增益G0=K*tf(1,conv([110],[0.251]));%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅值、相位值和對應頻率magdB=20*log10(mag0);%待校正系統(tǒng)幅值的對數(shù)值phi=exp_gama-180-phic;%待校正系統(tǒng)在期望截止頻率wc處的相位wc=spline(phase0,w0,phi);%校正后系統(tǒng)的截止頻率wcmag1=spline(w0,mag0,wc);%校正后系統(tǒng)截止頻率wc處的原系統(tǒng)幅值mag1mag1dB=20*log10(mag1);%mag1的對數(shù)值b=10^(-mag1dB/20);%校正參數(shù)bT=1/(b*0.1*wc);%校正參數(shù)TGmdB=20*log10(Gm0);%待校正系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值(dB)Gc=tf([b*T1],[T1])%滯后校正裝置G=Gc*G0;%校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率figure(1)margin(G0);grid;figure(2)margin(G);grid;校正前和校正后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性如圖6-3-9和圖6-3-10所示，待校正系統(tǒng)的幅值裕度20lgh≈0dB，相角裕度γ≈0°，ωc=2rad/s，待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，顯然不滿足要求。采用串聯(lián)滯后校正，得到校正裝置的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)幅值裕度，相角裕度，，滿足系統(tǒng)性能指標。由此可見，應用MATLAB所得結(jié)果與例題6-5所求基本一致。3.滯后-超前校正的MATLAB實現(xiàn)例6-9針對例6-5所給系統(tǒng)和要求，試利用MATLAB確定串聯(lián)滯后-超前校正裝置，并比較校正前后系統(tǒng)的性能指標。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=45;%期望相角裕度γ=45°exp_GmdB=10;%期望幅值裕度h(dB)=10K=180;%開環(huán)增益Mr=1/sind(exp_gama);%根據(jù)期望相角裕度計算諧振峰值ts=3;%調(diào)節(jié)時間exp_wc=pi*(2+1.5*(Mr-1)+2.5*(Mr-1)^2)/3;%根據(jù)調(diào)節(jié)時間、諧振峰值計算期望截止頻率G0=K*zpk([],[0-2-6],12);%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率Gm0_dB=20*log10(Gm0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅值、相位值和對應頻率wb=2;%校正網(wǎng)絡超前部分的轉(zhuǎn)折頻率wbTb=1/wb;%求校正裝置參數(shù)Tbdelta=0.3;%開環(huán)截止頻率裕量，delta可取0.1-0.5wc=roundn(exp_wc,-1)+delta;%校正后系統(tǒng)的截止頻率wca=spline(w0,mag0,wc)*(Tb*wc);%校正裝置參數(shù)aphi0=spline(w0,phase0,wc);%待校正系統(tǒng)在截止頻率wc處的相位x=0:0.01:100;x=0:0.01:100;%給定x的范圍phic=atand(x*wc)+atand(Tb*wc)-atand(Tb*wc/a)-atand(a*x*wc);%校正裝置在截止頻wc處的相位angle=phi0+phic-exp_gama;%校正后系統(tǒng)在截止頻率wc處的相位Ta=spline(angle,x,-180);%求校正裝置參數(shù)Tawa=1/Ta;%校正網(wǎng)絡滯后部分的轉(zhuǎn)接頻率waGc=zpk(tf([Ta1],[a*Ta1])*tf([Tb1],[a^(-1)*Tb1]))%滯后-超前校正裝置Gc(s)G=Gc*G0;%校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度以及相應的穿越頻率和截止頻率Gm_dB=20*log10(Gm)%校正后系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值（dB）figure(1)bode(G0)gridholdonbode(G)figure(2)Go=feedback(G,1);%校正后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)step(Go)校正前后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-3-11所示，校正后系統(tǒng)的單位階躍響應如圖6-3-12所示。由運行結(jié)果可以看出，待校正系統(tǒng)的幅值裕度h(dB)=-27.0437dB，相角裕度γ=-55.0917°，ωc=3.4641rad/s，待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，顯然不滿足要求。采用串聯(lián)滯后-超前校正，得到校正裝置的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)幅值裕度，相角裕度，，最大超調(diào)量σ%=32.8%，調(diào)節(jié)時間ts=2.68s，滿足系統(tǒng)性能指標。例6-6中，由于待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值計算中采用近似法，所以計算結(jié)果與MATLAB運算結(jié)果略有差異。6.4反饋校正在工程實踐中，當被控對象的數(shù)學模型比較復雜或者系統(tǒng)有重大缺陷（例如微分方程的階次較高、延遲和慣性較大或參數(shù)不穩(wěn)定）時，采用串聯(lián)校正方法一般無法滿足設計要求，此時可以采用反饋校正方式。反饋校正的實質(zhì)是利用校正裝置反饋包圍系統(tǒng)前向通道中的一部分環(huán)節(jié)或全部環(huán)節(jié)，以達到改善系統(tǒng)性能的目的。6.4.1反饋校正原理反饋校正系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-4-1所示，被校正裝置Gc(s)反饋包圍部分的傳遞函數(shù)為

待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由式（6-4-1）可見，引入局部反饋后，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的1/(1+G2(s)Gc(s))倍。（6-4-1）當被包圍部分G2(s)內(nèi)部參數(shù)變化或受到作用于G2(s)上的干擾影響時，由于負反饋的作用，將其影響減小1+G2(s)Gc(s)倍，從而使之得到有效抑制。如果反饋校正包圍的回路穩(wěn)定（即回路中各環(huán)節(jié)均是最小相位環(huán)節(jié)），則可以用對數(shù)頻率特性曲線來分析其性能。在系統(tǒng)主要的校正頻率范圍內(nèi)，即，式（6-4-1）可表示為由式（6-4-2）可知，反饋校正后系統(tǒng)的特性幾乎與局部反饋包圍的環(huán)節(jié)G2(s)無關。（6-4-2）由于由希望的頻率特性確定，于是可以根據(jù)，獲得近似的。由于G2(s)是已知的，因此可以求得反饋校正裝置Gc(s)。在的頻率范圍內(nèi)，式（6-4-2）可表示為由式（6-4-3）表明，校正后系統(tǒng)與待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一致。因此適當選擇反饋校正裝置Gc(s)的參數(shù)，可以使校正后系統(tǒng)的動態(tài)性能滿足要求。由此可見，反饋校正就是用反饋校正裝置包圍待校正系統(tǒng)中對動態(tài)性能改善有重大妨礙作用的某些環(huán)節(jié)，形成一個局部反饋回路，適當選擇校正裝置的形式和參數(shù)，可使局部反饋回路的性能比被包圍環(huán)節(jié)的性能大為改善。（6-4-3）下面主要討論幾種典型的反饋校正形式及作用。1.比例反饋包圍積分環(huán)節(jié)圖6-4-1中，若G2(s)=K/s，Gc(s)=Kh，則局部反饋回路的等效傳遞函數(shù)為其中，。由式（6-4-4）可見，當比例反饋包圍積分環(huán)節(jié)后，等效環(huán)節(jié)成為慣性環(huán)節(jié)。這一變化使系統(tǒng)型別降低，相位滯后減少，而增益K變?yōu)?/Kh，一般可通過調(diào)整其他部分的增益來補償。（6-4-4）2.比例反饋包圍慣性環(huán)節(jié)圖6-4-1中，若（時間常數(shù)T較大），Gc(s)=Kh，則局部反饋回路的等效傳遞函數(shù)為其中，。由式（6-4-5）可見，當比例反饋包圍慣性環(huán)節(jié)后，等效環(huán)節(jié)仍為慣性環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)和增益都減小了(1+KKh)倍。時間常數(shù)T的下降可以增加系統(tǒng)帶寬，有利于加快系統(tǒng)的響應速度，而增益K的減小，可通過提高前置放大器的增益來補償，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。（6-4-5）式（6-4-5）還可以表示為其中a=1+KKh>1。式（6-4-6）表明，在控制系統(tǒng)設計中，比例反饋包圍慣性環(huán)節(jié)可以等效為串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡。3.微分反饋包圍慣性環(huán)節(jié)圖6-4-1中，若，Gc(s)=Kts，則局部反饋回路的等效傳遞函數(shù)為其中，。（6-4-6）（6-4-7）由式（6-4-7）可見，微分反饋包圍慣性環(huán)節(jié)后，其等效環(huán)節(jié)仍為慣性環(huán)節(jié)，增益不受影響，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，而時間常數(shù)增大，可以使系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的時間常數(shù)拉開距離，從而改善系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。式（6-4-7）也可表示為

其中b=1+KKt/T>1。式（6-4-8）表明微分反饋包圍慣性環(huán)節(jié)可以等效為串聯(lián)滯后校正網(wǎng)絡。由此可見，在控制系統(tǒng)中使用反饋校正，通過選擇校正裝置的形式，可以起到與串聯(lián)校正一樣的作用，同時可削弱噪聲對系統(tǒng)的影響。（6-4-8）4.微分反饋包圍振蕩環(huán)節(jié)圖6-4-1中，如果，,則局部反饋回路的等效傳遞函數(shù)為

其中。由式（6-4-9）可見，微分反饋包圍振蕩環(huán)節(jié)后，其等效環(huán)節(jié)仍為二階振蕩環(huán)節(jié)。與原系統(tǒng)相比，等效阻尼比顯著增大，但不影響無阻尼振蕩頻率ωn。微分反饋在動態(tài)響應中增大了阻尼比，從而有效減弱了阻尼環(huán)節(jié)的不利影響，改善系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。如果，局部反饋回路就等效為兩個慣性環(huán)節(jié)和一個放大環(huán)節(jié)。（6-4-9）由以上幾種典型情況的分析可知，反饋校正能有效地改變被包圍環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，并且在一定條件下，反饋校正裝置的特性可以完全取代被包圍環(huán)節(jié)的特性，大大削弱這部分環(huán)節(jié)由于特性參數(shù)變化及各種干擾帶給系統(tǒng)的影響。同時，反饋校正分析與設計問題可以通過結(jié)構(gòu)上的等價變化，轉(zhuǎn)化為相應的串聯(lián)校正設計問題。應當指出，如果反饋校正參數(shù)選擇不當，使局部內(nèi)回路失去穩(wěn)定，則整個系統(tǒng)也難以穩(wěn)定可靠地工作，并且不便于對系統(tǒng)進行開環(huán)調(diào)試。因此反饋校正形成的內(nèi)回路最好是穩(wěn)定的。6.4.2反饋校正的設計下面通過例6-10說明如何應用頻域法設計反饋校正裝置。例6-10已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-4-1所示。其中KI在6000內(nèi)可調(diào),試設計反饋校正裝置，要求系統(tǒng)滿足如下性能指標：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv≥150，超調(diào)量σ%≤40%，調(diào)節(jié)時間ts≤1s。

解：⑴將高階系統(tǒng)時域性能指標轉(zhuǎn)化為頻域性能指標。由取，。⑵根據(jù)系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv要求，確定開環(huán)增益K。由題意可知取，待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⑶根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-4-2(a)中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應有求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=38.73rad/s（在10≤ω<50頻段內(nèi)）。

待校正系統(tǒng)相角裕度為

顯然，待校正系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，不滿足性能指標要求。⑷確定校正后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻率，繪制校正后系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。中頻段：斜率取為-20dB/dec，且截止頻率選擇為。根據(jù)性能指標要求，可以確定中頻段兩個轉(zhuǎn)折頻率范圍，即得，。為了簡化校正裝置，直接取C點頻率ω3=1/0.014=71.43rad/s，并取B點頻率ω2=4rad/s，則H=ω3/ω2=17.86。另外，從校正裝置簡單及滯后校正負相角對截止頻率處相角影響最小來考慮，確定低頻段、高頻段的轉(zhuǎn)折頻率。低頻段：Ⅰ型系統(tǒng)，與待校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性L(ω)的低頻段重合。由B點作斜率為-40dB/dec的直線與低頻段相交于A點。由校正后系統(tǒng)幅頻特性特性各點轉(zhuǎn)折頻率可得

即求得A點頻率為ω1=0.32rad/s。高頻段：當ω≥ω4時，取與L(ω)開環(huán)頻率特性一致。為了簡化校正裝置，再由C點作斜率為-40dB/dec的直線向高頻段延伸交于L(ω)于D點。由校正后系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性各點轉(zhuǎn)折頻率，可得

即求得D點頻率為ω4=79.06rad/s。繪制校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-4-2(a)中所示。因為低頻段與L(ω)重合，所以開環(huán)增益值不變。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⑶確定局部反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)由于，有繪制局部反饋回路G2(s)Gc(s)對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-4-2(b)中所示。為了簡化校正裝置，取

⑷檢驗局部反饋回路的穩(wěn)定性和截止頻率附近的特性檢驗局部反饋回路穩(wěn)定性，主要檢驗ω=ω4=79.06rad/s處的相角裕度則說明局部反饋回路穩(wěn)定。此外，在處，滿足的條件，因此近似誤差較小。

⑸確定反饋校正裝置Gc(s)的傳遞函數(shù)根據(jù)已求出的，代入已知的G2(s)，可得

⑹校驗校正后系統(tǒng)的性能指標校正后系統(tǒng)相角裕度為綜上所述，校正后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=150，，，σ%=24.8%,ts=0.64s,滿足設計要求。與串聯(lián)校正相比，反饋校正有削弱非線性因素的影響及對干擾有抑制作用等特點，但由于引入反饋校正，一般需要專門的測量部件，例如角速度的測量就需要測速電機、角速度陀螺儀等部件，因此使得系統(tǒng)的成本提高。另外反饋校正對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響比較復雜，設計和調(diào)整比較麻煩。6.4.3MATLAB實現(xiàn)例6-11利用MATLAB驗證例6-10系統(tǒng)的性能。解：MATLAB程序如下：clcG0=tf(150,[conv([0.1,1,0],conv([0.02,1],[0.014,1]))]);G=tf([37.5,150],[conv([3.125,1,0],conv([0.014,1],[0.0126,1]))]);[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應穿越頻率、截止頻率[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應穿越頻率、截止頻率figure(1)bode(G0)gridholdonbode(G)G1=feedback(G,1);figure(2)step(G1);%校正后系統(tǒng)