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2023屆南昌市重點(diǎn)中學(xué)高三普通高考測(cè)試(二)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.2.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.a(chǎn)c<bc D.3.設(shè)命題函數(shù)在上遞增,命題在中,,下列為真命題的是()A. B. C. D.4.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1),則這個(gè)幾何體的體積是()A. B. C.16 D.325.已知雙曲線(xiàn)()的漸近線(xiàn)方程為,則()A. B. C. D.6.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]7.如圖所示,為了測(cè)量、兩座島嶼間的距離,小船從初始位置出發(fā),已知在的北偏西的方向上,在的北偏東的方向上,現(xiàn)在船往東開(kāi)2百海里到達(dá)處,此時(shí)測(cè)得在的北偏西的方向上,再開(kāi)回處,由向西開(kāi)百海里到達(dá)處,測(cè)得在的北偏東的方向上,則、兩座島嶼間的距離為()A.3 B. C.4 D.8.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.79.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魪膱A:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.10.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則其共軛復(fù)數(shù)()A. B. C. D.11.已知函數(shù)是奇函數(shù),則的值為()A.-10 B.-9 C.-7 D.112.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng),則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且滿(mǎn)足,則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為_(kāi)_____.14.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,其中是虛數(shù)單位,若是的共軛復(fù)數(shù),則____________.15.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則的最小值為_(kāi)_______.16.的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____;系數(shù)最大的項(xiàng)是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函數(shù)f(x)的最大值m;(2)正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+2b+3c=m,求證:18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,三棱柱中,與均為等腰直角三角形,,側(cè)面是菱形.(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn);當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)時(shí),的周長(zhǎng)為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),滿(mǎn)足,若點(diǎn)恰好在圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),(其中,).(1)求函數(shù)的最小值.(2)若,求證:.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對(duì)A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定,故錯(cuò)誤;對(duì)B,因?yàn)閥=cx為增函數(shù),且a>b,所以ca>cb,正確對(duì)C,因?yàn)閥=xc為增函數(shù),故,錯(cuò)誤;對(duì)D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù),故,錯(cuò)誤故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.3.C【解析】
命題:函數(shù)在上單調(diào)遞減,即可判斷出真假.命題:在中,利用余弦函數(shù)單調(diào)性判斷出真假.【詳解】解:命題:函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此是假命題.命題:在中,在上單調(diào)遞減,所以,是真命題.則下列命題為真命題的是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】幾何體為一個(gè)三棱錐,高為4,底面為一個(gè)等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為4,所以體積是,選A.5.A【解析】
根據(jù)雙曲線(xiàn)方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線(xiàn)方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)(),所以,又因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為,所以,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
作出可行域,表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率,觀(guān)察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率,,,過(guò)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)斜率為-1,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率,由直線(xiàn)與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.7.B【解析】
先根據(jù)角度分析出的大小,然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長(zhǎng)度,再根據(jù)正弦定理計(jì)算出的長(zhǎng)度,最后利用余弦定理求解出的長(zhǎng)度即可.【詳解】由題意可知:,所以,,所以,所以,又因?yàn)?,所以,所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的角度問(wèn)題,難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.8.B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
畫(huà)出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對(duì)應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€(xiàn),的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,考查線(xiàn)性可行域的畫(huà)法,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出,然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫(xiě)出即可.【詳解】由,所以其共軛復(fù)數(shù).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,難度較易.11.B【解析】
根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式,先求得的值,然后結(jié)合的奇偶性,求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值,考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力,分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.12.D【解析】
由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),得到,由此求得滿(mǎn)足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),得到,由此求得滿(mǎn)足條件的的值,即可求得答案.詳解:因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后,得到圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),得:,即,取,得,滿(mǎn)足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
由得時(shí),,兩式作差,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且滿(mǎn)足,①當(dāng)時(shí),,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以(首項(xiàng)不符合通項(xiàng)),故,所以:,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
由于,則.15.40【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù),可得,因?yàn)?,根?jù)均值不等式,即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式和靈活使用均值不等式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.16.【解析】
求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng);求出項(xiàng)的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,得,所以,展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為;令,令,即,解得,,,因此,展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的求解,同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解,涉及展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)利用絕對(duì)值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式證得不等式成立;方法二,利用“的代換”的方法,結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】(1)由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即,所以.法2:由得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式,屬于中檔題.18.(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)時(shí),根據(jù)絕對(duì)值不等式的定義去掉絕對(duì)值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集為,等價(jià)于,求出在的最小值即可.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),時(shí),不等式化為,解得,即時(shí),不等式化為,不等式恒成立,即時(shí),不等式化為,解得,即綜上所述,不等式的解集為(Ⅱ)不等式的解集為對(duì)任意恒成立當(dāng)時(shí),取得最小值為實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了函數(shù)絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用問(wèn)題,屬于常規(guī)題型.19.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,,通過(guò)證明,得,結(jié)合可證線(xiàn)面垂直,繼而可證面面垂直.(2)設(shè),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面的法向量,繼而可求二面角的余弦值.【詳解】解析:(1)取中點(diǎn),連接,,由已知可得,,,∵側(cè)面是菱形,∴,,,即,∵,∴平面,∴平面平面.(2)設(shè),則,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,令得.同理可求得平面的法向量,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定,考查了二面角的求解.一般在求二面角或者線(xiàn)面角的問(wèn)題時(shí),常建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)求面的法向量、線(xiàn)的方向向量,繼而求解.特別地,對(duì)于線(xiàn)面角問(wèn)題,法向量與方向向量的余角才是所求的線(xiàn)面角,即兩個(gè)向量夾角的余弦值為線(xiàn)面角的正弦值.20.(1);(2)或【解析】
(1)由橢圓的定義可知,焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為,從而求出.寫(xiě)出直線(xiàn)的方程,與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出和,從而寫(xiě)出橢圓的方程;(2)設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo),由可知點(diǎn)為的重心,根據(jù)重心坐標(biāo)公式可將點(diǎn)用P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示.由點(diǎn)在圓O上,知點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓O的方程,得式.為直線(xiàn)l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),用韋達(dá)定理表示,將其代入方程,再利用求得的范圍,最終求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:(1)由題意知.,直線(xiàn)的方程為∵直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為解得或(舍去),∴橢圓的方程為(2)設(shè).∴點(diǎn)為的重心,∵點(diǎn)在圓上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng),標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,其中重心坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于較難的題.21.(1).(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求得最小值;(2)利用分析法,只需證明,兩邊平方后結(jié)合即可得證.【詳解】(1),當(dāng)且
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