《電路分析簡明教程》課件第3章

3.1正弦電流與電壓3.2正弦量的相量表示3.3電路定律的相量形式3.4阻抗與導(dǎo)納3.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率3.7互感耦合電路3.8變壓器3.9三相電路3.10應(yīng)用實例習(xí)題3第3章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析3.1正弦電流與電壓

3.1.1正弦量的三要素

按正弦或余弦規(guī)律隨時間作周期變化的電壓、電流稱為正弦電壓、電流，統(tǒng)稱為正弦量(或正弦交流電)。正弦量可以用正弦函數(shù)表示，也可用余弦函數(shù)表示。正弦電壓、電流的大小和方向是隨時間變化的，其在任意時刻的值稱為瞬時值，表示為(3.1-1)式中Um(Im)、ω、φu(φi)是正弦量的三要素。

Um(Im)稱為正弦電壓u(電流i)的振幅，它是正弦電壓(電流)在整個變化過程中所能達到的最大值，如圖3.1-1所示。圖3.1-1正弦電壓與電流

(ωt+φu)、(ωt+φi)，反映了正弦量變化的進程，稱為相位角或相位，單位為弧度(rad)或度(°)。

ω是相位角隨時間變化的速率，即(3.1-2)φu(φi):正弦量的初相位。t=0時的相位φ稱初相位,簡稱初相;通常在-π≤φ≤π主值內(nèi)取值。初相φu(φi)反映了正弦量的計時起點。稱為角頻率，單位是rad/s，它反映了正弦量變化的速率。ω與周期T的關(guān)系是(3.1-3)或

頻率的單位:赫(或“赫茲”)(Hz)。我國電力系統(tǒng)的正弦交流電,頻率為50Hz,周期為0.02s。周期T的單位:秒(s)。振幅、初相、角頻率稱為正弦量的三要素。已知它們即可確定正弦量。

同一個正弦量,計時起點不同,初相位不同。如圖3.1-2所示,圖中3個不同的虛線縱坐標代表的初相不同。圖3.1-2初相角3.1.2相位差

任意兩個同頻率正弦量的相位角之差稱為相位差，它是區(qū)別同頻率正弦量的重要標志之一。例如，設(shè)相同頻率的電壓和電流(3.1-4)二者相角之差(用θ表示)為

θ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2(3.1-5)

可見，對于兩個同頻率的正弦量來說，其相位差在任何瞬時都是常數(shù)，并等于初相位之差，而與時間t無關(guān)。相位差θ的值也取主值范圍，單位為弧度或度。如果θ=φ1-φ2>0，如圖3.1-3(a)所示，稱電壓u(t)超前電流i(t)，其相位差為θ；或者說，電流i落后于電壓u(t)θ度(或弧度)。若θ=φu-φi<0,如圖3.1-3(b)所示,稱電壓u(t)落后電流i(t)θ角,或i(t)超前后u(t)θ角。圖3.1-3相位差圖3.1-4同相、正交與反相3.2.3有效值

周期電壓、電流的瞬時值是隨時間變化的。為了簡單地衡量其大小，常采用有效值。當一交流電和直流電分別通過兩個相等的電阻時,如圖3.1-5所示,若在交流電的一個周期T內(nèi),兩個電阻消耗的能量相等,則稱該直流電的數(shù)值為交流電的有效值。圖3.1-5交流電和直流電分別作用相同電阻R周期為T的正弦交流電i通過上述電阻R,如圖3.15(a)所示,在一個周期內(nèi)消耗的能量為直流電流I通過電阻R,如圖3.1-5(b)所示,在一段時間T內(nèi)電阻消耗的能量為由上述有效值概念可得故得交流電流i(t)的有效值上式表明,周期量的有效值等于瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值的平方根,因此有效值又稱方均根值。同樣地,交流電壓u(t)的有效值正弦交流電的有效值的推導(dǎo):對于正弦交流電,將正弦電流得上式積分中的第一項等于1/T；因積分區(qū)間為一個周期,故第二項積分為零,于是得正弦電流i的有效值同樣,正弦電壓u的有效值

可見,對于正弦量,其最大值(Um或Im)與有效值之間有確定關(guān)系,因此,有效值可以代替最大值作為正弦量的要素之一。引入有效值后,正弦電壓、電流可寫為注意區(qū)分瞬時值、振幅值、有效值的符號:u、i、Um、Im、U、I。通常所說的正弦交流電的大小都是指有效值。如民用交流電壓220V、工業(yè)用電電壓380V。交流測量儀表所指示的讀數(shù)、電氣設(shè)備的額定值等都是指有效值。但絕緣水平、耐壓值指的是振幅(即最大值)。

3.2正弦量的相量表示

3.2.1復(fù)數(shù)及其運算1.復(fù)數(shù)的表示“復(fù)數(shù)”,顧名思義,可以理解為“復(fù)合之數(shù)”,即由一個實數(shù)和一個虛數(shù)復(fù)合而成。設(shè)一個復(fù)數(shù)A,其實數(shù)部分為a,虛數(shù)部分為b,則該復(fù)數(shù)可以表示為A=a+jb(3.2-1)這為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。式(3.21)中,j=-1稱為虛數(shù)單位,與數(shù)學(xué)中的i同義。由于電路中常用i代表電流,所以電路中的虛數(shù)單位就用j表示。a表示該復(fù)數(shù)的實部,記為a=Re[A];b表示該復(fù)數(shù)的虛部,記為b=Im[A]。復(fù)數(shù)也可以表示為指數(shù)形式為了書寫方便,工程上也寫為式中｜A｜稱為復(fù)數(shù)的模,θ稱為輻角。利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)A的代數(shù)形式與指數(shù)形式之間的關(guān)系為將復(fù)數(shù)A畫在復(fù)平面上,如圖3.2-1所示。由圖可以直觀地得到式(3.2-4)和式(3.2-5)的關(guān)系。復(fù)數(shù)也可以看做是坐標原點指向A的矢量,矢量的長度為復(fù)數(shù)A的模值｜A｜,矢量的輻角θ為自正實軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)到該矢量的角度,并常常略去橫、縱坐標,如圖3.2-2所示。2.復(fù)數(shù)的運算已知有兩個復(fù)數(shù)下面介紹它們的運算規(guī)則。1)相等設(shè)兩個復(fù)數(shù)A1=a1+jb1,A2=a2+jb2,則當且僅當a1=a2,b1=b2

或者A1=A2

,θ1=θ2

時,兩個復(fù)數(shù)才相等,即A1=A2。2)加減運算兩復(fù)數(shù)相加(減)等于實部加(減)實部、虛部加(減)虛部。若A1=a1+jb1,A2=a2+jb2,則A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(3.2-7)其矢量圖如圖3.2-3所示。圖3.2-3復(fù)數(shù)的加減運算3)乘除運算復(fù)數(shù)的乘(除)運算用指數(shù)形式比較方便。兩復(fù)數(shù)相乘(除),等于其模與模相乘(除),輻角與輻角相加(減),即4)共軛復(fù)數(shù)兩個實部等值同號、虛部等值異號的復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),A共軛復(fù)數(shù)用表示。例如,若則其共軛復(fù)數(shù)5)幾種常用關(guān)系3.2.2正弦量的相量表示1.相量的引入已知兩個正弦量分析:無論是波形圖逐點相加,如圖3.2-4所示,或用三角函數(shù)做都很繁。為了尋求相對簡潔的計算方法,現(xiàn)在將這兩個正弦量的參數(shù)進行類比,如下:由以上類比可知,同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量,所以,只要確定初相和有效值(或振幅)就行了。于是想到復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)也包含一個模和一個幅角,因此,我們可以把正弦量與復(fù)數(shù)對應(yīng)起來,以復(fù)數(shù)計算來代替正弦量的計算,使計算變得較簡單。下面分析如何建立復(fù)數(shù)和正弦量的對應(yīng)關(guān)系。2.正弦量與相量根據(jù)歐拉公式,正弦電流寫為這樣,一個余弦時間函數(shù)(它是實函數(shù))可以用一個復(fù)指數(shù)函數(shù)表示,式中復(fù)常數(shù)的模是正弦電流的振幅Im,輻角是正弦電流的初相角φi,我們稱其為電流i的振幅相量。為了將相量(它也是復(fù)數(shù))與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別,所以在Im上加“·”由圖3.2-4和式(3.2-11)可以發(fā)現(xiàn),其角頻率ω不變,故不同的交流電流只在有效值和初相上存在差別。這就意味著在分析和計算過程中可以暫時地隱去ω,用一個只含有有效值和初相的表達式來表示正弦量,因此可以用振幅相量來表示正弦量。正弦交流電所對應(yīng)的振幅相量記為的模是正弦電流的振幅Im,輻角是正弦電流的初相角φi,我們稱其為電流i的振幅相量。Um

的模是正弦電壓的振幅Um,輻角是正弦電壓的初相角φu

,我們稱其為電壓u的振幅相量。同樣,正弦交流電所對應(yīng)的有效值相量記為的模是正弦電流的有效值I,輻角是正弦電流的初相角φi,我們稱其為電流i的有效值相量。的模是正弦電壓的有效值U,輻角是正弦電壓的初相角φu,我們稱其為電壓u的有效值相量。由式(3.2-14)和式(3.2-15)得出,振幅相量和有效值相量的關(guān)系如下:相量和復(fù)數(shù)一樣,它可以在復(fù)平面上用矢量表示,如圖3.25(a)所示。有時為了簡練、醒目,常省去坐標軸,如圖3.2-5(b)所示。圖3.2-5相量圖3.2.3正弦量的相量運算在電路分析中，常常遇到正弦量的加、減運算和微分、積分運算，如果用與正弦量相對應(yīng)的相量進行運算將比較簡單。

1.同頻率正弦量相加(減)運算可得其相量關(guān)系為：故同頻的正弦量相加減運算就變成對應(yīng)的相量相加減運算:這實際上是一種變換思想。所以同頻正弦量的加、減運算可借助相量圖進行,如圖3.2-6所示。相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用,尤其適用于定性分析。圖3.2-6例3.2-3圖2.同頻正弦量的微分、積分運算例3.2-4已知如圖3.2-7所示電路,端口電壓u(t)=Umcos(ωt+φu),

求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的穩(wěn)態(tài)解(微分方程的特解)i(t)。解

按圖3.2-7所示電路,列出其電路方程為根據(jù)同頻正弦量的相量運算關(guān)系,取相量,得根據(jù)其相量形式寫出對應(yīng)的時域解析形式(即瞬時解析式)3.3電路定律的相量形式基爾霍夫定律和各種元件的伏安關(guān)系是分析電路問題的基礎(chǔ)，為了用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，這里研究基爾霍夫定律和元件伏安關(guān)系的相量形式。3.3.1KCL和KVL的相量形式

KCL的時域形式為(3.3-1)如果各支路電流都是同頻率的正弦量，將它們都用相對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)相量表示，則上式可寫為由復(fù)數(shù)運算可得(3.3-2)式(3.3-2)稱為KCL的相量形式。它表明，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，對任一節(jié)點(或割集)，各支路電流相量的代數(shù)和等于零。同樣地，KVL的時域形式為(3.3-3)(4.3-4)如果各支路電壓均是同頻率的正弦量,將它們都用對應(yīng)的相量表示,則上式可寫為由復(fù)數(shù)運算可得式(3.3-4)稱為KVL的相量形式。它表明，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，對任一回路，各支路電壓相量的代數(shù)和等于零。由于振幅相量是有效值相量的倍，故有(3.3-5)3.3.2基本元件VAR的相量形式

一二端元件的端電壓u和電流i(u和i取關(guān)聯(lián)參考方向)分別為(3.3-6)式中、分別是電壓、電流的有效值相量。

1.電阻元件電阻元件R(見圖4.3-1(a))的伏安特性的時域形式，即歐姆定律為

u(t)=Ri(t)

t(3.3-7)

當正弦激勵時，有其波形如圖3.3-1(b)所示。根據(jù)復(fù)數(shù)運算關(guān)系得由附錄一式(F1-18)，可得(3.3-8)式(3.3-8)是電阻元件伏安關(guān)系的相量形式，根據(jù)它可畫出電阻元件的相量模型，如圖3.3-1(c)所示。圖3.3-1電阻元件

式(3.3-8)是復(fù)數(shù)方程，考慮到=U，=I

，上式可分解為(3.3-9)這表明，電阻端電壓有效值等于電阻R與電流有效值的乘積，而且電壓與電流同相。電阻元件的相量圖如圖3.3-1(d)所示。電阻元件瞬時功率:瞬時功率以2ω交變。但始終大于零,表明電阻始終是吸收(消耗)功率,其波形曲線如圖3.3-1(b)所示。

2.電感元件電感元件L(見圖4.3-2(a))的伏安特性的時域形式為(3.3-10)當正弦激勵時，有其波形如圖3.3-2(b)所示。根據(jù)復(fù)數(shù)運算關(guān)系得式(3.3-11)是電感元件伏安關(guān)系的相量形式,根據(jù)它可畫出電感元件的相量模型,如圖3.3-2(c)所示。圖3.3-2電感元件考慮到=U

，=I

，式(4.3-11)可寫為即有(3.3-12)

這表明，電感端電壓的有效值等于ωL與電流有效值的乘積，而且電流落后于電壓π/2。電感元件相量圖如圖3.3-2(d)所示。式(3.3-11)和(3.3-12)中的ωL具有電阻的量綱，稱其為電抗(感抗)，用XL表示，即

XL=ωL

(3.3-13)電抗的單位為Ω。感抗的物理意義:①表示限制電流的能力;UL

=XLI=ωLI。②感抗和頻率成正比如圖3.3-3所示。ω=0(直流),XL=0,短路;ω→

,XL→,開路。圖3.3-3感抗與頻率的關(guān)系

3.電容元件電容元件C(見圖3.3-3(a))的伏安關(guān)系的時域形式為(3.3-14)當正弦激勵時，有其波形如圖3.3-4(b)所示。根據(jù)復(fù)數(shù)運算關(guān)系得

式(3.3-15)是電容元件伏安關(guān)系的相量形式，其相量模型如圖3.3-4(c)所示。將和代入式(3.3-15)，得圖3.3-4電容元件

這表明，電容端電壓的有效值等于與電流有效值的乘積，而且電流超前于電壓。電容元件的相量圖如圖3.3-3(d)所示,即電容上的電流電壓正交。即有(3.3-16)

(3.3-16)中，也具有電阻的量綱，定義其為電抗(容抗)，用XC表示，即(3.3-17)容抗與頻率成反比,如圖3.3-5所示,ω→0,XC→

直流開路(隔直);ω→,XC→0高頻短路(旁路作用)。圖3.3-5容抗與頻率的關(guān)系最后,將R、L、C伏安關(guān)系的相量形式歸納成表3-1。表3-1R、L、C伏安關(guān)系的相量形式由上可見，KCL和KVL方程的相量形式、電路元件伏安關(guān)系的相量形式都是代數(shù)方程。這樣，在分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，各元件用相量模型表示，各激勵源用相量表示，就可得到原電路圖的相量模型。根據(jù)KCL、KVL以及元件的VAR就可列出電路方程，并用代數(shù)方法求得所需的電流、電壓。

例3.3-1

如圖3.3-6(a)所示的電路，已知i=2cos5t(A)，求電壓u。圖3.3-6例3.3-1圖解取電流i的相量(有效值相量)為令未知電壓相量為。由于ω=5rad/s，根據(jù)各元件值可得jωL=j5×2.4=j12(Ω)于是可畫出圖3.3-6(a)電路的相量模型，如圖3.3-6(b)所示。由圖3.3-6(b)可得各元件電壓分別為由KVL，得將電壓相量變換為對應(yīng)的瞬時解析形式,得

例3.3-2

如圖3.3-7(a)所示的電路，已知I1=4A，I2=3A，求總電流I。

圖3.3-7例3.3-2圖由于圖3.3-7(a)是并聯(lián)電路，我們假設(shè)電壓的初相為零，即令=U∠0°V。根據(jù)電阻和電容的伏安特性可知解根據(jù)KCL，得其相量圖如圖3.3-7(b)所示。于是得總電流

I=5A解法二:假設(shè)電壓

的初相為零,即令由于電阻上的電流電壓同頻同相,則得由于電容上的電流超前電壓90°,則得根據(jù)KCL,得根據(jù)以上畫其相量圖,如圖3.3-7(b)所示3.4阻抗與導(dǎo)納3.4.1阻抗

有一不含獨立源的一端口電路N，如圖4.4-1(a)所示。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，其端口電壓、電流將是同頻率的正弦量。設(shè)其端口電壓、電流(按關(guān)聯(lián)參考方向)分別為其所對應(yīng)的相量分別為(3.4-1)圖3.4-1阻抗

我們把有效值相量與之比定義為阻抗，用Z表示，即(3.4-2)

其模型如圖3.4-1(b)所示。顯然，它也是電壓與電流的振幅相量之比，即。阻抗的單位為Ω(歐姆)。阻抗Z是復(fù)數(shù)，但不是相量，因而不加“·”。式(3.4-2)可改寫為(3.4-3)它與電阻元件的伏安關(guān)系(歐姆定律)有相似的形式。阻抗是一個復(fù)數(shù)量，它可寫成代數(shù)型或指數(shù)型，即(3.4-4)式中R是阻抗的實部，稱為電阻；X是阻抗的虛部，稱為電抗；|Z|稱為阻抗的模；θz稱為阻抗角。它們之間的關(guān)系是(3.4-5)(3.4–6)以上關(guān)系可表示為阻抗三角形，如圖3.4-2所示。圖3.4-2阻抗三角形(3.4-7)考慮到式(3.4-1)，阻抗式中(3.4-8)即阻抗的模等于電壓與電流有效值(或振幅)之比,阻抗角等于電壓超前于電流的相位差或電流落后于電壓的相位差。

根據(jù)以上定義，單個元件R、L和C的阻抗ZR、ZL、ZC分別為(3.4-9)2.R、L、C的阻抗對于僅包含有R、L、C的電路，其阻抗角。當≤θz<0時，X<0，電流超前于電壓，電路呈電容性；當θz=0時，X=0，電流、電壓同相，電路呈電阻性；當0<θz≤時，X>0，電流落后于電壓，電路呈電感性。引入阻抗的概念后，多個阻抗相串聯(lián)的計算與電阻串聯(lián)的形式相同。圖3.4-4(a)所示為n個阻抗串聯(lián)，其等效阻抗(見圖(b))(3.4–10(a))各阻抗上的電壓為(3.4–10(b))圖3.4-3阻抗的串聯(lián)3.RLC串聯(lián)電路用相量法分析R、L、C串聯(lián)電路的阻抗。R、L、C串聯(lián)的時域電路圖如圖3.4-4(a)所示,根據(jù)正弦交流電與相量的對應(yīng)關(guān)系,將對應(yīng)的電壓、電流用相量表示,元件用阻抗表示,得到電路的相量模型,如圖3.4-4(b)所示。圖3.4-4RLC串聯(lián)電路根據(jù)圖3.4-4(b),由KVL的相量形式,得:所以,RLC串聯(lián)電路的阻抗為具體分析R、L、C串聯(lián)電路:選電流為參考相量,畫出其相量圖,如圖3.4-4(c)所示。組成的三角形稱為電壓三角形,它和阻抗三角形相似。即

例3.4-1已知如圖3.4-5(a)所示電路,R=15Ω,L=0.3mH,C=0.2μF,u=f=3×104Hz。求電壓uR、uL、uC和電流i。圖3.4-5RLC串聯(lián)電路解根據(jù)時域電路圖畫出對應(yīng)的相量模型,其相量模型3.4-5(b)所示,電壓u對應(yīng)的有效值相量為給定電源頻率f=3×104Hz,則ω=2πf=2π×3×104rad/s,計算出各元件對應(yīng)的阻抗,其分別為所以,其對應(yīng)的有效值相量分別為依據(jù)上面求出的有效值相量,寫出其對應(yīng)的瞬時解析式,分別為注:UL=8.42>U=5,在正弦穩(wěn)態(tài)電路中,分電壓可能大于總電壓。依據(jù)上面的有效值相量,畫出其相應(yīng)的相量圖,如圖3.4-6所示。圖3.4-6例3.4-1的相量圖3.4.2導(dǎo)納如一不含獨立源的一端口電路N，如圖3.4-7(a)所示。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，其端口電壓相量和電流相量如式(3.4–7(b))所示。圖3.4-7導(dǎo)納端口電流與電壓之比定義為導(dǎo)納，用Y表示，即(3.4-11)顯然,它也是電流與電壓的振幅相量的比值,即導(dǎo)納單位為S(西門子)。導(dǎo)納是復(fù)數(shù),但不是相量,因而不加“·”。式(3.4-11)也可寫為(3.4-12)這是導(dǎo)納的伏安關(guān)系的另一種形式。導(dǎo)納是一個復(fù)數(shù)量，它可寫成代數(shù)型或指數(shù)型，即(3.4-13)式中G是導(dǎo)納的實部，稱為電導(dǎo)；B是導(dǎo)納的虛部，稱為電納；|Y|稱為導(dǎo)納的模；θy稱為導(dǎo)納角。它們之間的關(guān)系是(3.4-14)(3.4-15)以上關(guān)系可以表示為導(dǎo)納三角形,如圖3.4-8所示。圖3.4-8導(dǎo)納三角形考慮到式(3.4-1)，導(dǎo)納式中(3.4-16)即導(dǎo)納的模等于電流與電壓有效值(或振幅)之比,導(dǎo)納角等于電流超前于電壓的相位差或電壓落后于電流的相位差。

根據(jù)以上定義，單個元件R、L和C的導(dǎo)納YG、YL和YC分別為(3.4-17)2.R、L、C的導(dǎo)納對于由n個導(dǎo)納并聯(lián)的計算與電導(dǎo)并聯(lián)形式相同。圖3.4-9(a)所示為n個導(dǎo)納相并聯(lián)，其等效導(dǎo)納(見圖3.4-9(b))(3.4-18)其各導(dǎo)納的電流(3.4-19)圖4.4-5導(dǎo)納的并聯(lián)3.RLC并聯(lián)電路用相量法分析R、L、C并聯(lián)電路的導(dǎo)納。R、L、C并聯(lián)的時域電路圖如圖3.4-10(a)所示,根據(jù)正弦交流電與相量的對應(yīng)關(guān)系,將對應(yīng)的電壓、電流用相量表示;元件用阻抗表示,得到電路的相量模型,如圖3.4-10(b)所示。圖3.4-10RLC并聯(lián)電路根據(jù)圖3.4-10(b),由KCL的相量形式,得:所以,RLC并聯(lián)電路的導(dǎo)納為具體分析一下R、L、C并聯(lián)電路:選電壓為參考相量,即畫出其相量圖,如圖3.4-10(c)所示。組成的三角形稱為電流三角形,它和導(dǎo)納三角形相似。即例3.42如圖3.411所示電路,已知IS=5A,理想電流表A1、A2的讀數(shù)分別為3A和8A,求電流表A3的讀數(shù)。圖3.4-11例3.4.2圖解根據(jù)前面推導(dǎo)的關(guān)系得故可解得I3=4A或12A。3.4.3阻抗與導(dǎo)納的關(guān)系

如前所述，一個無源一端口電路N(見圖3.4-7(a))，在正弦穩(wěn)態(tài)下，用相量分析計算時，可等效為阻抗或?qū)Ъ{，即(3.4-20)

顯然，對同一電路，阻抗或?qū)Ъ{互為倒數(shù)，即有(3.4-21)或

由式(3.4-20)可見，阻抗Z與導(dǎo)納Y的模和相位角的關(guān)系是(3.4-22)圖4.4-7阻抗與導(dǎo)納阻抗和導(dǎo)納可以等效互換，由式(4.4-20)可得(3.4-23)式中同樣地，式中例3.4-3已知如圖3.4-13所示,Z1

=10+j6.28Ω,Z2

=20-j31.9Ω,Z3

=15+j15.7Ω。求Zab。圖3.4-13例3.43圖解

由阻抗的串聯(lián)并聯(lián)可知3.4.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型電路分析計算的基本依據(jù)是KCL、KVL和元件端口電壓、電流的關(guān)系,即伏安關(guān)系(VAR)。對于線性電路,電阻電路與正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析比較:可見,二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型圖,便可將電阻電路的分析方法推廣應(yīng)用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析中。在分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時,若電流、電壓用相量表示,R、L、C元件用阻抗或?qū)Ъ{表示,即得到正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型,那么分析直流電路的網(wǎng)孔法、節(jié)點法、等效電源定理等都可用于分析電路的相量模型,差別僅在于所得電路方程為相量形式的代數(shù)方程以及用相量形式描述的電路定理,而計算則為復(fù)數(shù)運算。例3.4-4如圖3.4-14(a)所示電路,知:R1=100Ω,R2=10Ω,L=500mH,C=10μF,U=100V,φu=0°,ω=314rad/s,求各支路電流。圖3.4-14例3.4-4圖解依據(jù)時域電路圖3.4-14(a)畫出電路對應(yīng)的相量模型,如圖3.4-14(b)所示。R1

和C是并聯(lián)的,其等效阻抗為R2和L是串聯(lián)的,其等效阻抗為Z1與Z2是串聯(lián),故總的阻抗為則電路總電流由已知得,電壓電阻R1和電容C上的電流分別為瞬時值表達式為3.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法3.5.1方程分析法

例3.5-1如圖3.5-1(a)所示電路,列寫電路相量形式的回路電流方程和節(jié)點電壓方程。圖3.5-1例3.5-1圖解根據(jù)時域電路畫出對應(yīng)的相量模型,如圖3.5-1(b)所示?；芈冯娏鞣匠塘袑?依據(jù)回路法,選擇網(wǎng)孔作為基本回路并依次編號,確定各個回路的繞向,如圖3.5-1(b)所示?？闪谐龌芈冯娏鞣匠虨楣?jié)點電壓方程列寫:依據(jù)節(jié)點法,選擇a點作為參考節(jié)點,其他節(jié)點依次編號,如圖3.5-2所示?？闪谐龉?jié)點電壓方程為圖3.5-2節(jié)點法相量模型3.5.2等效分析法例3.5-3如圖3.5-3(a)所示電路,已知:圖3.5-3例3.5-2圖解法一利用電源的等效變換,將3.5-3(a)中電流源與阻抗的并聯(lián)等效為電壓源與阻抗的串聯(lián),如圖3.5-3(b)所示解法二利用等效電源定理,將圖3.5-3(a)中除阻抗Z以外的部分看作是一個一端口電路,如圖3.5-4(a)所示。求3.5-4(a)的戴維南等效電路。實際上就是求該一端口電路的端口伏安關(guān)系。戴維南開路電壓:戴維南等效阻抗:圖3.5-4例3.5-2圖根據(jù)以上求得的開路電壓和戴維南等效電阻Z0,于是得其戴維南等效電路,如圖3.5-4(b)所示。根據(jù)圖3.54(b)可得例3.5-3如圖3.5-5(a)所示電路,已知:50∠-30°Ω,Z1=Z3=50∠30°Ω,求電流圖3.5-5例3.5-3圖解解法一:單獨作用置零(即短路),所得電路如圖3.5-5(b)所示,依據(jù)并聯(lián)電路分流,得由疊加定理,得注:在正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法中,疊加定理僅僅適用于所有獨立源頻率相同的情況。如例3.5-3所描述的電路就是各獨立源頻率相同的電路。(如果頻率不同,則電感和電容的電抗和電納也不相同,其對應(yīng)的相量模型中電感和電容的參數(shù)也不相同。)整理上式,得例3.5-4已知如圖3.56所示電路,Z=10+j50Ω,Z1=400+j1000Ω。問:β等于多少時,相位差90°。解

根據(jù)圖3.5-6列寫端口的電流電壓方程整理上式,得圖3.5-6例3.54圖相位差90°,得410+10β=0,β=-41代入原方程得故電流領(lǐng)先電壓90°。

例3.5-5已知如圖3.5-7(a)所示電路,U1=55.4V,U2=80V,R1=32Ω,U=115V,f=50Hz.求線圈的電阻R2和電感L。解

這里僅已知電壓的有效值,而其相位未知。我們可以假設(shè)某一電壓初相為零。設(shè)依據(jù)題設(shè)和參考相量,畫該題所對應(yīng)的相量圖,如圖3.5-7(b)所示。在圖3.5-7(a)中,根據(jù)KVL,得在圖3.5-7(b)中,根據(jù)各個電壓的相位關(guān)系,得上方程組中兩式相減,得:解得:所以例3.5-6如圖3.5-8所示電路,IR=5A,IC=5A,電壓U=70.7V,并且同相,求R、XL和XC。解這里僅已知電壓、電流的有效值,而其相位未知。我們可以假設(shè)某一電壓(或電流)初相為零。設(shè)電阻電流的初相為零,則由于電容和電阻相并聯(lián),二者電壓是同一電壓,電阻端電壓與其電流同相,而電容電流超前于其電壓π/2,所以根據(jù)KCL,有另一方面,由KVL,有故得這是一個復(fù)數(shù)方程,按復(fù)數(shù)相等的定義可得于是,可得由于R和XC的端電壓相同,且IC=IR

,故XC=20Ω3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率3.6.1一端口電路的功率如圖3.6-1(a)所示無源一端口正弦穩(wěn)態(tài)電路N,在正弦穩(wěn)態(tài)情況下,其端口電壓、電流是同頻率的正弦量。設(shè)其端口電壓、電流(按關(guān)聯(lián)參考方向)分別為u(t)=2Ucos(ωt+φu)(3.6-1)式(3.6-2)中,θ=φu

-φi,是電壓U超前于電流i的相位差。如果一端口電路N不含有獨立源,則θ就是阻抗角。圖3.6-1瞬時功率在任一瞬間,一端口電路N吸收的功率由上式可見,瞬時功率有兩個分量:第一個為恒定分量;第二個為正弦分量,其頻率為電壓和電流頻率的2倍。圖3.6-1(b)畫出了電壓u、電流i和瞬時功率p的波形。p有時為正,有時為負,當p>0,時,電路吸收功率,p<0時,電路發(fā)出功率。瞬時功率也可以改寫為如果θ≤±π/2,則式(3.64)的第一項大于或等于零,電路N吸收功率。式(3.64)中第二項是角頻率為2ω的正弦量,它在一個周期內(nèi)正負交替變化兩次,這表明,電路N內(nèi)部與外部之間進行周期性的能量交換。式(3.6-4)中兩項所表示的功率如圖3.6-2所示。圖3.6-2式(3.6-4)所示瞬時功率3.6.2平均功率、無功功率和視在功率瞬時功率是時間的正弦函數(shù),使用不便,要簡明地反映正弦穩(wěn)態(tài)電路中能量消耗與交換的情況,常用以下幾種功率。1.平均功率(有功功率)P平均功率又稱為有功功率,是瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值,即式中T為電壓(或電流)的周期。對于正弦量而言,將式(3.6-3)代入上式,得由于是在一周期內(nèi)積分,故上式第二項積分為零,于是得平均功率可見,在正弦穩(wěn)態(tài)情況下,平均功率P不僅與電壓、電流的有效值(或振幅)有關(guān),而且與電壓和電流的相位差θ的余弦cosθ有關(guān)。平均功率(有功功率)的單位是W(瓦).cosθ稱為功率因數(shù),用λ表示,即λ=cosθ。θ=φu-φi:功率因數(shù)角。對無源網(wǎng)絡(luò),功率因數(shù)角為其等效阻抗的阻抗角θz。X>0,θ>0,電路為感性;X<0,θ<0,電路為容性。例如,已知cosθ=0.5(感性),則θ=60°(電壓超前電流60°)。可見,在正弦穩(wěn)態(tài)情況下,平均功率實際上是電阻消耗的功率,所以亦稱為有功功率。它不僅與電壓電流有效值有關(guān),而且與cosθ有關(guān)。2.無功功率Q無功功率它是式(3.6-4)中正弦量UIsinθsin2(ωt+φu)的最大值。無功功率反映了一端口電路N內(nèi)部與外部交換能量的最大值。它只是一個計算量,并不表示做功的情況,單位:var(乏)。

如果N中不含獨立源,θ就是阻抗角θz。Q的大小反映電路N與外電路交換功率的大小,實際上它由儲能元件L、C決定。下面分析R、L、C元件的有功功率和無功功率,如圖3.6-3所示。圖3.6-3R、L、C元件電阻R:對于電阻,u,i同相,故Q=0,即電阻只吸收(消耗)功率,不發(fā)出功率。電感L:對于電感,u超前i900,故PL=0,即電感不消耗功率。電容C:對于電容,i超前u90°,故PL

=0,即電容不消耗功率。3.視在功率S視在功率:即S等于電壓與電流有效值的乘積,其單位:V·A(伏安)。視在功率反映電氣設(shè)備的容量。由于發(fā)電機、變壓器等電器設(shè)備,其功率因數(shù)cosθ取決于負載情況,對應(yīng)的負載不同其傳輸?shù)挠泄β室矔煌?。例如某變壓器的容量?60kVA,如果負載是純電阻,則λ=cosθ=1,其傳輸?shù)挠泄β蕿?60kW;如果負載是感性的,如λ=cosθ=0.5,它傳輸?shù)挠泄β蕿?80kW。因此這類設(shè)備只能用視在功率S來衡量其容量。例3.6-1已知如圖3.6-4所示電路,電動機PD

=1000W,其功率因數(shù)cosθD

=0.8(感性),U=220V,f=50Hz,C=30mF。求負載電路的功率因數(shù)。圖3.6-4例3.6-1圖解:由平均功率P=UIcosθ,再根據(jù)題設(shè)條件,可得所以有功功率P=UIcosθ,單位是W;無功功率Q=UIsinθ,單位是var;視在功率S=UI,單位是V·A,于是可得(3.6-9)根據(jù)式(3.6-9),畫出功率三角形,如圖3.6-5所示。圖3.6-5功率三角形3.6.3復(fù)功率為了計算上的方便,引入復(fù)功率的概念,將有功功率P與無功功率Q組成一個復(fù)數(shù),稱為復(fù)功率。因為它既不同于相量又不同于阻抗(導(dǎo)納)類型的復(fù)數(shù),因此,復(fù)功率用表示。即(3.6-10)將式(3.6-6)和式(3.6-7)代入上式,并考慮到θ=φu-φi,可得在用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時,式(3.6-1)中的電壓u和式(3.6-2)中的電流i,其相量分別為因此電流相量的共軛為于是,一端口電路N的復(fù)功率可寫為可見,視在功率S是復(fù)功率的模,其輻角為θ(如電路N內(nèi)不含獨立源,則θ=θz);復(fù)功率的實部為有功功率P,其虛部為無功功率Q。功率與阻抗、導(dǎo)納的關(guān)系如下:例3.6-2已知如圖3.6-6所示電路,求各支路的復(fù)功率。圖3.6-6例3.6-2圖解法一:解法二:例3.6-3如圖3.6-7所示電路,已知U=100V,I=100mA,電路吸收的功率P=6W,XL1=1.25kΩ,XC

=0.76kΩ。電路呈感性,求r和XL

。圖3.6-7例3.6-3圖解由平均功率P=UIcosθ,再根據(jù)題設(shè)條件,可得由于電路呈感性,故θ=53.13°,則由于

例3.6-4如圖3.6-8所示電路,已知i(t)=102cos(103t+30°)mA,電路吸收的功率P=10W,功率因數(shù)為2/2,求電阻R和電壓u(t)解

根據(jù)已知,得I=100mA=0.1A,P=故又P=UIcosθ,故由于功率因數(shù)且電路是感性的,因此θ=45°故所以3.6.4最大功率傳輸條件

圖3.6-9(a)所示電路為含源一端口電路N向負載ZL傳輸功率。根據(jù)戴維南定理，圖3.6-9(a)電路可化簡為圖3.6-9(b)電路。圖3.6-9功率傳輸

設(shè)Z0=R0+jX0，ZL=RL+jXL，電路中的電流其模值(3.6-12)負載吸收的功率(3.6-13)

(1)當ZL=RL+jXL

可任意改變。(a)先討論RL

不變,僅XL改變時,P的極值。顯然,當X0+XL=0,即XL=-X0時,負載獲得功率最大,這時(3.6-14)

(b)再討論RL改變時,P的最大值.在XL=-X0的條件下,再調(diào)節(jié)RL,可將式(3.614)對RL求導(dǎo),并令其導(dǎo)數(shù)等于零,即當

RL=R0

(3.6-15)時負載獲得功率為最大，將式(3.6-15)代入式(3.6-14)，得(3.6-16)

綜合(a)、(b),可得負載上獲得最大功率的條件是:稱為共軛匹配或最大功率匹配,這時的功率可用式(3.6-16)表示。設(shè)電源內(nèi)阻抗式中，|Z0|為電源內(nèi)阻抗Z0的模，θ0為其輻角。設(shè)負載阻抗為

ZL=RL+jXL=|ZL|cosθL+j|ZL|sinθL

Z0=R0+jX0=│Z0│cosθ0+j│Z0│sinθ0(2)在有些情況下,負載阻抗的實部和虛部以相同的比例增大或減小。這實際上是阻抗角保持不變,而阻抗的模值在調(diào)節(jié)。

式中，|ZL|為負載阻抗的模，θL為其輻角。將Z0和ZL

代入式(4.5-16)，得負載吸收的功率為(3.6-19)如果θL保持不變，而調(diào)節(jié)ZL的模|ZL|，由式(3.6-19)可見，由于分子和分母中的第三項都不是|ZL|的函數(shù)，因而當分母中前兩項(即)為最小時，PL為最大。于是，由得|ZL|2=|Z0|2，即(3.6-20)時,負載ZL獲得功率最大,將式(3.6-20)代入式(3.6-20),得此時的功率為這種情況常稱為模匹配。顯然，如果負載為純電阻RL，那么負載獲得最大功率的條件為

在|ZL|=|Z0|的條件下，若θL也能調(diào)節(jié)，那么，由d/dθL=0可以求得當θL=-θ0時負載獲得功率為最大。這時的功率可表示為(3.6-18)

例3.5-3

如圖3.6-10(a)所示的電路，在下列情況下，如何選擇負載ZL才能使負載吸收功率為最大？并求此時的功率。

(1)負載由RL和XL串聯(lián)組成，即ZL=RL+jXL。

(2)負載為純電阻RL,即ZL=RL。圖3.6-10例3.6-5圖

解將圖(a)中除ZL以外的部分看做是一端口電路，如圖3.6-10(b)所示。按圖3.6-10(b)，電阻與電容相并聯(lián)的阻抗可求得開路電壓等效內(nèi)阻抗于是可畫出其戴維南等效電路，如圖3.6-10(c)所示。

Z0=ZRC+j5=4+j3=5∠36.90Ω

(1)如果ZL=RL+jXL，由式(3.6-16)和(3.6-17)得，當ZL=Z*0=4-j3=5∠-36.9°Ω時，負載吸收功率最大，此時

(2)如果負載為純電阻，即ZL=RL。由式(4.5-23)可知，當|ZL|=RL=|Z0|=5Ω時，負載吸收功率最大。這時電流它的模負載吸收功率=I

2RL=4.44W3.7互感耦合電路4.6.1耦合電感

如有兩個相互耦合的線圈，如圖3.7-1所示，設(shè)線圈1有N1匝，線圈2有N2匝。當線圈1通以電流i1時，在線圈1中產(chǎn)生自感磁通Φ11，在線圈密繞的情況下，Φ11與線圈的各匝都相交鏈，這時有Ψ11=N1Φ11=L1i1

圖4.6-1互感與自感

Ψ11稱為自感磁通鏈(自感磁鏈)，L1為線圈1的自感。線圈1產(chǎn)生的磁通Φ11的一部分Φ21(顯然，Φ21≤Φ11)將與線圈2相交鏈，有

Ψ21=N2Φ21=M21i1

(3.7-2)

Ψ21稱為互感磁鏈，M21是線圈1與線圈2的互感。同樣地，當線圈2通以電流i2時，在線圈2中將產(chǎn)生自感磁通Φ22，并有一部分磁通Φ12(顯然，Φ12≤Φ22)與線圈1相交鏈，于是線圈2的自感磁鏈Ψ22和線圈2對線圈1的互感磁鏈Ψ12分別為

Ψ22=N2Φ22=L2i2

(3.7-3)

Ψ12=N1Φ12=M12i2

(3.7-4)式中，L2為線圈2的自感；M12為線圈2與線圈1的互感?？梢宰C明，在線性條件下，有

M12=M21=M(3.7-5)為了定量描述兩個線圈耦合的緊疏程度，把兩個線圈的互感磁鏈與自感磁鏈比值的幾何平均值定義為耦合系數(shù)，用k表示，即(3.7-6)將式(3.7-1)~(3.7-5)代入上式，并考慮到M12=M21=M，可得耦合系數(shù)(3.7-7)

耦合系數(shù)k的大小與線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)。由于Φ21≤Φ11，Φ12≤Φ22，所以耦合系數(shù)0≤k≤1，M2≤L1L2。當k=0時，M=0，兩線圈互不影響；當k=1時,M^2=L1L2，稱為全耦合。3.7.2耦合電感的伏安關(guān)系

由以上分析可知，各線圈的總磁鏈包含自感磁鏈和互感磁鏈兩部分。對于圖4.6-2(a)所示的兩個線圈，其自感磁通與互感磁通方向一致，我們稱之為磁通相助。設(shè)線圈1和線圈2的總磁鏈分別為Ψ1和Ψ2，則有(3.7-8)

如各線圈的端口電壓與本線圈的電流方向相關(guān)聯(lián)，電流與磁通符合右手螺旋關(guān)系，則兩線圈的端口電壓分別為(3.7-9)圖3.7-2耦合電感的磁通

對于圖3.7-2(b)所示的兩個線圈，其自感磁通與互感磁通方向相反，稱磁通相消。在這種情況下，線圈1和線圈2的總磁鏈(3.7-10)兩線圈的端口電壓分別為(3.7-11)以上分析表明:當耦合電感線圈通以電流時,各線圈的總磁鏈是自感磁鏈與互感磁鏈的代數(shù)和;且耦合電感上的電壓等于自感電壓與互感電壓的代數(shù)和。在線圈電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)的條件下,當磁通相助時,互感電壓前取“+”;當磁通相消時,互感電壓前取“-”。磁通相消還是相助,除與線圈上電流的方向有關(guān)外,還與兩線圈的相對繞向有關(guān)。實際中,耦合線圈密封,且電路圖中不便畫出其繞向。為此,人們規(guī)定了一種稱為同名端的標志。根據(jù)同名端和電流的參考方向就可判定磁通相助還是相消。兩線圈的同名端是這樣規(guī)定的:當電流從兩線圈各自的某端子同時流入(或流出)時，若兩線圈產(chǎn)生的磁通相助，就稱這兩個端子為互感線圈的同名端，并標以記號“·”或“*”。如圖3.7-3(a)所示，若電流i1從a端流入，i2從c端流入，這時它們產(chǎn)生的磁通是相助的，稱端子a、c為同名端，并用黑點“·”標示。顯然，端子b、d也是同名端。對于圖3.7-3(b)，若電流i1從a端流入，i2從c端流入，這時產(chǎn)生的磁通是相消的，因而a與c是異名端，而端子a與d是同名端。顯然，端子b與c也是同名端。標定了同名端以后，圖3.7-3(a)和(b)的互感線圈可用圖3.7-3(c)和(d)的電路模型來表示。圖3.7-3耦合電感的同名端同理,如圖3.7-4(a)所示,若電流i1從a端流入,i2從c端流入,這時它們產(chǎn)生的磁通是相消的;故a、c為異名端,而a、d為同名端,用“●”標出。顯然,b、c也是同名端;b、d是異名端。標定了同名端以后,圖3.7-4(a)的互感線圈可用圖3.7-4(b)的電路模型表示。圖3.7-4耦合電感的同名端綜上所述,可得如下結(jié)論:在耦合電感的端口電壓和電流均取關(guān)聯(lián)參考方向的條件下,若電流均從同名端流入,如圖3.7-3(b)所示,則互感電壓與自感電壓極性相同,互感電壓取“+”號,即(3.7-12)若電流分別從異名端流入，如圖3.7-4(b)所示，則互感電壓與自感電壓極性相反，互感電壓取“-”號，即(3.7-13)例3.7-1圖3.7-5(a)和(b)所示為互感耦合電感的電路,寫出其互感的伏安關(guān)系。圖3.7-5例3.7-1圖解(a)(1)首先判斷端口的電壓、電流參考方向是否關(guān)聯(lián)。圖3.7-5(a)關(guān)聯(lián),故有(2)判斷電流是否同時流入同名端。圖3.7-5(a)是同時流入同名端,取“+”,即(b)(1)首先判斷端口的電壓、電流參考方向是否關(guān)聯(lián)。圖3.7-5(b)中L1上電壓、電流方向關(guān)聯(lián),而L2上電壓、電流方向非關(guān)聯(lián),在列式時要注意這點。(2)圖3.7-5(b)電流同時流入異名端,故取“-”,即耦合電感伏安關(guān)系總結(jié):如式(3.7-14)所示,若電壓、電流是關(guān)聯(lián)參考方向,則括號外面的符號取“+”,反之取“-”;若電流由同名端流入,則括號內(nèi)的符號取“+”,反之取“-”。1.串聯(lián)去耦等效電路3.7.3耦合電感的去耦等效

如圖3.7-6(a)和(b)所示為互相耦合的兩串聯(lián)電感的電路,其中圖3.7-6(a)電流均從同名端流入,稱為順接;圖3.7-6(b)電流i從異名端流入,稱為反接。下面求兩個電路的等效電感。首先規(guī)定各線圈電流、電壓的參考方向為關(guān)聯(lián)方向,如圖3.7-6所示。在圖3.7-6(a)中,對于L1和L2,電流均從同名端流入,根據(jù)KVL,有因此,在順接串聯(lián)時(如圖3.7-6(a)所示),其等效電感(如圖3.7-6(c)所示)為圖3.7-6耦合電感的串聯(lián)對于反接的圖3.7-6(b)所示的情況,電流從異名端流入L1和L2,根據(jù)KVL,有因此,在反接串聯(lián)時(如圖3.7-6(b)),其等效電感(如圖3.7-6(c))為2.T形去耦等效電路當兩個耦合電感的一端相連接時,如圖3.7-7(a)所示,可以用無耦合的電感電路來等效,下面來推導(dǎo)這個結(jié)論:圖3.7-7同名端相連耦合電感的去耦等效電路圖3.7-7(a)是同名端相連接的情形,其電路方程為式(3.7-17)也是圖3.7-7(b)的電路方程,因此圖(a)和圖(b)是等效電路。

圖3.7-8(a)是異名端相連接的情形,用同樣的方法可以推得其等效電路如圖3.7-8(b)所示。圖3.7-8異名端相連耦合電感的去耦等效電路

例3.72如圖3.7-9(a)和(c)中兩個耦合電感并聯(lián),求其ab端的等效電感。圖3.7-9例3.72圖

解

圖3.7-9(a)所示電路是同名端相連接的情形,按圖3.7-7(a)到(b)的去耦等效方法,可畫出其等效電路如圖3.7-9(b)所示。再由電感串并聯(lián)等效的方法,可得其等效電感圖3.7-9(c)所示電路是異名端相連接的情形,按圖3.7-8(a)到(b)的去耦等效方法,可畫出其等效電路如圖3.7-9(d)所示。再由電感串并聯(lián)等效的方法,可得其等效電感3.7.4互感耦合電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析

如果通過耦合線圈的電流i1和i2是同頻率的正弦電流，其相量分別為和，端口電壓相量分別為和(各端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向)，則耦合電感的相量模型如圖3.7-10(a)和(b)所示，其端口伏安關(guān)系為(3.7-21)

若、均從同名端流入(見圖4.6-10(a))，則互感電壓取“+”號；若、從異名端流入(見圖4.6-10(b))，則互感電壓取“-”號。式(4.6-19)中ωM稱為互感抗。如果耦合電感各有一端相連接，也可采用T形去耦等效電路進行分析。圖3.7-10耦合電感的相量模型

例3.7-3

如圖3.7-11所示的電路，已知R1=R2=10Ω，L1=50.5μH，L2=50μH,

M=0.5μH，C1=C2=50pF，Us=10V，ω=2×107rad/s，求和圖3.7-11例3.7-4圖解列回路KVL方程得根據(jù)耦合電感VAR,得式中各個電抗值為將以上各個值及R1、R2代入方程,并設(shè)得簡化后由以上兩式可解得分析互感耦合電路不能用節(jié)點法,除非采用去耦等效電路。如果相互耦合的兩個線圈是繞在非鐵磁材料上的,則常稱其為空心變壓器。圖3.7-12(a)是兩個相互耦合的電感,與電源相連的回路稱為初級回路(原邊回路),與負載相連的回路稱為次級回路(副邊回路)。為了簡便,如果初級線圈和電源有損耗電阻,我們把它統(tǒng)歸于圖3.7-12(a)的R1中,如有電抗元件也統(tǒng)歸于3.7-12(a)的L1或C1中,如果次級線圈有損耗電阻則統(tǒng)歸于R2中,現(xiàn)在我們把R2看做負載。圖3.7-12空心變壓器及其等效電路令初級回路電流為,次級回路電流為,如圖3.7-12(a)所示。根據(jù)KVL可列出如下方程整理得是回路2的自阻抗；式(3.7-22)中,是回路1的自阻抗；Z22=R2+jX2=Z12=Z21=-jωM是回路1與回路2的互阻抗。由式(3.7-22)可解得式(3.7-23(a))中Zf1稱為反映阻抗,它是次級回路自阻抗Z22通過互感反映到初級的等效阻抗,其實部Rf1稱為反映電阻,它是次級耗能元件的反映;其虛部Xf1稱為反映電抗,它是儲能元件的反映。按式(3.7-23(a)),可以畫出其電路模型如圖3.712(b)所示,稱為初級等效回路。用它分析初級回路的問題,常常比較方便。當已求得后,可以分別地由式(3.7-23(b))求得次級回路電流。按式(3.7-23(b)),可以畫出其電路模型如圖3.7-12(c)所示,稱為次級等效回路。由式(3.7-24)可見,Rf1恒為正值,這表示次級回路中的功率要依靠初級回路供給。由圖3.7-12(b)可得電源供給的功率為(3.7-26)它一部分消耗在初級電阻R1上,其余部分通過磁耦合傳輸?shù)匠跫壔芈?取式(3.7-23(b))模值的平方可得兩端同乘以R2,初級上消耗的功率P2為可見反映電阻Rf1上消耗的功率是參加回路中電阻所消耗的功率。例3.7-4如圖3.7-13所示電路的相量模型,已知R1=10Ω,R2=40Ω,L1=L2=1mH,M=20μH,C1=C2=1000pF,US=10V,ω=106rad/s,初相為0,求電流及R2上吸收的功率。圖3.7-13例3.7-4圖解

列回路KVL方程得根據(jù)耦合電感VAR,得代入即可解得R2上吸收的功率得例3.7-5如圖3.7-14所示電路的相量模型,已知US=4V,求理想電壓表的讀數(shù)。解

理想電壓表的內(nèi)阻為根據(jù)互感的VAR,有由KVL有在次級線圈,由互感的VAR,有由于電壓表的讀數(shù)是有效值,故取U2的模得圖3.7-14例3.7-5圖例3.7-6如圖3.7-15所示電路的相量模型,已知US=4V,求理想電流表的讀數(shù)。

解

理想電流表的內(nèi)阻為0,可知

=0,故列寫圖3.7-15網(wǎng)孔方程為:將式(2)移項得,代入式(1),得3.8變壓器

3.8.1全耦合變壓器

把兩個線圈繞在高導(dǎo)磁率鐵磁材料的芯子上，使兩線圈緊耦合，在理想情況下，初級線圈產(chǎn)生的磁通Φ11將全部與次級線圈相交鏈，即有Φ11=Φ21；次級線圈產(chǎn)生的磁通Φ22也將全部與次級線圈相交鏈，即有Φ22=Φ12，這時，由式(3.6-7)得(3.8-1)稱為全耦合。在全耦合的條件下，考慮到M12=M21=M，N1Φ11=L1i1，N1Φ12=Mi2，N2Φ21=Mi1，N2Φ22=L2i2，因此(3.8-2)故在全耦合條件下有

M2=L1L2

(3.8-3)

或

圖3.8-1(a)是k=1時的互感耦合電路，即全耦合變壓器。設(shè)其初級有N1

匝，次級有N2匝，其伏安關(guān)系可寫為(3.8-4)(3.8-5)圖3.8-1全耦合變壓器將以上兩式相比可得(3.8-6)即,全耦合變壓器的電壓之比等于匝數(shù)比。將式(3.8-4)寫為對上式從到t積分,并設(shè)i得式中:所以,全耦合變壓器電流之比不等于其匝數(shù)比。據(jù)此,可得到全耦合變壓器的電路模型,如圖3.8-1(b)所示。可見,它是由理想變壓器在其初級回路并聯(lián)電感L1構(gòu)成的。L1常稱為勵磁電感。圖3.8-1全耦合變壓器3.8.2理想變壓器

理想變壓器可看做是互感元件在滿足3個理想條件后產(chǎn)生的多端電路元件。其3個條件是:①全耦合,即k=1;②自感L1、L2和互感M→∞,且L1/L2為常數(shù);③變壓器本身無電、磁損耗,即線圈導(dǎo)線的電阻為零,鐵心能百分之百地導(dǎo)磁。因而理想變壓器的電路模型如圖3.8-2(a)和(b)所示。圖3.8-2理想變壓器若端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則同名端如圖3.8-2(a)所示的理想變壓器，其伏安特性為(3.8-7)對于異名端如圖3.8-2(b)所示的理想變壓器,其伏安特性為n=N1/N2稱為匝比(或變比)?？梢?理想變壓器是電壓、電流的線性變換器。它