《材料力學》課件第9章

第9章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細長壓桿的臨界載荷9.3壓桿的臨界應力9.4壓桿的穩(wěn)定條件與合理設計 9.1引言

1.平衡穩(wěn)定性的概念

構(gòu)件在壓力或其他特定載荷作用下，在某一位置保持平衡，這一位置稱為剛體的平衡位形或彈性體的平衡構(gòu)形。剛體的平衡位形與彈性體的平衡構(gòu)形都存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定的問題。例如，圖9－1(a)所示豎直放置的剛性直桿AB，下端鉸支，上端用剛度系數(shù)為k的水平彈簧支持。在鉛垂載荷F作用下，剛桿在豎直位置保持平衡，此時彈簧處于自然狀態(tài)。假設剛桿受到微小側(cè)向擾動，使桿端產(chǎn)生微小的側(cè)向位移δ（見圖9－1(b)），則彈簧產(chǎn)生水平恢復力kδ。此時，載荷F對A點的力矩Fδ將使桿更加偏離豎直的平衡位形，而彈簧力的力矩kδl將使桿恢復其初始平衡位形。如果Fδ<kδl，即F<kl，則在上述干擾解除后，剛桿將自動恢復至初始平衡位形，說明在該載荷作用下，剛桿在豎直位置的平衡位形是穩(wěn)定的。如果Fδ>kδl，即F>kl，則在干擾解除后，剛桿不僅不能自動返回其初始的平衡位形，而且還將繼續(xù)偏轉(zhuǎn)，這說明在該載荷作用下，剛桿在豎直位置的平衡位形是不穩(wěn)定的。如果Fδ=kδl，即F=kl，則剛桿既可以在豎直位置保持平衡，也可以在任意微小偏斜狀態(tài)下保持平衡，這種平衡稱為隨遇平衡。隨遇平衡實質(zhì)上也是一種不穩(wěn)定平衡，它介于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡之間，也稱為臨界平衡?？梢?，當桿長l與彈簧常數(shù)k確定之后，剛性直桿AB豎直平衡位形的性質(zhì)，由載荷F的大小而定。使剛體的平衡位形由穩(wěn)定向不穩(wěn)定過渡的臨界狀態(tài)的載荷值稱為臨界載荷，并用Fcr表示。圖9－1對于軸向受壓的細長彈性直桿也存在類似情況。圖9－2所示兩端鉸支的細長理想直桿，受力后處于直線平衡構(gòu)形。在任意微小側(cè)向干擾下，壓桿將產(chǎn)生微小彎曲（見圖9－2(a)）。外界微小干擾去除后將出現(xiàn)兩種不同情況：當軸向壓力較小時，壓桿最終將恢復其直線平衡構(gòu)形（見圖9－2(b)）；當軸向壓力較大時，壓桿不僅不能恢復其直線平衡構(gòu)形，而且將繼續(xù)彎曲，產(chǎn)生顯著的彎曲變形（見圖9－2(c)），甚至破壞。上述情況表明：當軸向壓力小于臨界載荷Fcr時，壓桿直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的；當軸向壓力大于臨界載荷Fcr時，壓桿直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的，在任意微小的外界擾動下，壓桿的直線平衡構(gòu)形會突然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形，這種過程稱為屈曲或失穩(wěn)。在臨界載荷Fcr作用下，壓桿既可在直線構(gòu)形下保持平衡，也可在微彎構(gòu)形下保持平衡。所以，當軸向壓力達到或超過臨界載荷時，壓桿直線平衡構(gòu)形將會失穩(wěn)。

2.工程中的失穩(wěn)現(xiàn)象

工程中受壓的桿件是很多的，例如各種建筑的立柱、各種液壓機械的活塞桿、機床的絲杠、曲柄連桿機構(gòu)中的連桿、橋梁與鉆井井架等桁架結(jié)構(gòu)中的壓桿等等，它們都有平衡構(gòu)形的穩(wěn)定性問題。除細長壓桿外，其他彈性構(gòu)件也存在穩(wěn)定性問題。例如,薄壁圓管受壓或受扭時，當軸向壓力或扭矩達到或超過一定數(shù)值時，圓管將突然發(fā)生皺褶（見圖9－3）。圖9－4(a)所示狹長矩形截面梁，當載荷F達到或超過一定數(shù)值時，梁將突然發(fā)生翹曲；圖9－4(b)所示承受徑向外壓的圓柱形薄殼，當外壓p達到或超過一定數(shù)值時，圓環(huán)形截面將突然變?yōu)闄E圓形。圖9－3圖9－4

9.2細長壓桿的臨界載荷

9.2.1兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷

如圖9－5所示，兩端鉸支的等截面細長直桿承受軸向壓力作用。在臨界狀態(tài)下，壓桿除了直線形式的平衡構(gòu)形外，還可能存在與之無限接近的微彎平衡構(gòu)形?，F(xiàn)以微彎平衡構(gòu)形作為其臨界狀態(tài)特征，確定其臨界載荷。圖9－5在桿內(nèi)應力不超過材料的比例極限時，根據(jù)小撓度撓曲軸的近似微分方程，壓桿的撓曲軸方程w=w(x)應滿足（a）考察微彎狀態(tài)下任意一段壓桿的平衡，得到彎矩方程為（b）將式（b）代入式（a），得到（c）二階常微分方程（c）的通解為（e）式中，均為未知，其值由壓桿的位移邊界條件與微彎變形狀態(tài)確定。兩端鉸支壓桿的位移邊界條件為（f）將式（f）代入式（e），得到（g）由于壓桿處于微彎狀態(tài)，A和B不全為零，則應有（h）而要滿足此條件，則要求(n=0,1,2…)（i）將式（i）代入式（d），于是得(n=0,1,2…)(j)使壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小軸向壓力即為壓桿的臨界載荷。由式(j)取n=1，即得兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷為（9－1）式(9－1)是由歐拉于1744年最早提出的，所以通常稱為臨界載荷的歐拉公式，該載荷又稱為歐拉臨界載荷?？梢钥闯?，兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷與截面彎曲剛度成正比，與桿長的平方成反比。對于各個方向約束相同的情形，上式中的慣性矩I應為壓桿橫截面最小主形心慣性矩。在臨界載荷作用下，即k=π/l時，由式（e）得，即兩端鉸支細長壓桿臨界狀態(tài)的撓曲軸為一半波正弦曲線，其最大撓度A則取決于壓桿微彎的程度?？梢姡瑝簵U在臨界狀態(tài)下的平衡是一種有條件的隨遇平衡，微彎程度可以任意，但撓曲軸形狀一定。9.2.2大撓度理論與實際壓桿

式（9－1）與式（9－2）是對于理想壓桿根據(jù)小撓度撓曲軸近似微分方程得到的。如果采用大撓度撓曲軸的微分方程進行理論分析，則軸向壓力F與壓桿最大撓度wmax之間存在著如圖9－6中的曲線AB所示的確定關系，其中A點為曲線的極值點，相應之載荷Fcr即為上述歐拉臨界載荷。

可以看出：當軸向壓力F<Fcr時，壓桿只有直線一種平衡構(gòu)形，而且直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的；當F>Fcr時，壓桿存在兩種平衡構(gòu)形——直線平衡構(gòu)形(分支AC所對應)與屈曲平衡構(gòu)形(分支AB所對應)，但前者是不穩(wěn)定的，后者是穩(wěn)定的。直線AC與曲線AB的交點A稱為臨界點，也稱為分叉點，因為從A點開始，出現(xiàn)兩種平衡構(gòu)形。在A點附近，曲線AB極為平坦，可近似地用水平線代替曲線，其力學意義是：認為在F=Fcr時，壓桿既可在直線構(gòu)形保持平衡，也可在微彎構(gòu)形保持平衡。由此可見，以微彎構(gòu)形作為臨界狀態(tài)的特征，并根據(jù)撓曲軸的近似微分方程確定臨界載荷的方法，不僅簡單、正確，而且合理、實用。另外，由于曲線AB在A點附近極為平坦，因此，當軸向壓力F略高于臨界值Fcr時，撓度即急劇增加。例如，當F=1.015Fcr時，wmax=0.11l，即軸向壓力超過臨界值的1.5%時，最大撓度竟高達桿長的11%。大撓度理論明確指出了失穩(wěn)的危險性。以上討論是針對理想壓桿而言的。對于工程中的實際壓桿，由于其軸線可能存在初始曲率，載荷也可能偏心，材料也非絕對均勻等等，這些因素都相當于使得壓桿發(fā)生壓彎組合變形。實際壓桿的壓縮試驗給出的載荷與撓度之間的關系如圖9－6中的虛線OD所示：當壓力不大時，壓桿即發(fā)生微小彎曲變形；彎曲變形隨壓力增大而緩慢增長,而當壓力F接近于臨界值Fcr時，撓度急劇增大。試驗說明，歐拉臨界載荷同樣導致實際壓桿失效或破壞。所以，用理想壓桿作為分析模型解決壓桿的承載能力問題是行之有效的方法，這也是常用的模型化方法的一個范例。圖9－69.2.3兩端非鉸支細長壓桿的臨界載荷

1.一端固定一端自由的細長壓桿的臨界載荷

圖9－7所示為一端固定、一端自由的長為l的細長壓桿。當軸向壓力F=Fcr時，該桿的撓曲軸與長為2l的兩端鉸支細長壓桿的撓曲軸的一半完全相同。因此，如果二桿各截面的彎曲剛度相同，則臨界載荷也相同。所以，一端固定一端自由、長為l的細長壓桿的臨界載荷為（9－3）圖9－7

2.兩端固定的細長壓桿的臨界載荷

圖9－8所示為兩端固定的長為l的細長壓桿，當軸向壓力F=Fcr時，該桿的撓曲軸如圖9－8(a)所示，在離兩固定端各l/4處的截面A、B存在拐點，A、B截面的彎矩均為零。因此，長為l/2的AB段的兩端僅承受軸向壓力Fcr（見圖9－8(b)），受力情況與長為l/2的兩端鉸支壓桿相同。所以，兩端固定的壓桿的臨界載荷為（9－4）圖9－8

3.一端固定一端鉸支的細長壓桿的臨界載荷

圖9－9所示為一端固定一端鉸支的長為l的細長壓桿，在微彎臨界狀態(tài)，其拐點與鉸支端之間的正弦半波曲線長為0.7l，則該壓桿的臨界載荷為（9－5）圖9－99.2.4歐拉公式的一般形式

由式（9－1）、式（9－3）、式（9－4）與式（9－5）可知，上述幾種細長壓桿的臨界載荷公式基本相似，只是分母中l(wèi)的系數(shù)不同。為了應用方便，將上述公式統(tǒng)一寫成如下形式:（9－6）式中，乘積μl稱為壓桿的相當長度或有效長度，即相當于兩端鉸支壓桿的長度;系數(shù)μ稱為長度因數(shù)，代表支持方式對臨界壓力的影響。幾種常見細長壓桿的長度因數(shù)與臨界載荷如表9－1所示。表9－1幾種常見細長壓桿的長度因數(shù)及臨界載荷

例9－1

圖9－10所示細長圓截面連桿，長度l=800mm，直徑d=20mm，材料為Q235鋼，其彈性模量E=200GPa。試計算該連桿的臨界載荷。圖9－10

解該連桿為兩端鉸支細長壓桿，μ=1。根據(jù)歐拉公式，其臨界載荷為討論：在此臨界壓力作用下，壓桿在直線平衡位置時橫截面上的應力為

Q235鋼的比例極限σp≈200MPa，表明連桿在臨界狀態(tài)時仍處于線彈性范圍內(nèi)，歐拉公式是適用的。另外，Q235鋼的屈服極限σs=235MPa，因此，使連桿壓縮屈服的軸向壓力為顯然，該細長壓桿的承載能力是由穩(wěn)定性要求確定的。

9.3壓桿的臨界應力

1.臨界應力與柔度

壓桿處于臨界狀態(tài)時橫截面上的平均應力，稱為壓桿的臨界應力，并用σcr表示。根據(jù)式（9－6），細長壓桿臨界應力為（a）式中，比值I/A是僅與橫截面的形狀及尺寸有關的幾何量，將其用i2表示，即（9－7）i稱為截面的慣性半徑，具有長度量綱。將i代入式（a），并令（9－8）則細長壓桿的臨界應力為（9－9）式(9－9)稱為歐拉臨界應力公式。式中的λ為一無量綱量，稱為柔度或細長比，它綜合地反映了壓桿的長度、支持方式與截面幾何性質(zhì)對臨界應力的影響。式（9－9）表明，細長壓桿的臨界應力與柔度的平方成反比，柔度愈大，臨界應力愈低。

2.歐拉公式的適用范圍

歐拉公式是根據(jù)撓曲軸近似微分方程建立的，它只在線彈性范圍才適用，即要求或式中:（9－10）（9－11）即僅當λ≥λp時，歐拉公式才成立。

λp

僅隨材料而異，對于不同材料的壓桿，由于E、σp各不相同，λp的數(shù)值亦不相同。例如對于Q235鋼制成的壓桿，E≈200GPa，σp=200MPa，于是由式(9－11)得λp≈100。

柔度λ≥λp的壓桿，稱為大柔度桿或細長桿。這類壓桿可能發(fā)生彈性失穩(wěn)，其臨界應力可用歐拉公式計算。

3.臨界應力的經(jīng)驗公式

工程實際中存在著大量柔度小于λp的非細長壓桿，其臨界應力超過材料的比例極限，屬于彈塑性失穩(wěn)問題。這類壓桿的臨界應力也可以通過理論分析求得，但工程中通常用經(jīng)驗公式進行計算。

1)直線型經(jīng)驗公式

對于鋼材、鑄鐵、合金鋼、鋁合金和木材等制成的壓桿，直線型經(jīng)驗公式的一般表達式為（9－12）式中,a與b為與材料有關的常數(shù),單位為MPa，其適用范圍為（9－13）式中，λ0是與材料的壓縮極限應力σcu有關的值，因為當臨界應力達到壓縮極限應力,即（9－14）幾種常用材料的a、b、λp、λ0值如表9－2所示。表9－2幾種常用材料的a、b、λp、λ0值

總之，根據(jù)柔度的大小，壓桿可以分為三類：λ≥λp的壓桿屬于細長桿或大柔度桿，臨界應力按歐拉公式計算；λ0≤λ≤λp的壓桿屬于中柔度桿或中長桿，臨界應力按經(jīng)驗公式計算；λ<λ0的壓桿屬于小柔度桿或粗短桿，這類壓桿一般不會發(fā)生失穩(wěn)，可能發(fā)生屈服失效，臨界應力等于材料壓縮極限應力。在上述三種情況下，臨界應力隨柔度變化的曲線如圖9－11所示，稱為臨界應力總圖。圖9－11

2)拋物線型經(jīng)驗公式

對于由結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等材料制作的非細長壓桿，工程中還采用拋物線型經(jīng)驗公式計算其臨界應力，即（9－15）式中，a1=σs與b1=σ2s/(4π2E)是與材料有關的常數(shù)。例如，對于Q235鋼，a1=235MPa，b1=0.0068MPa。根據(jù)歐拉公式與拋物線型公式，得到結(jié)構(gòu)鋼等的臨界應力總圖如圖9－12所示。圖9－12

例9－2圖9－13所示連桿用鉻鉬鋼制成，連桿兩端為柱狀鉸，橫截面積A=720mm2，慣性矩Iz=6.5×104mm4，Iy=3.8×104mm4。試確定連桿的臨界載荷。

解（1）失穩(wěn)形式判斷。在軸向壓力作用下，連桿可能在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)（即橫截面繞z軸轉(zhuǎn)動），連桿兩端柱狀鉸（見圖9－14）的銷軸對桿的約束相當于鉸支，長度因數(shù)μz=1，連桿的柔度為圖9－13圖9－14在軸向壓力作用下，連桿也可能在x－z平面內(nèi)失穩(wěn)（即橫截面繞y軸轉(zhuǎn)動），連桿兩端柱狀鉸的銷軸對桿的約束接近于固定端，其長度因數(shù)介于鉸支與固定端之間，如取μy=0.7，連桿的柔度為由于λz>λy，故連桿將在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)。（2）臨界載荷計算。由表9－2查得，鉻鉬鋼的λ0=0,λp=55,a=980MPa，b=5.29MPa，該連桿屬于中柔度壓桿。根據(jù)直線型經(jīng)驗公式，其臨界載荷為

討論:該連桿既可能在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)，也可能在x－z平面內(nèi)失穩(wěn)。為使連桿在這兩個平面內(nèi)抵抗失穩(wěn)的能力接近相等，在截面設計時，應大致保持λy與λz比較接近。該連桿的柔度分別為λz=52.6，λy=48.2，設計比較合理。 9.4壓桿的穩(wěn)定條件與合理設計

9.4.1壓桿的穩(wěn)定條件

為了保證壓桿的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的，并具有一定的安全儲備，必須使壓桿承受的工作載荷F滿足下述條件（9－16）或者（9－17）式（9－16）與式（9－17）中，nst為穩(wěn)定安全因數(shù)，［Fst］為穩(wěn)定許用壓力，為壓桿直線平衡構(gòu)形橫截面上的工作應力為穩(wěn)定許用應力。由于壓桿失穩(wěn)大都具有突發(fā)性，危害嚴重，而且考慮到工程實際中的壓桿有初曲與加載偏心等不利因素，因此穩(wěn)定安全因數(shù)一般大于強度安全因數(shù)。幾種常見壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)如表9－3所示。表9－3幾種常見壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)

需要指出的是，壓桿的穩(wěn)定性取決于整個桿件的彎曲剛度，桿件局部削弱（鉚釘孔或油孔）對壓桿整體穩(wěn)定的影響很小，因此，在確定桿的臨界載荷與臨界應力時，均按未削弱截面計算橫截面的慣性矩與截面面積。但是，對于受削弱的橫截面，還應進行強度校核。9.4.2折減系數(shù)法

在工程中，常采用所謂折減系數(shù)法進行穩(wěn)定性計算，特別是進行截面的設計計算。這種方法借助于材料的強度許用應力［σ］，將其乘以小于1的系數(shù)φ，以此作為穩(wěn)定許用應力，于是，壓桿穩(wěn)定條件為（9－18）式中，φ稱為穩(wěn)定系數(shù)或折減系數(shù)，其值與壓桿的柔度及所用材料有關。結(jié)構(gòu)鋼、低合金鋼以及木質(zhì)壓桿的φ－λ曲線如圖9－15所示。各種軋制與焊接構(gòu)件的折減系數(shù)可查閱有關規(guī)范。圖9－15

例9－3

圖9－16所示立柱，下端固定，上端承受軸向壓力F=200kN。立柱用No25a工字鋼制成，柱長l=2m，材料為Q235鋼，許用應力［σ］=160MPa，規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)nst=5。在立柱中點C處，因結(jié)構(gòu)需要鉆一直徑d=70mm的圓孔。試校核立柱的穩(wěn)定性與強度。

解（1）計算立柱柔度，確定壓桿類型。由型鋼表中查得，No25a工字鋼的截面面積A=48.541cm2,截面的主慣性矩分別為Imax=5020cm4,I

min=280cm4,慣性半徑分別為imax=10.2cm,imin=2.40cm。因為立柱在鉛垂面內(nèi)左右彎曲與前后彎曲時約束都相同，所以失穩(wěn)時立柱橫截面繞慣性矩最小的形心主軸轉(zhuǎn)動側(cè)彎，因此對于Q235鋼，λp=100,λ0=61,該立柱屬于中柔度桿。圖9－16（2）穩(wěn)定性校核。對于Q235鋼，直線型經(jīng)驗公式中的a=304,b=1.12，立柱的臨界應力為立柱的臨界載荷為立柱的穩(wěn)定許用載荷為（3）強度校核。從型鋼表中查得，No25a工字鋼的腹板厚度δ=8.0mm，所以立柱中點C處橫截面的凈面積為該截面的工作應力為其值遠小于許用應力［σ］，立柱的強度也符合要求。顯然，該立柱的承載能力是由穩(wěn)定性決定的。9.4.3壓桿的合理設計

1.盡量減小壓桿長度

對于細長桿，其臨界載荷與壓桿相當長度的平方成反比，因此，減小桿長可以顯著提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點可以達到減小桿長的目的。例如，圖9－17所示的兩種桁架，其中的1桿和4桿均為壓桿，但圖9－17(b)中的壓桿的承載能力，要遠遠高于圖9－17(a)中的壓桿。圖9－17

2.改變壓桿的約束條件

支承的剛性越大，壓桿的長度系數(shù)μ值越小，臨界應力越大。例如，將兩端鉸支的細長壓桿變成兩端固定約束時，臨界應力將成數(shù)倍地增加。實際