《電工電子學(xué)》課件第3章

第3章正弦交流電路

3.1正弦量及其相量表示

3.2單一參數(shù)的正弦交流電路和基爾霍夫定律的相量形式

3.3阻抗與導(dǎo)納

3.4

RLC串并聯(lián)交流電路

3.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

3.6諧振電路

3.7三相電路

3.8非正弦周期電流電路

3.1正弦量及其相量表示

電路中隨時間按正弦規(guī)律變化的電流、電壓、電動勢和功率等物理量，稱為正弦量。其波形如圖3-1所示。正弦量可以用時間t的正弦函數(shù)來表示，以電流為例，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

i(t)=Imsin(ωt+ψ)

(3-1)

式中，i(t)為正弦電流的瞬時值，Im稱為幅值或最大值，ω

稱為正弦量的角頻率，ψ為正弦量在t=0時的相位，稱為初相位。圖3-1正弦量的波形3.1.1正弦量的三要素

1.周期、頻率與角頻率

正弦量變化一次所需的時間稱為周期，用T表示，單位是秒(s)；每秒變化的次數(shù)稱為頻率，用f表示，單位是赫茲(Hz)。由定義可知，頻率與周期互為倒數(shù)的關(guān)系，即

(3-2)在其他不同的技術(shù)領(lǐng)域使用著各種不同的頻率，工程中常以頻率的高低區(qū)分電路，如低頻電路、高頻電路等。千赫(kHz)和兆赫(MHz)是在高頻下常用的頻率單位。

1kHz=103Hz，1MHz=106Hz

正弦量表達(dá)式(3-1)中的ω是角頻率，即正弦量每秒變化的弧度數(shù)。單位是弧度每秒(rad/s)。因?yàn)檎伊恳恢芷诮?jīng)歷了2π弧度，所以角頻率與頻率及周期之間的關(guān)系為

(3-3)式中，T、f和ω三者的實(shí)質(zhì)是一樣的，都是反映正弦量變化快慢的量，只要知道其中之一，其余兩個皆可由上式求出。例如我國電力系統(tǒng)所用的工頻(50Hz)頻率，它的周期為

其角頻率為

我們在畫正弦交流電的波形時，既可用t作橫坐標(biāo)，也可用ωt作橫坐標(biāo)(如圖3-2所示)。圖3-2正弦波形

2.瞬時值、幅值(最大值)與有效值

正弦量在任一瞬時的值稱為瞬時值，用小寫字母來表示，如i、u及e分別表示電流、電壓及電動勢的瞬時值。正弦量的瞬時值中最大的值是幅值，或稱為最大值，用帶下標(biāo)m的大寫字母來表示，如Im、Um及Em分別表示電流、電壓及電動勢的幅值。有效值是用電流的熱效應(yīng)來定義的，即一個正弦電流i通過一個電阻時，在一個周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量，與一個直流電流I通過這個電阻時，在同樣的時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則這

個直流電流I的量值就叫做該正弦電流i的有效值，即

由此，可得出周期電流的有效值為

(3-4)當(dāng)周期電流為正弦量i=Imsin(ωt+ψ)時，則其有效值為

(3-5)對于正弦電壓和電動勢，也有類似的結(jié)論:

【例3-1】已知某人購得一臺耐壓300V的電器，是否可以用在220V的線路上？

解因?yàn)?20V交流電的最大值是

所以耐壓300V的電器，不能用在220V的線路上。

3.初相位和相位差

正弦量是隨時間的變化而變化的，所取的計時起點(diǎn)不同，正弦量的初始值(t=0時的值)就不同。式(3-1)中的ωt+ψ稱為正弦量的相位角，簡稱相位。它反映出正弦量變化的

進(jìn)程。兩個同頻率正弦交流電的相位之差，稱為相位差，用

表示。例如圖3-3所示兩個同頻率的交流電壓和電流，初相位不相等，可用以下瞬時表達(dá)式表示:

u和i的相位差為

(3-6)圖3-3

u和i初相位不相等

【例3-2】已知u=15sin(314t+45°)V，i=10sin(314t－30°)A，求：

(1)u與i的相位差是多少？

(2)在相位上誰超前、誰滯后？

解(1)

(2)因?yàn)樗栽谙辔簧蟯比i超前75°，或者說

i比u滯后75°。3.1.2正弦量的相量表示

設(shè)復(fù)平面中有一復(fù)數(shù)A，如圖3-4表示，它可用下列三種式子表示：

(3-7)

(3-8)

(3-9)圖3-4復(fù)數(shù)的表示為了區(qū)別于一般復(fù)數(shù)，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量，并在大寫字母上加“·”。例如，正弦電壓u=Umsin(ωt+ψu(yù))的相量式為

(3-10)

注意：相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。畫出的各正弦量的相量在復(fù)平面上的圖形稱為相量圖。在相量圖上能形象地看出各個正弦量的大小和相位關(guān)系。例如，在圖3-3中用正弦波表示的電壓u和電流i兩個正弦量，

用相量圖表示則如圖3-5所示，可以明確看出電壓相量與電流相量的相位關(guān)系，電壓相量比電流相量

超前角度，即正弦電壓u比正弦電流i超前角度。圖3-5相量圖

【例3-3】把下列正弦量用向量表示，并作相量圖。

u=311sin(314t+45°)V

i=7.07sin(314t－30°)A

解正弦電壓的有效值U=0.707×311=220V，初相ψu(yù)=45°，所以它的相量為

正弦電流的有效值I=0.707×7.07=5A,初相ψi=－30°，所以它的相量為

畫出的相量圖如圖3-6所示。圖3-6相量圖

3.2單一參數(shù)的正弦交流電路和

基爾霍夫定律的相量形式

3.2.1電阻元件的交流電路

1.電阻元件的電壓與電流關(guān)系

純電阻電路是最簡單的交流電路，如圖3-7所示。在日常生活中接觸到的白熾燈、電爐、電烙鐵等與交流電源組成的就是純電阻交流電路。圖3-7電阻元件當(dāng)u和i取關(guān)聯(lián)參考方向時，根據(jù)歐姆定律得出

u=Ri

(3-11)

電阻元件的參數(shù)R=u/i稱為電阻，它具有對電流起阻礙作用的物理性質(zhì)。

將式(3-11)兩邊乘以i，并進(jìn)行積分，則得

(3-12)設(shè)i=Imsin(ωt+ψi)，u=Umsin(ωt+ψu(yù))，則

由于R是常數(shù)，所以有Um=RIm，ψi=ψu(yù)，也就是說，在電阻元件的交流電路中，電流和電壓是同相位的，電壓的幅值(或有效值)與電流的幅值(或有效值)之比值，就是電阻值R，即

(3-13)正弦量可以用相量表示，寫出電壓相量和電流相量，可得相量表示的電壓與電流的關(guān)系，即

或

(3-14)

式(3-14)即歐姆定律的相量表示式。電壓與電流的相量圖如圖3-8所示。圖3-8電壓與電流的相量圖

2.電阻元件的功率關(guān)系

在任意瞬間，電壓瞬時值u與電流瞬時值i的乘積，稱為瞬時功率，用小寫字母p表示。

若設(shè)流過電阻的電流i=Imsinωt，其兩端的電壓

u=Umsinωt，則

(3-15)由(3-15)式可見，電阻元件的交流電路中，電阻上的功率是由兩部分組成的，第一部分是常數(shù)UI，第二部分是幅值為UI、并以2ω的角頻率隨時間變化的交變量UIcos2ωt。

p隨時間變化的波形如圖3-9所示。圖3-9電阻元件的瞬時功率瞬時功率隨時間不斷變化，一般實(shí)用意義不大。一個周期內(nèi)瞬時功率的平均值，稱為平均功率，用大寫字母P表示，單位是瓦特(W)。平均功率體現(xiàn)電路消耗電能的平均

速度。在電阻電路中，平均功率為

(3-16)

【例3-4】把一個100Ω的電阻元件接到電壓為

的電源上，求其電流有效值及平均功率。若保持電壓不變，而電源頻率改為5000Hz，其電流有效值及平均功率又為多少？

解因?yàn)殡娮枧c頻率無關(guān)，所以電壓有效值不變時，電流有效值保持不變，則3.2.2電感元件的交流電路

1.電感元件的電壓和電流關(guān)系

如圖3-10是一個線性電感元件，它是線圈的理想化模型。電壓和電流的參考方向如圖中所示，符合右手螺旋定則。當(dāng)電流i流過線圈時，在每匝線圈中將產(chǎn)生磁通Φ，它

通過每匝線圈。如果線圈匝數(shù)為N，則電感元件的參數(shù)為

(3-17)圖3-10電感元件當(dāng)電感元件中磁通Φ或電流i發(fā)生變化時，在規(guī)定參考方向下，電感元件中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

(3-18)

根據(jù)基爾霍夫定律，對圖3-10可寫出

u+eL=0

或

(3-19)將式(3-19)兩邊乘以i，并進(jìn)行積分，則得

(3-20)在圖3-10中，設(shè)電流i為正弦量，i=Imsinωt，當(dāng)u和i取關(guān)聯(lián)參考方向時，則由式(3-19)可得電感元件兩端的電壓為

(3-21)

可以看出，流過電感的電流與電感兩端的電壓是同頻

率的正弦量，在相位上電流比電壓滯后90°。波形如圖3-11所示。圖3-11電感元件的交流電路電壓、電流及功率波形幅值(或有效值)的關(guān)系為

(3-22)

式(3-22)表示電感元件的交流電路中，電壓的幅值(或有效值)與電流的幅值(或有效值)之比為ωL，它的單位還是歐姆(Ω)。當(dāng)電壓U一定時，ωL越大，則電流I越小，可見它有對電流起抵抗作用的物理性質(zhì)，所以稱為感抗，用XL表示，即

XL=ωL=2πfL(3-23)感抗XL與電感L、頻率f成正比。電感對高頻電流的抵抗作用很大，而對直流電流XL=0，可視做短路。

如果用相量表示電壓和電流的關(guān)系，則為

或

(3-24)

式(3-24)表示電壓的有效值等于電流的有效值與感抗的乘積，而在相位上電壓超前電流90°。電壓和電流的相量圖如圖3-12所示。圖3-12電感上的電壓與電流相量圖

2.電感元件的功率關(guān)系

電感元件交流電路的瞬時功率p為

(3-25)電感元件的交流電路中，平均功率結(jié)果表明電感元件是不消耗能量的，在電源與電感元件之間只發(fā)生能量的交換。當(dāng)di/dt>0時，電感把電能轉(zhuǎn)換為磁場能存儲下來；當(dāng)di/dt<0時，電感把磁場能轉(zhuǎn)換為電能釋放出去。為了衡量這種能量互換的規(guī)模，引入無功功率，用大寫字母Q來表示，單位為乏(var)或千乏(kvar)，規(guī)定無功功率等于瞬時功率的幅值，即

(3-26)

【例3-5】如圖3-10所示電感元件的交流電路。

電感L=0.1H，求電感電流I。若電壓值不變，頻率改為5000Hz，電流I將變?yōu)槎嗌伲?/p>

解當(dāng)ω=314rad/s時

XL=ωL=314×0.1=31.4Ω

當(dāng)f=5000Hz時3.2.3電容元件的交流電路

1.電容元件的電壓與電流關(guān)系

如圖3-13是一個線性電容元件。電壓和電流的參考方向如圖中所示。其參數(shù)

(3-27)

稱為電容，其單位是法拉(F)。由于法拉的單位太大，工程上常采用微法(μF)和皮法(pF)，它們之間的換算關(guān)系為

1F=106μF=1012pF圖3-13電容元件當(dāng)電容元件上電荷量q或電壓u發(fā)生變化時，若電壓與電流的參考方向相同，則在電路中產(chǎn)生的電流為

(3-28)

若參考方向相反，則式(3-28)要加一負(fù)號。

將式(3-28)兩邊乘以u，并進(jìn)行積分，則得

(3-29)在圖3-13中，設(shè)電容兩端所加正弦電壓u=Umsinωt，則由式(3-28)可得

(3-30)

可以看出，流過電容的電流與電容兩端所加電壓是同

頻率的正弦量，在相位上電流比電壓超前90°，波形如圖3-14所示。圖3-14電容元件的交流電路電壓、電流及功率波形式(3-30)中，

(3-31)

上式表示電容元件的交流電路中,電壓的幅值(或有效值)與電流的幅值(或有效值)之比為1/(ωC)，其單位還是歐姆(Ω)。當(dāng)電壓U一定時，1/(ωC)越大，則電流I越小，可見它有對電流起抵抗作用的物理性質(zhì)，所以稱為容抗，用XC表示，即

(3-32)如用相量表示電壓和電流的關(guān)系，則為

或

(3-33)

式(3-33)表示電壓的有效值等于電流的有效值與容抗的乘積，而在相位上電壓滯后電流90°。電壓和電流的相量圖如圖3-15所示。圖3-15電容的電壓與電流相量圖

2.電容元件的功率關(guān)系

對于圖3-13的電容元件的交流電路，其瞬時功率p為

(3-34)電容元件的交流電路中，平均功率為了同電感元件的無功功率相比較，也以電流為參考量，設(shè)i=Imsinωt，則電容元件的電壓為

u=Umsin(ωt－90°)

則瞬時功率為

p=ui=UmImsinωtsin(ωt－90°)=－UIsin2ωt

由此可見，電容元件的無功功率為

Q=－UI=－XLI2

(3-35)

從比較可以看出，電容性無功功率取負(fù)值，而電感性無功功率取正值，以示區(qū)別。

【例3-6】如圖3-13所示電容元件的交流電路。

電容C=25μF，求電容電流I。若電壓值不變，頻率改為5000Hz，電流I將變?yōu)槎嗌伲?/p>

解當(dāng)ω=314rad/s時當(dāng)f=5000Hz時

可見，當(dāng)電壓有效值一定時，頻率越高，通過電容的電流就越大，說明電容對高頻電流的阻力很小，容易使電流高頻分量通過，利用這一特性可實(shí)現(xiàn)濾波功能。3.2.4基爾霍夫定律的相量形式

在正弦交流電路中，各支路電流都是同頻率的正弦量。這些正弦電流用其相量表示，得到KCL的相量形式為

(3-36)

正弦交流電路中KCL的相量形式可表述如下：在正弦交流電路中，對任一節(jié)點(diǎn)，流入該節(jié)點(diǎn)的各支路電流相量的代數(shù)和恒為零。在正弦交流電路中，各電壓都是同頻率的正弦量。這些正弦電壓用其相量表示，得到KVL的相量形式為

(3-37)

正弦交流電路中KVL的相量形式可表述如下：在正弦交流電路中，沿任一回路各段電壓相量的代數(shù)和恒為零。

3.3阻抗與導(dǎo)納

3.3.1阻抗與導(dǎo)納的概念

我們把正弦交流電路中電壓相量與電流相量之比定義為阻抗，記為Z，即

(3-38)

這樣我們就可以把三種元件電壓、電流的相量關(guān)系用一種形式表述，即

(3-39)阻抗的倒數(shù)定義為導(dǎo)納，記為Y，即

(3-40)

或

(3-41)

該式也常稱為歐姆定律的相量形式。導(dǎo)納的單位是西門子(S)。引入阻抗與導(dǎo)納的概念后，三種基本元件的阻抗與導(dǎo)納分別是可以看出，電容和電感的阻抗與導(dǎo)納均為虛數(shù)，它們的阻抗可表示為Z=jX，X稱為電抗。

對電容來說,

(3-42)

XC稱為電容的電抗，簡稱容抗。

對電感來說，

XL=ωL(3-43)

XL稱為電感的電抗，簡稱感抗。電容或電感的導(dǎo)納可表示為Y=jB，B稱為電納。

對電容來說，

BC=ωC

(3-44)

BC稱為電容的電納，簡稱容納。

對電感來說，

(3-45)

BL稱為電感的電納，簡稱感納。在圖3-16所示的一般情況下，任意元件的正弦交流電路中，由則有

(3-46)

(3-47)圖3-16任意元件的交流電路將阻抗Z和導(dǎo)納Y可以用極坐標(biāo)表示為可見，阻抗Z和導(dǎo)納Y都是一般的復(fù)數(shù)，也可以表示為代數(shù)形式:

阻抗也可用圖3-17表示，于是有圖3-17阻抗的表示對于單個的純電阻、純電感、純電容元件，其實(shí)都是這種一般正弦交流電路中的特例，比如:

對于純電阻電路，Z=R，|Z|=R，jZ=0；

對于純電感電路，Z=jXL，|Z|=XL，jZ=90°；

對于純電容電路，Z=－jXC，|Z|=XC，jZ=－90°。3.3.2阻抗與導(dǎo)納的串聯(lián)和并聯(lián)

1.阻抗的串聯(lián)

圖3-18(a)是阻抗串聯(lián)的電路，所有阻抗通過同一電流相量圖3-18阻抗的串聯(lián)根據(jù)基爾霍夫電壓定律的相量形式可寫出:

(3-48)

串聯(lián)的阻抗可用一個等效阻抗Z來代替，如圖3-18(b)所示。根據(jù)歐姆定律的相量形式可寫出：

(3-49)比較式(3-48)和式(3-49)，可得

(3-50)

阻抗串聯(lián)時對總電壓也有分壓作用，對任一阻抗的端電壓相量有

即

(3-51)

2.導(dǎo)納的并聯(lián)

圖3-19是導(dǎo)納并聯(lián)的電路，所有導(dǎo)納都有相同的電壓相量根據(jù)基爾霍夫電流定律的相量形式可寫出:

(3-52)圖3-19導(dǎo)納的并聯(lián)并聯(lián)導(dǎo)納也可以用一個等效導(dǎo)納來代替，如圖3-19(b)所示。根據(jù)歐姆定律的相量形式可寫出:

(3-53)

比較式(3-52)和式(3-53)，可得

(3-54)導(dǎo)納并聯(lián)電路的分流公式為

即

(3-55)

【例3-7】在圖3-20(a)中，已知阻抗Z1=5.16+j8Ω，阻抗Z2=3.5－j3Ω，電壓

并作相量圖。圖3-20例3-7圖

解將圖3-20(a)等效為圖3-20(b)，則

電流與電壓的相量圖如圖3-21所示。圖3-21電流與電壓的相量圖

【例3-8】在圖3-22(a)中,已知導(dǎo)納Y1=0.12－j0.16S，Y2=0.08+j0.06S，電壓

并作相量圖。圖3-22例3-8圖

解將圖3-22(a)等效為圖3-22(b)，則

電壓與電流的相量圖如圖3-23所示。圖3-23電壓與電流的相量圖3.4

RLC串并聯(lián)交流電路

3.4.1

RLC串聯(lián)交流電路

RLC串聯(lián)交流電路如圖3-24(a)所示。當(dāng)電路兩端加上正弦交流電壓u時，電路中各個元件流過同一電流i。設(shè)電流在各個元件上產(chǎn)生的電壓分別為uR、uL和uC，電流與各個電壓的參考方向如圖中所示，則根據(jù)KVL可列寫出:

u=uR+uL+uC

如用相量形式表示，可將圖3-24(a)畫成圖3-24(b)，將圖3-24(b)稱為RLC串聯(lián)交流電路的相量模型。圖

3-24

RLC串聯(lián)的交流電路根據(jù)基爾霍夫電壓定律的相量形式及歐姆定律的相量形式可列出:

(3-56)

將式(3-56)改寫為

(3-57)式(3-57)是RLC串聯(lián)電路的阻抗。阻抗的模，簡稱阻抗模，即

(3-58)

體現(xiàn)電壓、電流的大小關(guān)系，即

(3-59)阻抗的輻角，簡稱阻抗角，即

(3-60)

體現(xiàn)電壓與電流之間的相位差。

用相量圖描述電流與各電壓的關(guān)系，如圖3-25所示。圖中設(shè)初相為零。圖3-25電流與電壓的相量圖對于RLC串聯(lián)電路，流過電阻、電感、電容三元件的電流相同，因此可以繪制出電壓、阻抗三角形，如圖3-26所示，它們都是直角三角形。圖3-26電壓、阻抗三角形

【例3-9】在RLC串聯(lián)交流電路中,已知U=20V,R=6Ω,XL=18Ω，XC=10Ω，試求電流I、UR、UC、UL，并作出相量圖。

解設(shè)電路的阻抗為

所以各元件上的電壓為

相量圖如圖3-27所示，則圖3-27例3-9的相量圖

【例3-10】有一RL電路，如圖3-28所示，當(dāng)輸入直流電壓為9V時，I=1.5A，當(dāng)輸入f=50Hz、U=12V的交流電壓時，I=1.2A。求：(1)電感L為多少？(2)若頻率增加一倍，電壓有效值不變，則I為多少？圖3-28例3-10圖

解

(1)當(dāng)輸入直流電壓時，電感可視做短路，則

當(dāng)輸入f=50Hz、U=12V的交流電壓時，可求得電路的阻抗模為因?yàn)?/p>

所以

則

(2)當(dāng)頻率增加一倍，電壓有效值不變時，阻抗模為

所以此時電流有效值I為3.4.2

RLC并聯(lián)交流電路

RLC并聯(lián)交流電路如圖3-29(a)所示。電路中各元件具有相同的端電壓。電壓與各個電流的參考方向如圖中所示。由導(dǎo)納的概念可將圖3-29(a)畫成圖3-29(b)，將圖3-29(b)稱為RLC并聯(lián)交流電路的相量模型。圖3-29

RLC并聯(lián)的交流電路根據(jù)基爾霍夫電流定律的相量形式及歐姆定律的相量形式可列出

(3-61)

將式(3-61)改寫為

(3-62)式(3-62)是RLC并聯(lián)交流電路的導(dǎo)納。導(dǎo)納的模，簡稱導(dǎo)納模，即

(3-63)

體現(xiàn)電壓、電流的大小關(guān)系，即

(3-64)導(dǎo)納的輻角，簡稱導(dǎo)納角，即

(3-65)

體現(xiàn)電壓與電流之間的相位差。

用相量圖描述電壓與各電流的關(guān)系，如圖3-30所示。圖中設(shè)初相為零。圖3-30

RLC并聯(lián)交流電路的相量圖

3.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

3.5.1正弦穩(wěn)態(tài)電路的電壓、電流分析

運(yùn)用相量對復(fù)雜正弦穩(wěn)態(tài)電路進(jìn)行分析，首先應(yīng)作出正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型，然后運(yùn)用在電阻電路分析中所用的方法，如支路法、節(jié)點(diǎn)法、戴維南定理等進(jìn)行分析。不同的是，在運(yùn)用這些方法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，方法中的電壓、電流均要用其相量表示，電阻用阻抗表示，電導(dǎo)用導(dǎo)納表示，我們將這樣的方法稱為相量分析法。

【例3-11】在圖3-31所示的電路中，已知

Z1=(1+j)Ω，Z2=(1+j)Ω，Z3=(2+j2)Ω。試用支路電流法求電流圖3-31例3-11圖

解列支路電流法的相量表示方程:

將已知數(shù)據(jù)代入方程，即

解得

【例3-12】應(yīng)用戴維南定理計算例3-11中的電流圖3-32例3-12所示電路的等效電路

解圖3-31所示電路可等效為圖3-32所示電路。等效電源可由圖3-33(a)所示電路求得

等效阻抗Z0可由圖3-33(b)所示電路求得圖3-33計算等效電源和等效阻抗的電路由圖3-32可得

【例3-13】列寫圖3-34所示電路的節(jié)點(diǎn)法方程。圖3-34例3-13圖

解選取獨(dú)立節(jié)點(diǎn)及參考節(jié)點(diǎn)如圖示，列節(jié)點(diǎn)法方程：3.5.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

前面我們已經(jīng)介紹了功率的概念，對正弦穩(wěn)態(tài)電路來講，無論是阻抗串聯(lián)還是導(dǎo)納并聯(lián)，都可以等效為一個等效阻抗Z(導(dǎo)納是阻抗的倒數(shù))的形式。而等效阻抗Z總是由實(shí)部與虛部組成的，即

(3-66)

阻抗角j表示電路的端電壓u與總電流i的相位差，阻抗模|Z|=U/I。有功功率的計算公式為

(3-67)

其中，cosj叫做功率因數(shù)(無量綱)，功率因數(shù)越大(即阻抗角越小)，有功功率也越大。

需要指出的是，有功功率P總是等于電路中所有電阻消耗的功率之和，因此，可以通過計算電路中電阻消耗的功率來計算電路的有功功率。無功功率的計算公式為

(3-68)

如果X>0，即j>0，則Q>0，表明電路呈感性；如果X<0，即j<0，則Q<0，表明電路呈容性。工程上將交流電路的端電壓U與總電流I的乘積叫做視在功率，用大寫字母S表示，單位是伏安(VA)，即

(3-69)

有功功率P、無功功率Q和視在功率S之間滿足功率三角形，即

(3-70)

【例3-14】在圖3-35所示電路中，已知U=100V，電阻R=12Ω，感抗XL=4Ω，容抗XC=8Ω。求電路的有功功率P、無功功率Q和視在功率S。圖3-35例3-14圖

解電路的等效導(dǎo)納Y為所以3.5.3功率因數(shù)的提高

1.提高功率因數(shù)的意義

在電力系統(tǒng)中，負(fù)載多為感性負(fù)載，如異步電動機(jī)等，它們在工作時，除了從電源取用有功功率外，還要與電源進(jìn)行無功交換。在交流電路中，負(fù)載從電源取用的有功功率為

P=UIcosj，只有在電路的端電壓U與總電流I同相時(電路呈電阻性或?yàn)殡娮柝?fù)載)，其功率因數(shù)為1，對其他負(fù)載，功率因數(shù)不等于1，介于0與1之間。

2.提高功率因數(shù)的方法

提高含電感性負(fù)載電路的功率因數(shù)的目的是減少負(fù)載與電源之間的能量交換，而電感性負(fù)載又能獲得所需的無功功率。常用方法就是與電感性負(fù)載并聯(lián)適當(dāng)容量的電容器。其

電路圖和相量圖如圖3-36所示。圖3-36電感性負(fù)載功率因數(shù)的提高

【例3-15】有一電感性負(fù)載，其功率P=60W，功率因數(shù)cosj=0.5，接在電壓U=220V的工頻電源上。(1)要將功率因數(shù)提高到cosj=0.9，試求與負(fù)載并聯(lián)電容器的電容值和并聯(lián)前后的線路電流；(2)若要將功率因數(shù)從0.9再提高到1，試求并聯(lián)電容器的電容值還需增加多少。

解由圖3-36的相量圖可得計算并聯(lián)電容器電容值的公式：

又因所以

則可得

(3-71)

(1)cosj1=0.5，即j1=60°；cosj=0.9，即j1=25.8°，則所需電容值為電容器并聯(lián)前的線路電流為

電容器并聯(lián)后的線路電流為

(2)若要將功率因數(shù)從0.9再提高到1，需增加的電容值為

3.6諧振電路

在含有電感和電容元件的交流電路中，當(dāng)電源滿足某一特定頻率時，會出現(xiàn)電路兩端的電壓u與通過此電路的總電流i同相的情況，這種現(xiàn)象稱為諧振。3.6.1串聯(lián)諧振電路

1.諧振頻率

當(dāng)RLC串聯(lián)交流電路發(fā)生諧振時，感抗與容抗相等，即XL=XC，設(shè)諧振角頻率為ω0，則于是諧振角頻率為

(3-72)

由于ω0=2πf0，所以諧振頻率為

(3-73)由此可見，諧振頻率f0只由電路中的電感L和電容C決定，是電路的固有參數(shù)。通常將諧振頻率f0叫做固有頻率。可見使電路發(fā)生諧振可用以下兩種方法：

(1)當(dāng)外加信號源頻率f一定時，可通過調(diào)節(jié)電路參數(shù)L、C來實(shí)現(xiàn)。

(2)當(dāng)電路參數(shù)L、C一定時，可通過調(diào)節(jié)信號源頻率f來實(shí)現(xiàn)。

2.諧振特征

串聯(lián)諧振電路具有下列特征：

(1)串聯(lián)諧振時，電路的阻抗最小且為純電阻性質(zhì)。

當(dāng)外加電壓u的頻率f=f0時，電路發(fā)生諧振，由于XL=XC，此時電路的阻抗達(dá)到最小值，稱為諧振阻抗Z0或諧振電阻R0，即

(3-74)

(2)電流的有效值將達(dá)到最大，且與外加電壓同相。

諧振時，由于電路中的阻抗最小，則電路中的諧振電流I0達(dá)到了最大值。

(3-75)

此時，

(3)串聯(lián)諧振時，電感電壓與電容電壓有效值相等，且等于外加電壓的Q倍，即

(3-76)

(3-77)

是電路電壓的Q倍，相位相反。RLC串聯(lián)諧振時的電壓相量圖如圖3-37所示。圖3-37串聯(lián)諧振時的電壓相量圖式(3-76)和式(3-77)中的Q是UL或UC與電源電壓U的比值，

即

(3-78)

(4)串聯(lián)諧振時，只有R消耗電能，電容和電感之間僅存在周期性的電場能量與磁場能量的互換。

3.諧振特性曲線

RLC串聯(lián)電路中，總電流

(3-79)

由式(3-79)得到的電流I隨頻率f變化的曲線，叫做諧振特性曲線，如圖3-38所示。當(dāng)外加電壓u的頻率f=f0時，電路處于諧振狀態(tài)；當(dāng)f≠f0時，電路處于失諧狀態(tài)。若f<f0，則XL<XC，電路呈容性；若f>f0，則XL>XC，電路呈感性。圖3-38諧振特性曲線在實(shí)際應(yīng)用中，規(guī)定把電流I值等于0.707I0時所對應(yīng)頻率的上下限之間的寬度稱為通頻帶寬度，即

(3-80)

【例3-16】在RLC串聯(lián)諧振電路中，已知U=20mV，L=4mH，C=1000pF，R=8Ω。試求電路的f0、I0、Q、UC0和UL0。

解諧振頻率

端口電流品質(zhì)因數(shù)

電感和電容的電壓*3.6.2并聯(lián)諧振電路

實(shí)際應(yīng)用中，常以電感線圈和電容器并聯(lián)作為并聯(lián)諧振電路?？紤]到電感線圈的損耗，可用RL串聯(lián)電路來等效；電容器的損耗很小，可略去不計，用C來等效，這樣就得到如

圖3-39所示的電路。圖3-39并聯(lián)諧振電路

1.諧振頻率

電路的導(dǎo)納為

(3-81)當(dāng)滿足條件時，電路發(fā)生諧振，則諧振角頻率為

(3-82)

或

(3-83)由此可見，電路的諧振頻率f0完全由電路的參數(shù)來決定，只有當(dāng)即時，f0才為實(shí)數(shù)，電路才有諧振頻率，電路才能通過調(diào)節(jié)信號源頻率達(dá)到諧振，反之，即時，f0為虛數(shù)，電路不可能發(fā)生諧振。在R≈0時，并聯(lián)諧振的近似條件為

(3-84)其諧振角頻率為

(3-85)

其諧振頻率為

(3-86)

2.諧振特征

并聯(lián)諧振電路具有下列特征：

(1)電路的阻抗接近最大，為純電阻性質(zhì)。由式(3-81)的虛部為零和式(3-82)的諧振角頻率可知，并聯(lián)諧振時的電路的阻抗為

(3-87)

(2)總電流的有效值接近最小，且與外加電壓同相。

諧振時，由于電路中的阻抗最大，則電路中的總電流I0達(dá)到了最小值。

(3-88)

(3)電容的支路電流IC0與電感的支路電流IL0近似相等，且等于總電流的Q倍。因?yàn)?/p>

所以

(3-89)

RLC并聯(lián)諧振時的電流相量圖如圖3-40所示。圖3-40并聯(lián)諧振時的電流相量圖

3.諧振特性曲線

電流I與阻抗模|Z|隨頻率f變化的曲線如圖3-41所示。當(dāng)外加電壓u的頻率f=f0時，電路處于諧振狀態(tài)；當(dāng)f≠f0時，

電路處于失諧狀態(tài)。若f<f0，電路呈感性；若f>f0，則電路呈容性。圖3-41諧振特性曲線

3.7三相電路

3.7.1三相電路概述

1.三相電源的產(chǎn)生及特點(diǎn)

對稱三相正弦電壓通常都是由三相交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的。圖3-42(a)是三相交流發(fā)電機(jī)的示意圖，它的主要組成部分是定子和轉(zhuǎn)子。

圖3-42(b)中畫出了三相線圈和電動勢的參考方向，并設(shè)定電動勢的參考方向?yàn)橛删€圈的末端指向始端。圖3-42三相交流發(fā)電機(jī)用電壓源表示三相電壓，其設(shè)定的參考極性如圖3-42(c)所示：A、B、C端標(biāo)記為正極性，而X、Y、Z端標(biāo)記為負(fù)極性。每一個電壓源稱為一相，依次為A相、B相和C相，其電壓分別記為uA、uB、uC，并以uA為參考正弦量，則

(3-90)也可用相量表示:

(3-91)

如果用相量圖和正弦波形來表示，則如圖3-43所示。圖3-43表示三相電壓的相量圖和正弦波形顯然，三相對稱正弦電壓的瞬時值或相量之和為零，即

(3-92)

在三相電源中，各相電壓到達(dá)同一量值(例如正的最大值)的先后次序稱為三相電源的相序。三相電壓的相序?yàn)锳－B－C時，稱為正序。如果相序?yàn)镃－B－A(或A－C－B)，則稱為負(fù)序。無特別說明時，三相電源均認(rèn)為是正序?qū)ΨQ三相電源。

2.三相電源的連接

通常根據(jù)發(fā)電機(jī)三相線圈接法的不同，將對稱三相電源分為星形連接和三角形連接。

發(fā)電機(jī)三相繞組的接法通常是將三相線圈的三個末端連在一起，這一連接點(diǎn)稱為中性點(diǎn)或零點(diǎn)，用N表示。這種連接方法稱為星形連接，如圖3-44所示。從中性點(diǎn)引出的導(dǎo)

線稱為中性線或零線。從三個首端引出的三根導(dǎo)線A、B、C稱為相線或端線，也稱火線。圖3-44三相電源的星形連接當(dāng)發(fā)電機(jī)的繞組連成星形時，相電壓和線電壓顯然是不相等的。根據(jù)圖3-44上的參考方向，它們的關(guān)系是

(3-93)或用相量表示為

(3-94)圖3-45是相電壓和線電壓的相量圖。作相量圖時，先作出相電壓而后根據(jù)式(3-94)分別作出線電壓可見線電壓也是頻率相同、幅值相等、相位互差120°的三相對稱電壓，在相位上比相應(yīng)的相電壓超前30°。圖3-45發(fā)電機(jī)繞組星形連接時，相電壓和線電壓的相量圖如果將三相繞組的始末端順序相連，即X與B、Y與C、Z與A相接形成回路，再從各端點(diǎn)A、B、C依次引出端線。這種連接方法稱為三角形連接。如圖3-46所示，顯然這種連接方法中的線電壓等于相電壓，相電壓對稱時，線電壓也一定對稱。圖3-46三相電源的三角形連接

3.三相負(fù)載的連接

1)三相負(fù)載的星形連接

如果三相負(fù)載連接成星形，則稱為星形連接負(fù)載。如果各相負(fù)載是有極性的(例如各負(fù)載間存在著磁耦合)，則必須同三相電源一樣將各相末端(或各相始端)相連成中性點(diǎn)，否則將造成不對稱。如果各相負(fù)載沒有極性，則可以任意連接成星形。星形連接負(fù)載A′、B′、C′端向外接至三相電源的端線，而將負(fù)載中性點(diǎn)N′連接到三相電源的中線，如

圖3-47(a)所示，這種用四根導(dǎo)線把電源和負(fù)載連接起來的三相電路稱為三相四線制。如果去掉中性線，如圖3-47(b)所示，三相電路就稱為三相三線制電路。圖3-47三相四線制和三相三線制星形連接負(fù)載

2)三相負(fù)載的三角形連接

當(dāng)三相負(fù)載連接成三角形時則稱為三角形連接負(fù)載。如果各相負(fù)載是有極性的，則必須同三相電源一樣，按負(fù)載始、末端依次相連，如圖3-48所示。圖3-48三角形連接負(fù)載3.7.2三相電路的分析

三相負(fù)載的星形連接，可用圖3-49的三相電路表示。

每相負(fù)載的阻抗分別為ZA、ZB和ZC。當(dāng)三相負(fù)載ZA=ZB=ZC時稱為對稱三相負(fù)載。電壓和電流的參考方向都已在圖中

標(biāo)出。圖3-49負(fù)載星形連接的三相電路當(dāng)負(fù)載為星形連接時，顯然，相電流即線電流，即

(3-95)

對三相電路應(yīng)該一相一相計算。

設(shè)電源電壓為參考正弦量，則在圖3-49的電路中，電源相電壓即每相負(fù)載電壓。于是每相負(fù)載中的電流可分別求出，即

(3-96)式中，每相負(fù)載中的電流的有效值分別為

(3-97)

各相負(fù)載的電壓與電流之間的相位差分別為

(3-98)中性線中的電流可以按照圖3-49中所選定的參考方向，應(yīng)用基爾霍夫電流定律計算，故有

(3-99)

若是對稱三相電路，即

也就是阻抗模和相位角相等，即由式(3-97)和式(3-98)可見，因?yàn)楦飨嚯妷簩ΨQ，所以負(fù)載相電流也是對稱的，即

中性線中的電流為零，即

(3-100)

電壓和電流的相量圖如圖3-50所示。圖3-50對稱負(fù)載星形連接時電壓和電流的相量圖

【例3-17】有一星形連接的三相負(fù)載，每相的電阻R=6Ω，感抗XL=8Ω。電源電壓對稱，設(shè)

試求電流(參照圖3-49)。

解因?yàn)樨?fù)載對稱，只需計算一相即可。uA比uAB滯后30°，即

A相電流:

iA比uA滯后j角，即

所以因?yàn)殡娏鲗ΨQ，其他兩相的電流則為

中性線電流：因此對于負(fù)載星形連接的三相四線制電路，由于三相電流對稱，則中性線電流為零。可以把中性線省去，對電路無影響。

負(fù)載三角形連接的三相電路一般可用圖3-51所示的電路來表示。每相負(fù)載的阻抗模分別為[JB(|]ZAB[JB)|]、[JB(|]ZBC[JB)|]、[JB(|]ZCA[JB)|]。電壓和電流的參考方向都已在圖中標(biāo)出。圖3-51負(fù)載三角形連接的三相電路因?yàn)楦飨嘭?fù)載都直接接在電源的線電壓上，所以負(fù)載的相電壓與電源的線電壓相等。因此，不論負(fù)載對稱與否，其相電壓總是對稱的，即

(3-101)

在負(fù)載三角形連接時，相電流和線電流是不一樣的。各相負(fù)載的相電流的有效值分別為

(3-102)

各相負(fù)載的電壓與電流之間的相位差分別為

(3-103)負(fù)載的線電流可應(yīng)用基爾霍夫電流定律列出下列各式進(jìn)行計算:

(3-104)若三相負(fù)載對稱，

則負(fù)載的相電流也是對稱的，即至于負(fù)載對稱時線電流和相電流的關(guān)系，則根據(jù)式

(3-104)做出相量圖，如圖3-52所示。顯然，線電流也是對

稱的，在相位上比相應(yīng)的相電流滯后30°。圖3-52對稱負(fù)載三角形連接時電壓和電流的相量圖線電流和相電流在大小上的關(guān)系，也很容易從相量圖中得出，即

(3-105)

三相電動機(jī)的繞組可以接成星形，也可以接成三角形，而照明負(fù)載一般都接成星形(具有中性線)。

【例3-18】如圖3-51所示，對稱負(fù)載接成三角形，接入線電壓為380V的三相電源，若每相阻抗Z=6+j8Ω，求負(fù)載各相電流及各線電流。

解設(shè)線電壓為則負(fù)載各相電流為由線電流與相電流之間的關(guān)系，負(fù)載各線電流為3.7.3三相電路的功率

不論負(fù)載是星形連接或是三角形連接，總的有功功率必定等于各相有功功率之和。當(dāng)負(fù)載對稱時，每相的有功功率是相等的。因此三相總功率為

(3-106)

式中，j是每一相相電壓與相電流之間的相位差。當(dāng)對稱負(fù)載是星形連接時，

當(dāng)對稱負(fù)載是三角形連接時

當(dāng)負(fù)載對稱時，不論是星形連接還是三角形連接，都可得到

(3-107)應(yīng)注意，上式中的j仍為每一相相電壓與相電流之間的相位差。

式(3-106)和式(3-107)都是用來計算三相有功功率的，但通常多應(yīng)用式(3-107)，因?yàn)榫€電壓和線電流的數(shù)值是容易測量出來的。

同理，可得出三相無功功率和視在功率：

(3-108)

(3-109)對于三相四線制的星形連接電路，無論對稱或不對稱，一般可用三只功率表進(jìn)行測量。如圖3-53所示，功率表W1的電流線圈流過的電流是A相的相電流iA，電壓線圈上的電壓是A相的相電壓uA，因此功率表W1指示的數(shù)字正好是A相的有功功率PA。同樣地，功率表W2、W3的讀數(shù)代表了B相和C相負(fù)載吸收的功率PB和PC。因此，將三只功率表的讀數(shù)相加，就得到了三相負(fù)載吸收的有功功率，故

P=PA+PB+PC(3-110)圖3-53三功率表法對于三相三線制的電路，無論它是否對稱，則可用兩只功率表測量，如圖3-54所示。通常把這種測量方法稱為雙功率表法。兩個功率表的電流線圈分別串入任意兩相的端線中(圖示為A、B相)，電壓線圈接到本相端線與第三條端線(圖中是C相)之間，這時，兩個功率表的代數(shù)和等于要測量的三相電路的有功功率，即

P=P1+P2(3-111)圖3-54雙功率表法

【例3-19】有一三相電動機(jī)，每相的等效電阻

R=29Ω，等效感抗XL=21.8Ω，試求下列兩種情況下電動

機(jī)的相電流、線電流以及從電源輸入的功率，并比較所得

的結(jié)果。

(1)繞組連成星形接于Ul=380V的三相電源上；

(2)繞組連成三角形接于Ul=220V的三相電源上。

解

(1)

(2)*3.7.4不對稱三相電路

如圖3-55所示的電路中，由于負(fù)載不對稱，則相量

即N′點(diǎn)和N點(diǎn)電位不同了，稱為中性點(diǎn)位移。由于沒有中性線，使負(fù)載的相電壓

就不對稱。當(dāng)負(fù)載的相電壓不對稱時，勢必引起有的相的

電壓過高，高于負(fù)載的額定電壓；有的相的電壓過低，低于負(fù)載的額定電壓。這都是不允許的。三相負(fù)載的相電壓必須對稱。圖3-55負(fù)載不對稱而無中性線的不對稱三相電路當(dāng)負(fù)載不對稱且中性線存在時，由于線(相)電流的不對稱，中性線的電流一般不為零，即

(3-112)

照明線路中必須采用三相四線制，同時中性線連接應(yīng)可靠并具有一定的機(jī)械強(qiáng)度，且規(guī)定中性線上不安裝熔斷器(俗稱保險絲)或開關(guān)。*3.8非正弦周期電流電路

3.8.1非正弦周期信號及其分解

在討論了正弦交流電路之后，在工程中還會遇到許多非正弦的周期信號。例如，電子示波器中的鋸齒波，電子技術(shù)領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的尖脈沖、矩形波等。圖