《電路分析》課件第6章

第6章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

6.1相量法6.2電路基本定律的相量形式

6.3阻抗和導(dǎo)納及其連接方式

6.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析6.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

6.6三相電路6.7變壓器電路習(xí)題6【本章要點】本章首先介紹正弦量的三要素及其相量表示、KCL、KVL及元件VCR的相量形式，阻抗和導(dǎo)納的概念，正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解和功率的計算；然后介紹正弦三相電路電源和負(fù)載的連接及其計算；最后介紹耦合電感電路的分析及變壓器的概念。本章討論的是激勵和響應(yīng)都是同頻率正弦量的線性時不變電路。由電路理論可知，在同頻率正弦激勵作用下，線性電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，電路中所有的響應(yīng)都是同頻率正弦量。由于正弦穩(wěn)態(tài)電路的應(yīng)用范圍十分廣泛，因此，正弦穩(wěn)態(tài)電路分析是電路理論中的重要內(nèi)容。6.1相量法

1893年斯臺麥茲首先把復(fù)數(shù)理論應(yīng)用于電路，從而為分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)提供了最有力的工具。運用復(fù)數(shù)分析電路的方法稱為相量法。相量法是線性電路正弦穩(wěn)態(tài)分析的一種簡便而有效的方法，可以簡化正弦信號的代數(shù)運算和微積分運算。借用復(fù)數(shù)表示正弦信號可以使正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計算得到簡化。6.1.1復(fù)數(shù)一個復(fù)數(shù)有多種表示形式。復(fù)數(shù)A的代數(shù)形式為

A=a+jb式中：a為復(fù)數(shù)A的實部，a∈R;b為復(fù)數(shù)A的虛部，b∈R;為虛數(shù)單位。取復(fù)數(shù)A的實部和虛部分別用下列符號表示：即Re［A］是取方括號內(nèi)復(fù)數(shù)A的實部，Im［A］是取其虛部。在直角坐標(biāo)系中，以橫坐標(biāo)為實數(shù)數(shù)軸，縱坐標(biāo)為虛數(shù)數(shù)軸，這樣構(gòu)成的平面叫做復(fù)平面。一個復(fù)數(shù)A用對應(yīng)坐標(biāo)點的有向線段(向量)表示，如圖6－1所示。根據(jù)圖6－1可知，若復(fù)數(shù)A與橫軸正方向之間的夾角為θ，則復(fù)數(shù)A可以寫成三角形式：圖6－1復(fù)數(shù)的幾何表示式中：|A|為復(fù)數(shù)的模；θ為復(fù)數(shù)的輻角，θ可以用弧度或度表示。由圖6－1可知如下關(guān)系式：根據(jù)歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ可以把復(fù)數(shù)的三角形式改寫成指數(shù)形式，即A=|A|ejθ

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式還可以改寫成極坐標(biāo)形式，即A=|A|∠θ復(fù)數(shù)的加、減運算用代數(shù)形式進(jìn)行。設(shè)兩個復(fù)數(shù)分別為A1=a1+jb1，A2=a2+jb2,則

A1±A2=(a1+jb1)±(a2+jb2)

=(a1±a2)±j(b1±b2)即幾個復(fù)數(shù)相加或相減就是它們的實部和虛部分別相加或相減。復(fù)數(shù)的加、減運算也可用平行四邊形法則在復(fù)平面上以向量的相加和相減求得，如圖6－2示。圖6－2復(fù)數(shù)代數(shù)和的圖解法(a)相加；(b)相減復(fù)數(shù)的乘法運算既可采用代數(shù)形式，又可采用指數(shù)形式(或極坐標(biāo)形式)。兩個復(fù)數(shù)相乘，用代數(shù)形式可表示為

A1×A2=(a1+jb1)×(a2+jb2)

=(a1a2－b1b2)+j(a1b2+a2b1)復(fù)數(shù)相乘用指數(shù)形式比較方便，即可見，兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于這兩個復(fù)數(shù)的模的乘積，而其輻角等于這兩個復(fù)數(shù)輻角的和。復(fù)數(shù)的除法運算也有兩種方法，即代數(shù)形式和指數(shù)形式(或極坐標(biāo)形式)。兩個復(fù)數(shù)相除，用代數(shù)形式可表示為式中(a2－jb2)為A2的共軛復(fù)數(shù)。當(dāng)用指數(shù)形式(或極坐標(biāo)形式)進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運算時，有由上式可見，兩個復(fù)數(shù)商的模等于這兩個復(fù)數(shù)模的商,而其輻角等于這兩個復(fù)數(shù)輻角的差?？梢?，采用指數(shù)運算形式進(jìn)行除法運算更具優(yōu)越性。例6－1已知A1=4＋j3，A2=6－j8。求：

(1)A1+A2；

(2)A1－A2；

(3)A1·A2；

(4)A1/A2。解(1)A1+A2=(4+j3)+(6－j8)=10－j5=11.18∠－-26.6°

(2)A1－A2=(4+j3)－(6－j8)=－2+j11=11.18∠100.3°

(3)A1·A2=5∠36.9×10∠－53.1°=50∠－16.2°

(4)6.1.2正弦量電路中按正弦規(guī)律隨時間作周期變化的電壓、電流，統(tǒng)稱為正弦量。正弦量可用正弦函數(shù)表示，也可用余弦函數(shù)表示。本書用余弦函數(shù)表示正弦量。正弦量在任一瞬時的值稱為瞬時值，用i、u表示。設(shè)有正弦電流i，i的圖形如圖6－3所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(6－1)

圖6-3正弦交流電流同理，正弦電壓的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(6－2)式中的三個常數(shù)Im(Um)、和稱為正弦量的三要素。下面以正弦電流i為例，具體討論正弦量的三要素。

Im

稱為正弦量的振幅。它是正弦量在整個變化過程中所能達(dá)到的最大值，即時，有imax=Im是隨時間變化的角度，反映的是正弦量的變化進(jìn)程，稱為正弦量的相位或相角。ω稱為正弦量的角頻率，它是正弦量的相位隨時間變化的角速度，即角頻率的單位為rad/s。正弦量變化一周，瞬時相位變化2π弧度，于是得正弦量的角頻率ω、周期T和頻率f之間的關(guān)系為頻率f的單位為赫［茲］(Hz)。我國和大多數(shù)國家都采用50Hz作為電力標(biāo)準(zhǔn)頻率，有些國家(如美國、日本等)采用60Hz。工程中還常以頻率區(qū)分電路，如音頻電路、高頻電路、甚高頻電路等。

t=0時的瞬時相位，稱為正弦量的初相位(角)，簡稱初相。初相的單位用弧度或度表示，一般規(guī)定初相的絕對值在0～π之間，即。這里須說明，正弦量的初相與所選的時間起點有關(guān)。在工程中，常需要把正弦電流或電壓在一個周期內(nèi)產(chǎn)生的平均效應(yīng)換算為與之相等的直流電?？梢杂糜行е祦肀碚鬟@種效應(yīng)，用相對應(yīng)的大寫字母表示。有效值I定義如下：令正弦電流i和直流電流I分別通過阻值相等的電阻R，如果在相等的時間T內(nèi)，兩個電阻消耗的能量相等，即可得I為(6－3)由于，代入上式可得(6－4)同理可得正弦電壓的有效值與振幅的關(guān)系為(6-5)在電路中，任意兩個同頻率的正弦量之間的相位之差稱為相位差,用表示。相位差用來區(qū)別同頻率正弦量的相位關(guān)系。例如，設(shè)兩個同頻率的正弦電壓u、正弦電流i分別為它們的相位差用表示，則有由上式可知，同頻率正弦量的相位差等于它們的初相之差，是一個與時間無關(guān)的常數(shù)。當(dāng)=0時，表明，稱為電壓u與電流i同相位，簡稱同相。如圖6－4(a)所示，電壓u和電流i同時達(dá)到零點，同時達(dá)到最大值。當(dāng)＞0時，表明u＞i，稱為電壓u超前于電流i，或稱電流i滯后于電壓u,如圖6－4(b)所示。當(dāng)＜0時，表明u＜i，稱為電流i超前于電壓u，或稱電壓u滯后于電流i,如圖6－4(c)所示。當(dāng)=±π時，稱為電壓u和電流i相位相反，簡稱反相，如圖6－4(d)所示。當(dāng)=±π/2時，稱為電壓u和電流i正交，如圖6－4(e)所示。圖6－4兩同頻率正弦量的相位關(guān)系通過以上的討論可知，兩個同頻率的正弦量的計時起點(t=0)不同時，它們的相位和初始相位不同，但它們的相位差不變，即兩個同頻率的正弦量的相位差與計時起點無關(guān)。

例6－2

已知正弦交流電壓u=311cos(314t+30°)V，求電壓的有效值和頻率。

解根據(jù)式(6－5)可知電壓的有效值為

電壓的頻率為

例6－3在某電路中，電流為i=8cos(ωt+30°)A，u1=120cos(ωt－180°)V,u2=90sin(ωt+45°)V，求i與u1及i與u2的相位關(guān)系。

解

i與u1的相位差

取在－π與π之間，，i滯后于u1150°。先將u2化為余弦函數(shù)

i與u2的相位差

所以i

超前于u275°。6.1.3相量法基礎(chǔ)在線性電路中，如果激勵是正弦量，則電路中各支路的電壓和電流的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將是同頻正弦量。處于這種穩(wěn)定狀態(tài)的電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路，又可稱為正弦電路。在分析線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，經(jīng)常進(jìn)行正弦量的代數(shù)運算和微分、積分運算，利用三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行正弦量的這些運算比較麻煩。若利用復(fù)數(shù)表示正弦量，可以使正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計算得到簡化。下面，介紹相量的概念及如何將它用于正弦穩(wěn)態(tài)分析。如果復(fù)數(shù)A=|A|ejθ中的輻角，則A是一個復(fù)指數(shù)函數(shù)，根據(jù)歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ可展開為

顯然

所以正弦量可以用上述形式的復(fù)指數(shù)函數(shù)表示，使正弦量與其實部一一對應(yīng)起來。若以正弦電流為例，有

(6－6)由式(6－6)可以看出，復(fù)指數(shù)函數(shù)中的是以正弦量的有效值的模為模，以初相為輻角的一個復(fù)常數(shù)，這個復(fù)常數(shù)定義為正弦量的相量，記為,即(6－7)在大寫字母I上加小圓點來表示相量，不但可區(qū)分有效值的表示，而且也可以與一般的復(fù)數(shù)區(qū)分開來。同理，設(shè)正弦電壓則其相量為(6－8)在實際應(yīng)用中，只要已知正弦量就可以直接寫出它的相量。反之，當(dāng)已知相量寫出相對應(yīng)的正弦量時，必須給出正弦量的角頻率ω，因為相量沒有反映正弦量的頻率。例如，正弦量，它的有效值相量就是220∠45°，若已知角頻率ω=100rad/s的正弦量的有效值相量為10∠30°，則此正弦量為。相量是一個復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面上的圖形稱為相量圖，如圖6－5所示。圖6－5正弦量的相量圖這里須說明：只有正弦量才能用相量表示，相量不能表示非正弦量。只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上，不同頻率的正弦量不能畫在一個相量圖上，否則無法比較和計算。相量也可用正弦量的振幅與初相構(gòu)成的復(fù)數(shù)表示，即

例6－4

試寫出下列各式電流的相量，并畫出相量圖(如圖6－6所示)。

(1)；

(2)；

(3)。圖6－6例6－4的相量圖解(1)

(2)因為所以，

(3)因為所以，例6－5已知正弦量的角頻率為ω，相量表示如下：(1)(2)求各電壓相量所代表的電壓瞬時值表達(dá)式。解(1)因是振幅相量，所以

U1m=5V故

u1=5cos(ωt－30°)V

(2)因是有效值相量，所以

故

6.2電路基本定律的相量形式基爾霍夫定律和各種元件上的伏安關(guān)系是分析電路的基礎(chǔ)。為了使用相量分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，必須研究基爾霍夫定律和各種元件上伏安關(guān)系的相量形式。6.2.1基爾霍夫定律的相量形式

1．KCL的相量形式在第1章里介紹的KCL方程為∑i=0在正弦交流電路中，如果各項電流均為同頻率的正弦量,如圖6－7所示，則節(jié)點0的KCL表達(dá)式為i1+i2－i3－i4=0其中…。根據(jù)式(6－6)可得因?qū)λ衪上式成立，所以經(jīng)推導(dǎo)可得上式為圖6－7(a)所示回路的KCL的相量形式。與其對應(yīng)的相量形式的電路模型如圖6－7(b)所示。此結(jié)論推廣后，即為相量形式的KCL，對任一節(jié)點滿足(6－9)圖6－7

KCL的相量形式

2．KVL的相量形式時域內(nèi)的KVL為∑u=0在正弦交流電路中，此式各項為同頻率的正弦量。電路如圖6－8(a)所示，回路的電壓方程為u1+u2+u3－u4=0其中,…。經(jīng)與KCL相量形式類似的推導(dǎo)可得圖6-8KVL的相量形式上式為圖6－8(a)所示回路的KVL相量形式。與其對應(yīng)的電路相量模型如圖6－8(b)所示。同理可以推出相量形式的KVL，對任一回路滿足(6－10)式(6－10)表明正弦電壓用相量表示后，KVL仍然適用。6.2.2基本元件VAR的相量形式

1．電阻元件VAR的相量形式

設(shè)電阻元件中流過的電流為，其兩端的電壓為，如圖6－9(a)所示。圖6－9電阻元件電壓、電流瞬時值關(guān)系電阻元件的伏安關(guān)系為u=Ri

將電流和電壓代入上式可得(6－11)比較式(6－11)可得相量關(guān)系式(6－12)由式(6－12)可以看出：

(1)電阻元件電壓、電流大小關(guān)系為U=RI或Um=RIm

(2)電阻元件電壓、電流相位關(guān)系為即電壓與電流同相。電阻元件的電壓、電流波形如圖6－9(b)所示，其相量模型和電壓、電流的相量圖分別如圖6－10(a)、(b)所示。圖6－10電阻元件電壓、電流相量關(guān)系

2．電感元件VAR的相量形式

設(shè)電感元件中流過的電流為兩端的電壓為，其，如圖6-11(a)所示。圖6－11電感元件電壓、電流瞬時值關(guān)系電感元件的伏安關(guān)系為將電流和電壓代入上式可得(6－13)由式(6－13)可得由上式可得電感元件電壓、電流相量關(guān)系為(6－14)由式(6－14)可以看出：

(1)電感元件電壓、電流大小關(guān)系為U=ωLI或Um=ωLIm

(2)電感元件電壓、電流相位關(guān)系為

即電壓超前電流90°。

(3)電壓與電流的大小之比還可以表示為(6－15)式中，XL=ωL=2πfL所起的作用與電阻相同，具有電阻的量綱，稱為感抗，單位是Ω。由式(6－15)可見，感抗與ω和L成正比，即對于一定的電感，頻率越高，電感呈現(xiàn)的感抗越大，反之越小。因此，電感對低頻呈現(xiàn)的阻力小。直流相當(dāng)于頻率為零的交流，在這種情況下，電感呈現(xiàn)的阻力為零，可看成短路，這就是我們講的電感具有“通直隔交”的特性。有了感抗的概念后，式(6－14)還可表示為(6-16)電感元件的電壓、電流波形如圖6－11(b)所示，其相量模型和電壓、電流的相量圖分別如圖6－12(a)、(b)所示。圖6－12電感元件電壓、電流相量關(guān)系

例6－6如圖6－13(a)所示電路，設(shè)電壓，求電感電流i。圖6－13例6－6用圖

解首先，畫出相量模型(如圖6－13(b)所示)。感抗為XL=ωL=100×4=400Ω由電壓V可得由電感元件電壓、電流相量關(guān)系可得所以電流i為

3．電容元件VAR的相量形式設(shè)電容元件中流過的電流為，其兩端的電壓為，如圖6－14(a)所示。圖6－14電容元件電壓、電流瞬時值關(guān)系電感元件的伏安關(guān)系為將電流和電壓代入上式可得比較式(6－17)可得由上式可得電容元件電壓、電流相量關(guān)系為(6－18)由式(6－18)可以看出：

(1)電容元件電壓、電流大小關(guān)系為(2)電容元件電壓、電流相位關(guān)系為即電壓滯后電流90°。由式(6－18)可見，電壓與電流的大小之比還可以表示為(6－19)式中，所起的作用與電阻相同，具有電阻的量綱，稱為容抗，單位是Ω。由式(6－19)可見，容抗與ω和C成反比，即對于一定的電容，頻率越高，電容呈現(xiàn)的容抗越小，反之越大。因此，電容對高頻呈現(xiàn)的阻力小。直流相當(dāng)于頻率為零的交流，在這種情況下，電容呈現(xiàn)的阻力為無窮大，可看成開路，這就是我們講的電容具有“通交隔直”的特性。有了容抗的概念后，式(6－18)還可表示為(6－20)電壓、電流的相量圖分別如圖6－15(a)、(b)所示。圖6－15電容元件電壓、電流相量關(guān)系例6－7電路如圖6－16(a)所示，設(shè)電流，求電容電壓u。圖6－16例6－7用圖解首先，畫出相量模型(如圖6－16(b)所示)。容抗為由電壓可得由電容元件電壓、電流相量關(guān)系可得所以電壓u為6.3阻抗和導(dǎo)納及其連接方式為了方便分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，已經(jīng)引入相量的概念。若把我們已熟悉的電阻電路的分析方法引入到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中，需了解正弦穩(wěn)態(tài)電路的阻抗和導(dǎo)納的概念。6.3.1阻抗和導(dǎo)納圖6－17(a)所示為一個不含獨立電源的線性二端網(wǎng)絡(luò)，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，其端口電流和電壓均為同頻率的正弦量。應(yīng)用相量法，把端口的電壓相量和端口電流相量之比定義為該無源二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗Z，即(6－21)等效電路如圖6－17(b)所示，阻抗的單位為歐［姆］(Ω)。式(6－21)中，是阻抗Z的模，稱為阻抗模，即電壓有效值除以電流有效值，阻抗模的單位為歐［姆］(Ω)。是阻抗Z的輻角，稱為阻抗角，即電壓和電流的相位差。阻抗可用代數(shù)形式表示為

Z=R+jX(6－22)其實部R稱為阻抗的電阻分量，虛部X稱為阻抗的電抗分量，它們的單位都是歐［姆］(Ω)。由式(6－21)和式(6－22)可知如下關(guān)系式：二者關(guān)系可用一個三角形表示，如圖6－17(c)所示，此三角形稱為阻抗三角形。6－17無源二端網(wǎng)絡(luò)及其阻抗由阻抗的定義可知，如果該網(wǎng)絡(luò)是由單一元件R、L或C組成的，則對應(yīng)的阻抗分別為式中：XL稱為感抗;XC稱為容抗。把阻抗Z的倒數(shù)定義為導(dǎo)納，用Y表示，即(6－23)等效電路如圖6－18(b)所示，導(dǎo)納的單位為西［門子］(S)。|Y|是導(dǎo)納的模，稱為導(dǎo)納模，是導(dǎo)納的輻角，稱為導(dǎo)納角，其中導(dǎo)納Y的代數(shù)形式為Y=G+jB其實部G稱為導(dǎo)納的電導(dǎo)分量，虛部B稱為導(dǎo)納的電納分量，它們的單位都是西［門子］(S)。 由式(6－23)和式(6－24)可知如下(6－24)關(guān)系式：(6－24)二者關(guān)系可用一個三角形表示，如圖6－18(c)所示。圖6－18無源二端網(wǎng)絡(luò)及其導(dǎo)納由導(dǎo)納的定義可知，如果該網(wǎng)絡(luò)是由單一元件R、L或C組成的，則對應(yīng)的導(dǎo)納分別為式中:G稱為電導(dǎo)；BL稱為感納;BC稱為容納。對于不含獨立電源的線性二端網(wǎng)絡(luò)(如圖6－19(a)所示)，可以等效為一個阻抗(如圖6－19(b)所示)，也可以等效為一個導(dǎo)納(如圖6－19(c)所示)。阻抗和導(dǎo)納互為倒數(shù)關(guān)系，即(6－25)圖6－19阻抗與導(dǎo)納由式(6－25)可知，阻抗與導(dǎo)納的模和相位角的關(guān)系分別為若用代數(shù)形式表示，則(6－26)式中同理，將阻抗變換為導(dǎo)納時，有(6-27)式中由以上各式可知，一般情況下，阻抗中的電阻和導(dǎo)納中的電導(dǎo)、阻抗中的電抗和導(dǎo)納中的電納都不是互為倒數(shù)關(guān)系。6.3.2阻抗、導(dǎo)納的串聯(lián)和并聯(lián)引入阻抗和導(dǎo)納的概念后，阻抗和導(dǎo)納串、并聯(lián)電路的計算，在形式上與電阻的串、并聯(lián)電路相似，計算公式相同。下面以兩個阻抗和導(dǎo)納的串、并聯(lián)為例，給出相應(yīng)計算公式，此結(jié)論可以推廣到n個阻抗和導(dǎo)納的串、并聯(lián)的情況。

1．阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)如圖6－20(a)所示為兩個阻抗的串聯(lián)。設(shè)阻抗Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2，其等效阻抗為(6－28)分壓公式為(6－29)圖6－20(b)所示為兩個阻抗的并聯(lián)，其等效阻抗為(6－30)分流公式為(6－31)

2．導(dǎo)納的串聯(lián)和并聯(lián)圖6－21(a)所示為兩個導(dǎo)納的串聯(lián)。設(shè)導(dǎo)納Y1=G1+jB1，Y2=G2+jB2，其等效導(dǎo)納為(6－32)分壓公式為(6－31)圖6-21兩個導(dǎo)納的串、并聯(lián)圖6－21(b)所示為兩個導(dǎo)納的并聯(lián)，其等效導(dǎo)納為Y=Y1+Y2=G1+G2+j(B1+B2)(6-34)分流公式為(6-35)例6－8正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖6－22(a)所示。已知ω=2000rad/s，求電路的等效阻抗，并求出最簡等效電路。圖6－22例6－8用圖解由圖6－22(a)所示的元件參數(shù)可知感抗和容抗分別為由此可知兩條支路的阻抗分別為等效阻抗為可將電路等效為電阻與電感的串聯(lián)或電阻與電感的并聯(lián)，如圖6－22(b)、(c)所示。其中取阻抗的倒數(shù)，得所以

例6－9如圖6－23(a)所示為正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知R1=50Ω，R2=100Ω，C=0.1μF，L=1mH，ω=105rad/s,求a、b端的等效阻抗Za、b。圖6-23例6-9圖

解首先計算感抗與容抗，即設(shè)電感支路的阻抗為Z1，R2與C串聯(lián)支路的阻抗為Z2，即相量模型電路如圖6－23(b)所示。根據(jù)阻抗串、并聯(lián)關(guān)系得所以

例6－10

在圖6－20(a)中，已知兩個阻抗分別是Z1=j10Ω，Z2=10－j10Ω，電源電壓為，求電路中的總阻抗Z及電流、和。解首先寫出阻抗的極坐標(biāo)形式，即可用兩種方法求總電流解法1：兩個阻抗并聯(lián)的等效阻抗為所以電路總電流相量為解法2：電路的等效導(dǎo)納為所以電路總電流相量為因此，各支路電流相量分別為6.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，一般采用相量法對電路進(jìn)行分析。相量法的實質(zhì)是將正弦穩(wěn)態(tài)中的電壓和電流用相量表示，元件的參數(shù)用阻抗或?qū)Ъ{表示，即電路用相量模型表示。對于一般網(wǎng)絡(luò)，前面介紹的如網(wǎng)孔電流法、節(jié)點電壓法和電源等效法都適合分析電路的相量模型。

1．網(wǎng)孔電流法例6－11圖6－24所示為一正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型，列寫網(wǎng)孔方程。圖6-24網(wǎng)孔分析法示例

解由于非公共支路有一電流源，因此只需列兩個網(wǎng)孔方程：整理得2．節(jié)點電壓法

例6－12圖6－25所示為一正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型，列寫節(jié)點電壓方程。圖6－25節(jié)點電壓法示例解選節(jié)點電位、及參考點如圖6－25所示，則節(jié)點電壓方程為

3．等效電源定理例6－13圖6－26(a)所示為一正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型，求戴維寧相量模型。圖6－26戴維寧定理示例

解由圖6－26(a)可見，2Ω電阻和－j2Ω電容并聯(lián)，所以，首先可將圖6－26(a)化簡為圖6－27(a)。圖6－27圖6－26的化簡圖由圖6－27(a)可得所以求等效阻抗采用外加電壓法，其相量模型如圖6－26(b)所示，將圖中的電容與電阻的并聯(lián)化簡可得圖6－27(b)，由圖6－27(b)可得所以根據(jù)求得的和Z0可得戴維寧相量模型,如圖6－28所示。

圖6-28戴維南相量模型6.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率在正弦穩(wěn)態(tài)下，正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率和能量如何計算，這是我們關(guān)心的問題。本節(jié)主要討論正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路的平均功率、無功功率、視在功率、功率因數(shù)及復(fù)功率的概念和計算。如圖6－29所示的一端口電路N，其內(nèi)部僅含電阻、電感和電容等無源元件。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，設(shè)則一端口電路N在任一瞬間所吸收的功率為圖6-29一端口電路的功率我們把p稱為一端口電路N的瞬時功率。如果令電壓和電流的相位差，則得(6-36)由式(6－36)可知，瞬時功率有兩個分量：第一個為恒定分量，且恒大于零；第二個為正弦分量，其頻率為電壓或電流頻率的兩倍。電壓u、電流i和瞬時功率p的波形如圖6－29(b)所示。瞬時功率是隨時間而改變的正弦函數(shù)，其實際意義不大，為更明確地表述正弦穩(wěn)態(tài)電路中能量的消耗和交換的情況，需引入以下幾種功率的概念。

1．平均功率所謂平均功率,是指瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值，又稱為有功功率，用P表示，即由于是在一個周期內(nèi)積分，故上式第二項積分為零，于是得平均功率為(6－37)由式(6－37)可知，平均功率表示一端口實際消耗的功率。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，平均功率P不僅與電壓和電流的有效值的乘積有關(guān)，而且與它們之間的相位差有關(guān)。平均功率的單位是瓦［特］(W)。式(6－37)中,稱為功率因數(shù)，用λ表示，即。

2．無功功率無功功率可用來描述電路內(nèi)部與外電路能量交換的速率，其定義為(6-38)無功功率只是一個計算量，并不表示作功的情況。無功功率的單位是乏(var)。

3．視在功率為表示電力設(shè)備的容量而引入了視在功率，其定義為S=UI(6-39)即視在功率等于一端口電壓和電流有效值的乘積，其單位為伏安(V·A)。有功功率P、無功功率Q和視在功率S之間存在下列關(guān)系：如果一端口N為純電阻電路，則=0，平均功率P=UI=RI2=GU2；無功功率QR=0，表示純電阻電路與外電路沒有能量交換現(xiàn)象發(fā)生，為純耗能電路。如果一端口N為純電感電路，則，平均功率P=0，無功功率QL=UI

；如果一端口N為純電容電路，則，平均功率P=0，無功功率QL=－UI

。這表示電感(電容)的平均功率為零，它們不消耗能量，但與外界有能量交換。4．復(fù)功率

為了分析計算的方便，將平均功率P、無功功率Q和視在功率S的關(guān)系用復(fù)功率描述，用表示，即(6-40)式中，為端口電流相量的共軛復(fù)數(shù)。復(fù)功率的單位為V·A。

如果電路為無源電路，則(6-41)由式(6－41)可知，視在功率S是復(fù)功率的模，其輻角為電壓和電流的相位差。引入復(fù)功率后，可以使用相量法計算所得的電壓相量和電流相量，使平均功率、無功功率和視在功率的表達(dá)和計算更為簡便。但應(yīng)注意，復(fù)功率只是一個計算量，不代表任何物理意義?？梢宰C明，正弦穩(wěn)態(tài)電路中總有功功率是電路各部分有功功率之和，總的無功功率是電路各部分無功功率之和，即有功功率和無功功率分別守恒。

例6－14電路如圖6－30所示，求電源向電路提供的有功功率、無功功率、視在功率及功率因數(shù)。圖6-30例6-11圖

解解法1：利用各功率定義計算功率。首先求出從電源端看進(jìn)去的等效阻抗，即電流為有功功率為無功功率為視在功率為功率因數(shù)為解法2：利用復(fù)功率計算功率。有功功率為

P=105.64W無功功率為

Q=－28.82var視在功率為

S=109.5V·A功率因數(shù)為

例6－15電路如圖6－31所示，已知U=20V,且和同相，電路吸收的平均功率為P=100W，求XC、XL。圖6-31例6-12圖

解因為和同相，則電路吸收的平均功率為P=UI

從而求得電路等效阻抗為純電阻，由阻抗串聯(lián)的關(guān)系得因為阻抗Z的實部為4，虛部為0，即故XC=10Ω(負(fù)根無意義，舍去),XL=2Ω。6.6三相電路三相電路是由頻率和振幅相同、相位互差120°的3個正弦交流電源同時供電的系統(tǒng)，其應(yīng)用涉及工業(yè)用電和日常生活用電等領(lǐng)域。目前，國內(nèi)外電力系統(tǒng)普遍采用三相制供電方式。三相電路分析中，以對稱三相電路分析為主，且對稱三相電路的分析方法可以擴(kuò)展到非對稱三相電路。6.6.1三相電源及其連接三相電源是由3個正弦電壓源組成的，3個電壓源的頻率和振幅相同，相位互差120°，它們分別記為uA、uB、uC，分別稱為A相、B相和C相電壓，電路符號如圖6－32所示。圖6-32三相電源電路符號若以A相為參考正弦量，其瞬時值表達(dá)式為(6－42)它們的波形如圖6－33(a)所示，對應(yīng)的相量形式為(6－43)相量圖如圖6－33(b)所示。uA、uB、uC

就是對稱三相正弦電壓，它們對應(yīng)的電源稱為對稱三相電源。對稱三相電壓的和滿足：(6－44)即對稱三相電源的電壓瞬時值之和為零，電壓相量之和也為零。相位的次序稱為相序，上述三相電源的次序為A、B、C，稱為正相序。反之，若B相電壓超前A相電壓120°，C相電壓又超前B相電壓120°，則稱為反相序。由此可知，只要知道相序和任一相電壓，就可以確定其他兩相的電壓。圖6－33對稱三相電源波形和相量圖在實際使用中，對稱三相電源常接成Y形(星形)和△形(三角形)向外供電。圖6－34(a)[JP]是三相電源的Y形連接方式，從三相電源的正極性端引出三根輸出線，稱為相線(俗稱火線)，三相電源的負(fù)極性端連接為公共點N，稱為中性點。由中性點引出的線稱為中性線(俗稱零線)。圖6－34三相電源的Y形連接及相量圖(a)Y形連接；(b)相量圖在Y形連接中，相線與中性線間的電壓、、稱為相電壓，相電壓的有效值用Up表示。相線之間的電壓、、稱為線電壓，線電壓的有效值用Ul表示。Y形連接線電壓和相電壓的關(guān)系為(6－45)由式(6－45)可知，線電壓的有效值是相電壓的有效值的倍，即，線電壓的相位超前相應(yīng)相電壓30°。線電壓和相電壓的關(guān)系可用如圖6－34(b)所示的相量圖表示。如果將三相電源的正、負(fù)極端依次連接，從三個連接點引出三根相線，則稱為三相電源的△形連接方式，如圖6－35所示。圖6－35三相電源的△形連接由圖可知，線電壓等于相電壓。即(6－46)由上式可知，線電壓的有效值與相電壓的有效值相等，即Ul=Up，且相位相同。當(dāng)對稱三角形正確連接時，，所以電源內(nèi)部無環(huán)流。若接錯，將形成很大的環(huán)流，從而使三相電源無法工作。所以，三相電源一般不接成三角形。6.6.2三相電路的分析在三相電路中，三個負(fù)載可連接成Y形或△形，并且三個負(fù)載可分別用三個阻抗等效代替。如果三個阻抗參數(shù)相同，則稱為對稱三相負(fù)載，否則稱為不對稱負(fù)載。在這里只討論對稱三相負(fù)載電路的連接。如圖6－36所示為負(fù)載的Y形連接，也是最常用的一種電路結(jié)構(gòu)。其中，NN′稱為中性線，ZN為中性線阻抗。三相電源和三相負(fù)載之間用四根導(dǎo)線連接的電路系統(tǒng)稱為三相四線制。三相電路中，流過相線的電流稱為線電流，其有效值用Il表示；流過各相負(fù)載的電流稱為相電流，其有效值用Ip表示。顯然，在負(fù)載Y形連接時，各相電流等于各線電流。圖6－36負(fù)載的Y形連接(對稱三相四線制)圖6－36中只有兩個節(jié)點，設(shè)N為參考點，節(jié)點N′與N之間的電壓用表示，負(fù)載阻抗，可列出節(jié)點方程為(6-47)++由于三相電源對稱滿足，因此可得(6-48)由此可知，電源中性點N和負(fù)載中性點N′間電壓為零，即中性線上的電流。因此，中性線可斷路處理，也可短路處理。在圖6－36中，把中性線短路，設(shè)，各線電流(相電流)分別為(6-49)式中，Ip為各相電流的有效值，為阻抗角。由上式可知，各線電流(相電流)對稱，中線電流為(6-50)式(6－50)表明，在負(fù)載Y形連接的三相電路中，中線可以省去。但應(yīng)注意，當(dāng)負(fù)載不對稱時，中線不能隨意去掉。需要說明的是，在實際的三相電路中，有許多小功率單相負(fù)載分別連接到各相，很難使各相負(fù)載完全對稱，而且當(dāng)對稱三相電路發(fā)生斷線、短路等故障時，也將使電路成為不對稱的三相電路。在不對稱的三相電路中，中性線上電流不為零，兩端的電壓也不為零，這種現(xiàn)象稱為中心點位移。當(dāng)較大時，會造成負(fù)載端電壓的嚴(yán)重不對稱(有的相電壓過高，有的相電壓過低)，甚至引發(fā)事故，因此應(yīng)盡量減小中性線阻抗ZN。過高，以中性線斷路最為嚴(yán)重，因此在實際電路中，中性線上不能安裝開關(guān)和保險絲。如圖6－37所示為負(fù)載的△形連接，從圖中可以看出，負(fù)載端的線電壓和相電壓是相等的。圖6－37負(fù)載的△形連接設(shè)其線電壓分別為(6－51)負(fù)載的相電流分別為(6－52)式中，負(fù)載相電流的有效值為，由圖6－37可求得各線電流分別為由此可以看出，三相負(fù)載△形連接時，如果相電流對稱，則線電流也是對稱的。線電流的有效值是相電流有效值的，即。線電流在相位上滯后于相應(yīng)的相電流30°。例6－16

已知Y形連接三相對稱負(fù)載阻抗Z=100∠45°Ω，線電壓Ul=380V，求負(fù)載相電壓Up、線電流Il。解相電壓每相負(fù)載流過的電流因為負(fù)載是Y形連接，所以Ip=Il=2.2A

例6－17已知對稱三相三線制的線電壓為380V，每相負(fù)載阻抗為Z=10∠53.1°Ω，求負(fù)載Y形連接和△形連接時電路的電流。解(1)當(dāng)負(fù)載為Y形連接時，電路如圖6－38(a)所示。相電壓的有效值為可以設(shè)想電源中點N與負(fù)載中點N′用短路線連接，設(shè),可得根據(jù)對稱關(guān)系可以知道其他兩相電流分別為

(2)當(dāng)負(fù)載為△形連接時，電路如圖6－38(b)所示。設(shè),可得其他兩相負(fù)載的電流分別為由式(6－53)可得線電流為圖6－38例6－17用圖(a)Y形連接；(b)△形連接6.6.3三相功率在三相電路中，不論負(fù)載是Y形連接還是△形連接，總的有功功率必定等于各相有功功率之和。當(dāng)三相負(fù)載對稱時，每相的有功功率是相等的，即(6－54)當(dāng)對稱負(fù)載Y形連接時，有當(dāng)對稱負(fù)載△形連接時，有因此，不論對稱三相負(fù)載是Y形連接還是△形連接，三相負(fù)載的總有功功率為(6-55)即三相負(fù)載的總有功功率的計算公式是相同的。同理，可得三相無功功率和視在功率分別為(6-56)(6-57)

例6－18有一臺三相電動機(jī)，每相繞組的等效阻抗為Z=16+j12Ω，對稱三相電源的線電壓為Ul=380V，求:(1)當(dāng)電動機(jī)作Y形連接時的有功功率；(2)當(dāng)電動機(jī)作△形連接時的有功功率。解(1)當(dāng)電動機(jī)作Y形連接時，有(2)當(dāng)電動機(jī)作△形連接時，有從例6－18有功功率的計算結(jié)果可看出，電動機(jī)作不同連接時所消耗的功率是不同的，作△形連接時消耗的功率等于作Y形連接時消耗的功率的3倍。在本例中，電源電壓為線電壓，電動機(jī)作Y形連接時消耗的功率較小，所以當(dāng)電源電壓為線電壓時，電動機(jī)應(yīng)作Y形連接；而當(dāng)電源電壓為相電壓時，電動機(jī)應(yīng)作△形連接。6.7變壓器電路

耦合電感和變壓器在工程中有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)介紹耦合電感的概念和含有耦合電感電路的計算及變壓器電路的分析。6.7.1互感耦合電路

1．耦合電感

圖6－39所示是兩個距離很近的電感線圈，線圈1有N1匝，線圈2有N2匝。當(dāng)線圈1通以電流i1時，在線圈1中產(chǎn)生的磁通為Φ11

，稱為自感磁通；其中一部分磁通Φ21也穿過線圈2，稱為互感磁通。同理，當(dāng)線圈2通以電流i2時，在線圈2中產(chǎn)生的磁通為Φ22，稱為自感磁通；其中一部分磁通Φ12也穿過線圈1，稱為互感磁通。于是可得互感磁鏈Ψ12和Ψ21，即圖6－39耦合電感元件(6-58)仿照自感系數(shù)的定義，互感系數(shù)為(6-59)與自感系數(shù)一樣，互感系數(shù)簡稱為互感，其單位與自感單位相同?？梢宰C明，線性耦合電感M21=M12，通常用M表示，且M為常數(shù)。為了定量表示兩個線圈耦合的緊密程度，定義一個參數(shù)k，稱為耦合系數(shù)，即(6－60)即耦合系數(shù)等于互感系數(shù)與兩線圈自感系數(shù)比值的幾何平均值。耦合系數(shù)是一個無量綱的參數(shù)。由式(6－60)可知0≤k≤1，k值的大小反映了兩線圈耦合的強(qiáng)弱。若k=0，則說明兩線圈之間沒有耦合；若k=1，則說明兩線圈之間耦合最緊，稱全耦合。在工程實際中，為了消除兩線圈之間的耦合，可將它們互相垂直放置，如圖6－40(a)所示；若想增加兩線圈的耦合，可以將兩線圈進(jìn)行雙線并繞，如圖6－40(b)所示。圖6－40耦合系數(shù)與線圈相互位置的關(guān)系(a)互相垂直；(b)雙線并繞2．耦合電感元件的電壓、電流關(guān)系

當(dāng)兩個互感線圈上通有電流時，每一線圈的磁鏈可以看做是自磁鏈與互磁鏈之和。當(dāng)自磁通與互磁通方向一致時，稱磁通相助，如圖6－41(a)所示。線圈1的總磁鏈Ψ1和線圈2的總磁鏈Ψ2分別為(6－61)設(shè)兩線圈上電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，且電流的方向與自磁通方向符合右手螺旋定則，則有(6－62)當(dāng)兩線圈的自磁通與互磁通方向相反時，稱為磁通相消，如圖6－41(b)所示。線圈1的總磁鏈Ψ1和線圈2的總磁鏈Ψ2分別為(6－63)線圈上的電壓分別為(6－64)圖6－41磁通相助與磁通相消

(a)磁通相助；(b)磁通相消通過上述分析可知，線圈的電壓、電流參考方向為關(guān)聯(lián)參考方向時，線圈電壓等于該線圈自感電壓與互感電壓的代數(shù)和。其中，自感電壓項前恒取正號；互感電壓項前，磁通相助時取正號，磁通相消時取負(fù)號。因此，在列寫耦合電感元件的電壓和電流的關(guān)系式時，必須知道兩線圈是磁通相助還是相消。為了方便判斷磁通相助還是相消，引入同名端的概念。同名端是這樣規(guī)定的：當(dāng)電流從兩線圈各自的某個端子同時流入(或同時流出)時，若兩線圈產(chǎn)生的磁通相助，則稱這兩個端子為耦合線圈的同名端，并用“·”或“*”表示。在圖6－42(a)中，a和c(b和d)端是同名端；b和c(a和d)端則為異名端。如果電流不是同時從兩個互感線圈同名端流入(或流出)，則它們各自產(chǎn)生的磁通相消。有了同名端的規(guī)定后，圖6－42(a)所示的互感線圈可用圖6－42(b)所示的模型表示。圖6－42互感線圈的同名端在圖6－42(b)中，設(shè)電流i1、i2分別從a端、c端流入，可認(rèn)為磁通相助。設(shè)線圈上的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則兩線圈上的電壓分別為(6－65)圖6－43磁通相消情況的互感線圈模型在圖6－43中，設(shè)電流i1、i2分別從a端、c端流入，可以認(rèn)為磁通相消。設(shè)兩個互感線圈上的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則兩線圈上的電壓分別為(6－66)例6－19

電路如圖6－44所示，求出互感線圈的電壓、電流關(guān)系式。圖6－44例6－19用圖解因為L1上的電壓u1與電流i1為非關(guān)聯(lián)參考方向，所以u1中的自感壓降為。觀察本互感線圈的同名端位置及兩電流i1、i2流向，可知i1從同名端流出，i2也從同名端流出，屬磁通相助，則u1中的互感壓降部分與它的自感壓降部分同號，即為。將L1上自感壓降部分與互感壓降部分代數(shù)和相加，即得L1上電壓為因為L2上的電壓u2與電流i2為關(guān)聯(lián)參考方向，所以u2中的自感壓降部分為?？紤]磁通相助情況，互感壓降部分與自感壓降部分同號，所以u2中的互感壓降部分為。將L2上自感壓降部分與互感壓降部分代數(shù)和相加，即得L2上電壓為6.7.2含有耦合電感電路的計算兩個具有耦合關(guān)系的互感線圈，每一線圈上的電壓不但與本線圈上的電流變化率有關(guān)，而且與另一線圈上的電流變化率也有關(guān)。其電壓、電流關(guān)系是因同名端的位置及電壓、電流參考方向的不同而不同。為了使含有互感電路的分析簡單化，可用電路等效變化的原理，把耦合電感線圈進(jìn)行去耦等效，使其轉(zhuǎn)化成不含有互感的電路。本節(jié)討論耦合電感線圈在不同連接關(guān)系下的去耦等效方法。1．耦合電感的串聯(lián)等效如圖6-45(a)所示為互感線圈順向串聯(lián)，其相連的端子是異名端。設(shè)電壓、電流參考方向和線圈的同名端如圖6-45(a)所示，根據(jù)KVL，可得式中(6-67)稱為兩互感線圈順接串聯(lián)時的等效電感。圖6-45(b)所示為等效電感電路。圖6-45耦合電感的順串等效如圖6－46(a)所示為互感線圈反向串聯(lián)電路，其相連的端子是同名端。同理可得等效電感為

Lab=L1+L2－2M

(6－68)式(6－68)稱為兩互感線圈反接串聯(lián)時的等效電感。圖6－46(b)所示為互感線圈反向串聯(lián)的等效電感電路。圖6－46耦合電感的反串等效

2．耦合電感的并聯(lián)等效如圖6-47(a)所示為互感線圈同側(cè)并聯(lián)，其同名端相接。設(shè)電壓、電流的參考方向和同名端如圖所示，根據(jù)KCL?？傻胕=i1+i2

(6－69)圖6-47互感線圈同側(cè)并聯(lián)等效根據(jù)互感的電壓、電流關(guān)系，其電壓方程為(6－70)設(shè)外加正弦交流電壓，則式(6-70)可寫為相量形式，即(6－71)解得式中(6－72)互感線圈同側(cè)并聯(lián)的等效電路如圖6－47(b)所示?；ジ芯€圈異側(cè)并聯(lián)的電路如圖6－48(a)所示，即異名端相接。同理可知等效電感為(6-73)互感線圈異側(cè)并聯(lián)的等效電路如圖6－48(b)所示。圖6-48互感線圈異側(cè)并聯(lián)等效

3．耦合電感的T型等效互感線圈的T型去耦等效屬于多端子電路的等效，分同名端為公共端和異名端為公共端兩種情況。下面討論這兩種情況的等效方法。

1)同名端為公共端的T型去耦等效圖6-49(a)所示為同名端為公共端的互感電路，設(shè)電壓、電流的參考方向如圖所示，根據(jù)耦合電感的電壓、電流關(guān)系，可得(6－74)經(jīng)數(shù)學(xué)變換，式(6-74)可改寫為(6-75)(6-76)由式(6-75)、(6-76)可得T型等效電路如圖6-49(b)所示。圖6-49(b)所示T型結(jié)構(gòu)電路中電感間無互感(無耦合)，其自感系數(shù)分別為L1－M、L2－M

、M，所以稱其為互感線圈的T型去耦等效電路。圖6-49(b)中的b、d端為公共端，而與之等效的圖6-49(a)中互感線圈的b、d端是同名端，所以，將這種情況的去耦等效稱為同名端是公共端的T型去耦等效。若把圖6-49(a)中的a、c端看作公共端，則可將其等效為圖6-49(c)所示的形式。圖6－49同名端為公共端的T型去耦等效

2)異名端為公共端的T型去耦等效圖6－50(a)所示的是異名端為公共端的互感電路。設(shè)電壓、電流的參考方向如圖6－50(a)所示，根據(jù)耦合電感的電壓、電流關(guān)系，可得(6－77)經(jīng)數(shù)學(xué)變換，式(6－77)可改寫為(6-78)(6-79)由式(6-78)、(6-79)可得T型等效電路如圖6-50(b)所示。同樣，把a(bǔ)、c端看作公共端，圖6-50(a)也可等效為6-69(c)的形式。圖6-50異名端為公共端的T型去耦等效例6－20如圖6－51(a)所示的并聯(lián)互感線圈，接在f=50Hz，u=31.4V的正弦交流電源上，已知R1=20Ω，L1=0.1H，R2=30Ω，L2=0.2H，M=0.1H，求等效阻抗Z和電流i。圖6－51例6－20用圖解：首先用T型等效法將圖6-51(a)等效為圖6-51(b)所示電路，等效阻抗Z為電流i為6.7.3空芯變壓器不含鐵芯(或磁芯)的耦合線圈稱為空芯變壓器。如圖6－52所示為空芯變壓器的電路模型，R1和R2表示初級和次級線圈的電阻。通常，空芯變壓器的初級接交流變壓器，次級接負(fù)載。電源提供的能量通過磁場耦合傳遞到負(fù)載。下面討論含空芯變壓器電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析。圖6－52空芯變壓器的電路模型1．端接負(fù)載的空芯變壓器圖6－53(a)所示為空芯變壓器次級接負(fù)載的相量模型?？刹捎猛饧与妷涸从嬎愣丝陔娏鞯姆椒ㄇ筝斎胱杩?，然后得到單口的等效電路。該電路模型的網(wǎng)口方程為(6-80)(6-81)由式(6－81)可求出(6－82)式中:Z22=R2+jωL2+ZL是次級回路的阻抗。將它代入式(6－80)，可求得輸入阻抗(6－83)式中：Z11=R1+jωL1是初級回路阻抗;Zref是次級回路在初級回路的反映阻抗,即(6－84)若負(fù)載開路Z22→∞，Zref=0，則Zi=Z11=R1+jωL1，不受次級回路的影響；若，則輸入阻抗Zi=Z11+Zref，其中Zref反映次級回路的影響。例如，Zref的實部反映次級回路中電阻的能量損耗，Zref的虛部反映次級回路中儲能元件與初級的能量交換。由式(6-83)可得到空心變壓器次級接負(fù)載時次級等效電路，如圖6-53(b)所示。若已知這個等效電路，給定輸入電壓源，用下式求得初級回路電流，即(6-85)。再由式(6－82)即可求得次級電流。若改變圖6－53(a)電路中的同名端位置，則式(6－80)、式(6－81)和式(6－82)中M前的符號要改變，但不會影響輸入阻抗、反映阻抗和等效電路。圖6-53端接負(fù)載的空心變壓器2．端接電源的空芯變壓器

為求得空芯變壓器初級接電源時，次級負(fù)載獲得的最大功率，需分析除負(fù)載以外含源單口網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路。圖6－54(a)所示為該單口的相量模型。先求出開路電壓，即(6－86)用與求輸入阻抗Zi相似的方法，求出阻抗，即(6-87)式中得到的戴維寧等效電路如圖6－54(b)所示。根據(jù)最大功率傳輸定理，當(dāng)負(fù)載ZL與Z0共軛匹配，即ZL=Z*0時，可獲得最大功率為(6-88)圖6－54端接電源的空芯變壓器6.7.4理想變壓器變壓器是各種電氣設(shè)備及電子系統(tǒng)中應(yīng)用很廣的一種多端子磁耦合基本電路元件，用于實現(xiàn)從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號。常用的實際變壓器有空芯變壓器和鐵芯變壓器兩種類型?？招咀儔浩魇怯蓛蓚€繞在非鐵磁材料制成的芯子上且具有互感的線圈組成的；鐵芯變壓器是由兩個繞在鐵磁材料制成的芯子上且具有互感的線圈組成的。本節(jié)要討論的理想變壓器可看成是實際變壓器的理想化模型，是對互感元件的一種理想科學(xué)抽象，即是極限情況下的耦合電感。理想變壓器多端元件可以看做為互感多端元件在滿足下述3個理想條件極限演變而來的：

(1)耦合系數(shù)k=1，即全耦合。

(2)自感系數(shù)L1、L2無窮大且L1/L2等于常數(shù)。由式(6－60)并考慮條件(1)可知，也為無窮大，此條件可簡述為參數(shù)無窮大。

(3)無損耗。這意味著繞線圈的金屬導(dǎo)線無任何電阻，或者說，繞線圈的金屬導(dǎo)線材料的導(dǎo)電率σ→∞,做鐵芯的鐵磁材料的磁導(dǎo)率μ→∞。以上3個條件，在工程實踐中是無法滿足的。由此可以看出，實際中使用的變壓器都不是這樣定義的理想變壓器。但是在實際制造變壓器時，從選材到工藝都著眼于這3個條件作為“努力方向”。譬如說，選用良金屬導(dǎo)線繞線圈，選用磁導(dǎo)率高的硅鋼片并采用疊式結(jié)構(gòu)成芯，都是為盡可能地減小損耗。再如，采用高絕緣層的漆包線緊繞、密繞、雙線繞，并采取對外的磁屏蔽措施，都是為使耦合系數(shù)盡可能地接近條件(1)。又如，理想條件(2)要求參數(shù)無窮大，固然難于做到，但在繞制實際鐵芯變壓器時也常常用足夠的匝數(shù)(有的達(dá)幾千匝)，以使參數(shù)有相當(dāng)大的數(shù)值。而在一些實際工程概算中，如計算變壓比、變流比等，又往往在工程誤差允許的范圍以內(nèi)，把實際使用的變壓器當(dāng)做理想變壓器對待，以使計算過程簡化。從理論上講，滿足上述的3個理想條件的互感線圈，就發(fā)生了由量變到質(zhì)變的飛躍，由互感線圈多端電路元件演變?yōu)榱硪环N新的多端電路元件即理想變壓器。在性能上理想變壓器與互感線圈有著本質(zhì)的區(qū)別。究竟理想變壓器具有哪些主要性能呢？這正是我們要重點討論的問題。

1．理想變壓器端口電壓、電流之間的關(guān)系為便于討論，以圖6－55(a)所示來分析理想變壓器的主要性能。圖中N1、N2既代表初、次級線圈，又代表其各自的匝數(shù)。由圖6－55(a)可判定a、c端是同名端。設(shè)i1、i2分別從同名端流入(屬磁通相助情況)，并設(shè)初、次級電壓u1、u2與各自線圈上i1、i2參考方向為關(guān)聯(lián)。若Φ11、Φ22分別為穿過線圈N1和線圈N2的自磁通；Φ21為第1個線圈N1中電流i1在第2個線圈N2中激勵的互磁通；Φ12為第2個線圈N2中電流i2在第1個線圈N1中激勵的互磁通。由圖6－55(a)可以看出與線圈N1、N2交鏈的磁鏈Ψ1、Ψ2分別為考慮全耦合k=1的理想條件，又因為則有(6－89)(6－90)將式(6－90)代入式(6－89)，得(6－91)圖6－55變壓器示意圖及其模型

1)變壓關(guān)系對式(6－91)求導(dǎo)，得初、次級電壓分別為所以有(6－92)式(6－92)中的n稱為匝比或變比，其值等于初級線圈匝數(shù)與次級線圈匝數(shù)之比。若將圖6－55(a)畫為圖6－55(b)所示的理想變壓器模型圖，觀察圖6－55(b)與式(6－92)可知，若u1、u2參考方向“+”極性端都分別設(shè)在同名端，則u1與u2之比等于N1與N2之比。若u1、u2參考方向“+”極性端一個設(shè)在同名端，一個設(shè)在異名端，如圖6－56所示，則此種情況的u1與u2之比為(6-93)式(6－92)與式(6－93)都是理想變壓器的變壓關(guān)系式。注意：在進(jìn)行變壓關(guān)系計算時是選用式(6－92)還是選用式(6－93)決定于兩電壓參考方向的極性和同名端的位置，而與兩線圈中電流參考方向如何假設(shè)無關(guān)。圖6－56變壓關(guān)系帶負(fù)號情況的模型

2)變流關(guān)系考慮理想變壓器是L1、L2

無窮大，且L1/L2

為常數(shù)，k=1的無損耗互感線圈，這里從互感線圈的電壓、電流關(guān)系著手，代入理想條件，即得理想變壓器的變流關(guān)系式。由圖6－57互感線圈模型得圖6－57變流關(guān)系帶負(fù)號情況的模型(6－94)設(shè)電流初始值為零并對式(6－94)兩端作0~t的積分，得(6－95)由圖6－55(a)所示，聯(lián)系M、L1定義，并考慮k=1的條件，有(6－96)將式(6－96)代入式(6－95)并考慮L1=∞，于是得所以有(6-97)式(6－97)說明，當(dāng)初、次級電流i1、i2分別從同名端同時流入(或同時流出)時，則i1與i2之比等于N2與N1之比的負(fù)值。若假設(shè)i1、i2參考方向中的一個是從同名端流入，一個是從同名端流出，如圖6－58所示，則這種情況的i1與i2之比為(6－98)圖6－58變流關(guān)系不帶負(fù)號情況的模型式(6－97)與式(6－98)都是理想變壓器的變流關(guān)系式。也需注意：在進(jìn)行變流關(guān)系計算時是選用式(6－97)還是選用式(6－98)取決于兩電流參考方向的流向與同名端的位置，而與兩線圈上電壓參考方向如何假設(shè)無關(guān)。由理想變壓器的變壓關(guān)系式(6－92)、變流關(guān)系式(6－97)，得理想變壓器從初級端口到次級端口吸收的功率和為（6－99）式(6－99)說明：理想變壓器不消耗能量，也不儲存能量，所以是不耗能、不儲能的無記憶多端電路元件，這一點與互感線圈有著本質(zhì)的不同。參數(shù)有限(L1、L2和M均為有限值)的互感線圈是具有記憶作用的儲能多端電路元件。

2．阻抗變換作用理想變壓器在正弦穩(wěn)態(tài)電路里還表現(xiàn)出有變換阻抗的特性。如圖6－59所示的理想變壓器，次級接負(fù)載阻抗ZL，由式(6－97)和式(6－98)可知，在正弦穩(wěn)態(tài)電路里，理想變壓器的變壓、變流關(guān)系的相量形式也是成立的。對圖6－59所示電路，由假設(shè)的電壓、電流參考方向及同名端位置可得（6－100）（6－101）圖6－59理想變壓器阻抗變換由初級看，輸入阻抗由于負(fù)載ZL上電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)，，代入上式即得（6－102）式（6－102）表明了理想變壓器的阻抗變換關(guān)系。習(xí)慣把這里的Zin稱為次級對初級的折合阻抗。理想變壓器的折合阻抗與互感電路的反映阻抗是有區(qū)別的。理想變壓器的阻抗變換作用只改變阻抗的大小，不改變阻抗的性質(zhì)。也就是說，負(fù)載阻抗為感性時，折合到初級的阻抗也為感性，負(fù)載阻抗為容性時，折合到初級的阻抗也為容性。在實際應(yīng)用中，一定的電阻負(fù)載RL接在變壓器次級，根據(jù)式(6－102)可知，在變壓器的初級相當(dāng)于接(N1/N2)2RL的電阻。如果n=N1/N2改變，輸入電阻n2RL也改變，則可利用改變變壓器的匝數(shù)比來改變輸入電阻，實現(xiàn)與電源匹配，使負(fù)載上獲得最大功率。收音機(jī)的輸出變壓器就是為此目的而設(shè)計的。例6－21電路如圖6－60(a)所示，電源內(nèi)阻Rs=10kΩ,負(fù)載RL=25Ω。為了使負(fù)載從電源獲得最大功率，求理想變壓器的變比n應(yīng)取多少。圖6－60例6－21用圖解根據(jù)理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)，可得一次側(cè)等效電路，如圖6－60(b)所示。由于理想變壓器不消耗功率，因此等效電阻Rin獲得的功率就是負(fù)載RL獲得的功率。根據(jù)最大功率匹配條件，有所以習(xí)題6

6－1求下列正弦電壓或電流的振幅、角頻率、周期和初相位，并畫出波形。(1)(2)(3)6－2寫出下列正弦量的相量，