自動控制原理 課件 7.7 離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

7.7離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

由線性連續(xù)系統(tǒng)理論可知，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點在

平面的分布對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。與此類似，離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點在

平面的分布也有密切的關(guān)系。本節(jié)主要介紹離散系統(tǒng)閉環(huán)極點分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系，以及動態(tài)性能的分析計算方法。7.7.1離散系統(tǒng)閉環(huán)極點分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為其中，

為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的零點，

為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。為討論方便，同時不失一般性，假設(shè)

沒有重極點。若輸入為單位階躍信號，則將

展開成部分分式形式，可得其中：

為函數(shù)

在極點

處的留數(shù)。則對上式求

反變換，可得第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為瞬態(tài)分量。顯然，瞬態(tài)分量的變化規(guī)律取決于閉環(huán)極點在

平面的位置。下面分二種情況進行討論。1.閉環(huán)實數(shù)極點對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的實數(shù)極點

位于

平面的實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量為則極點對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)具有以下影響。(1)若

，極點位于單位圓外的正實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)為單調(diào)發(fā)散序列。(2)若

，極點位于單位圓與正實軸的交點處，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)為等幅序列。(3)若

，極點位于單位圓內(nèi)的正實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)為單調(diào)衰減序列，極點越接近原點，衰減越快。(4)若

，極點位于單位圓內(nèi)的負實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是以為周期正負交替的衰減振蕩序列。(5)若

，極點位于單位圓與負實軸的交點處，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是以為周期正負交替的等幅振蕩序列。(6)若

，極點位于單位圓外的負實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是以

為周期正負交替的發(fā)散振蕩序列。2.閉環(huán)復(fù)數(shù)極點對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點

以共軛形式成對出現(xiàn)，即它們所對應(yīng)的系數(shù)

也必定是共軛的,即

對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為共軛復(fù)數(shù)極點分布與相應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系如圖7-7-2所示。(1)若

，共軛復(fù)數(shù)極點位于單位圓外，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是發(fā)散振蕩序列。(2)若

，共軛復(fù)數(shù)極點位于單位圓上，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩序列。(3)若

，共軛復(fù)數(shù)極點位于單位圓內(nèi)，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是衰減振蕩序列，并且共軛復(fù)數(shù)極點越接近

平面的原點，衰減得越快。綜上所述，當(dāng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點分布在平面的單位圓上或單位圓外時，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是等幅或發(fā)散序列，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)極點分布在平面的單位圓內(nèi)時，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是衰減序列，而且極點越接近平面的原點，衰減越快。當(dāng)極點分布在平面左半單位圓內(nèi)時，雖然瞬態(tài)響應(yīng)是衰減的，但是由于振蕩頻率較大，動態(tài)特性并不好。因此在設(shè)計線性離散系統(tǒng)時，應(yīng)該盡量選擇閉環(huán)極點在平面右半單位圓內(nèi)，而且盡量靠近原點，這樣系統(tǒng)具有較好的動態(tài)品質(zhì)。這一結(jié)論為配置合適的閉環(huán)極點提供了理論依據(jù)。設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為7.7.2離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)通過

反變換，可以求出單位階躍響應(yīng)序列

，從而可以確定離散系統(tǒng)的動態(tài)性能。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的

變換為解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為例7-30已知線性離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-7-3所示，其中輸入

，采樣周期

，試分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為因為利用長除法，將

展成無窮冪級數(shù)可得系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出序列

為根據(jù)上述

數(shù)值，可以繪出離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

，如圖7-7-4所示。由此可以求得該離散系統(tǒng)的近似性能指標：上升時間

，峰值時間

，調(diào)節(jié)時間

，超調(diào)量

。需要指出的是，盡管離散系統(tǒng)動態(tài)性能指標的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，但在域分析時，只能針對采樣時刻的值，而在采樣間隔內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)并不能被表示出來，因此不能精確描述和表達離散系統(tǒng)的真實特性，在采樣周期較大時，尤其如此。對離散系統(tǒng)動態(tài)性能的分析可以調(diào)用相應(yīng)的MATLAB函數(shù)來完成，這些函數(shù)是在相應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的函數(shù)名前加字母d來命名的，例如利用函數(shù)dstep()、dimpulse()和dlsim()可分別求出離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和任意輸入響應(yīng)。7.7.3MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。例7-31利用MATLAB繪制例7-30相應(yīng)有零階保持器和無零階保持器的離散系統(tǒng)以及連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。clc;clearnum=[1];den=[110];T=1;Gs=tf(num,den);Gz=c2d(Gs,T,'zoh');g=feedback(Gz,1,-1);[numz,denz]=tfdata(g,'v');y=dstep(numz,denz,25);t=0:length(y)-1;plot(t,y,'*');holdon;Gz=c2d(Gs,T,'imp');g=feedback(Gz,1,-1);[numz,denz]=tfdata(g,'v');y=dstep(numz,denz,25);t=0:length(y)-1;plot(t,y,'+');holdon;t=0:0.001:25;g=feedback(Gs,1,-1);y=step(g,t);plot(t,y,'k-');xlabel('t');ylabel('c(t)');gridon;legend('有零階保持器','無零階保持器','連續(xù)系統(tǒng)');執(zhí)行該程序，運行結(jié)果如圖7-7-5所示，由圖可以看出，在相同條件下，由于采樣造成了信息損失，與連續(xù)系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)的動態(tài)性能有所降低。由于零階保持器的相角滯后特性，相對于無零階保持器的離散系統(tǒng)，穩(wěn)定程度和動態(tài)性能變差。圖7-7-5系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)解：MATLAB程序如下。例7-32已知線性離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-7-3所示，輸入

r(t)=1(t)，采樣周期T分別取0s、0.2s

、0.4s

、0.6s

、0.8s和1s時，利用MATLAB繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，并分析采樣周期對離散系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。clc;clear%T=0num=[1];den=[110];G=tf(num,den);sys=feedback(G,1,-1);subplot(3,2,1);step(sys,12);%繪制T=0時連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;%T=0.2T1=0.2;Gz1=c2d(G,T1,'zoh');sys1=feedback(Gz1,1,-1);subplot(3,2,2);step(sys1,12);%繪制T=0.2時離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;%T=0.4T2=0.4;Gz2=c2d(G,T2,'zoh');sys2=feedback(Gz2,1,-1);subplot(3,2,3);step(sys2,12);%繪制T=0.4時離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;%T=0.6T3=0.6;Gz3=c2d(G,T3,'zoh');sys3=feedback(Gz3,1,-1);subplot(3,2,4);step(sys3,12);%繪制T=0.6時離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid; %T=0.8T4=0.8;Gz4=c2d(G,T4,'zoh');sys4=feedback(Gz4,1,-1);subplot(3,2,5);step(sys4,12);%繪制T=0.8時離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;%T=1T5=1;Gz5=c2d(G,T5,'zoh');sys5=feedback(Gz5,1,-1);subplot(3,2,6);step(sys5,12);