2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-概率-專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-概率-專項(xiàng)訓(xùn)練一．選擇題（共6小題）1．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立 C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立2．某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），則下列結(jié)論中不正確的是（）A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等3．為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6% B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10% C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間4．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種5．在區(qū)間（0，1）與（1，2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（）A． B． C． D．6．3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為（）A． B． C． D．二．多選題（共1小題）（多選）7．有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c為非零常數(shù)，則（）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同三．填空題（共3小題）8．甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為．9．已知花博會(huì)有四個(gè)不同的場(chǎng)館A，B，C，D，甲、乙兩人每人選2個(gè)去參觀，則他們的選擇中，恰有一個(gè)館相同的概率為．10．袋中有4個(gè)紅球，m個(gè)黃球，n個(gè)綠球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為ξ，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則m﹣n＝，E（ξ）＝．四．解答題（共5小題）11．某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．12．一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；（Ⅱ）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E（X）≤1時(shí)，p＝1，當(dāng)E（X）＞1時(shí)，p＜1；（Ⅲ）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．13．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

14．某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果﹣≥2，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．15．在核酸檢測(cè)中，“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè)，如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束；如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束．現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確．（Ⅰ）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè)．（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)：（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為．設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．（Ⅱ）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè)．設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E（Y）與（Ⅰ）中E（X）的大?。ńY(jié)論不要求證明）

參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．【解答】解：由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（?。剑?，A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），B：P（甲?。剑絇（甲）P（?。珻：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），D：P（丙?。?≠P（丙）P（丁），故選：B．2．【解答】解：因?yàn)槟澄锢砹康臏y(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），所以測(cè)量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對(duì)稱，且方差σ2越小，則分布越集中，對(duì)于A，σ越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由于概率分布關(guān)于10對(duì)稱，所以測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9，10.2）分布在10附近的區(qū)域大于（10，10.3）分布在10附近的區(qū)域，故測(cè)量結(jié)果落在（9.9，10.2）內(nèi)的概率大于落在（10，10.3）內(nèi)的概率，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D．3．【解答】解：對(duì)于A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5萬元，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項(xiàng)D正確．故選：C．4．【解答】解：5名志愿者選2個(gè)1組，有種方法，然后4組進(jìn)行全排列，有種，共有＝240種，故選：C．5．【解答】解：由題意可得可行域：，可得三角形的面積＝××＝，1﹣＝．故選：B．6．【解答】解：3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，排法總數(shù)N＝，其中兩端都不是女同學(xué)的排法種數(shù)為，則其中兩端都不是女同學(xué)的概率為P＝＝．故選：C．二．多選題（共1小題）7．【解答】解：對(duì)于A，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵標(biāo)準(zhǔn)差D（yi）＝D（xi+c）＝D（xi），∴兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故C正確；對(duì)于D，∵yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c為非零常數(shù)，x的極差為xmax﹣xmin，y的極差為（xmax+c）﹣（xmin+c）＝xmax﹣xmin，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故D正確．故選：CD．三．填空題（共3小題）8．【解答】解：∵一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為×（1﹣）＝，∴3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為+××（1﹣）＝．故答案為：；．9．【解答】解：甲選2個(gè)去參觀，有＝6種，乙選2個(gè)去參觀，有＝6種，共有6×6＝36種，若甲乙恰有一個(gè)館相同，則選確定相同的館有＝4種，然后從剩余3個(gè)館中選2個(gè)進(jìn)行排列，有＝6種，共有4×6＝24種，則對(duì)應(yīng)概率P＝＝，故答案為：．10．【解答】解：由題意，P（ξ＝2）＝，又一紅一黃的概率為，所以，解得m＝3，n＝2，故m﹣n＝1；由題意，ξ的可能取值為0，1，2，所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝，所以E（ξ）＝0×+1×+2×＝．故答案為：1；．四．解答題（共5小題）11．【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，則P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為：X020100P0.20.320.48（2）由（1）可知小明先回答A類問題累計(jì)得分的期望為E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，則Y的期望為E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，因?yàn)镋（Y）＞E（X），所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．12．【解答】（Ⅰ）解：由題意，p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，故E（X）＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1；（Ⅱ）證明：由題意可知，p0+p1+p2+p3＝1，則E（X）＝p1+2p2+3p3，所以p0+p1x+p2x2+p3x3＝x，變形為p0﹣（1﹣p1）x+p2x2+p3x3＝0，所以p0+p2x2+p3x3﹣（p0+p2+p3）x＝0，即p0（1﹣x）+p2x（x﹣1）+p3x（x﹣1）（x+1）＝0，即（x﹣1）[p3x2+（p2+p3）x﹣p0]＝0，令f（x）＝p3x2+（p2+p3）x﹣p0，若p3≠0時(shí)，則f（x）的對(duì)稱軸為，注意到f（0）＝﹣p0＜0（若p0＝0，則E（X）≤1不成立，當(dāng)E（X）＝1，卻有p＝1），f（1）＝2p3+p2﹣p0＝p1+2p2+3p3﹣1＝E（X）﹣1，若p3＝0時(shí)，f（1）＝E（X）﹣1，當(dāng)E（X）≤1時(shí)，f（1）≤0，f（x）＝0的正實(shí)根x0≥1，原方程的最小正實(shí)根p＝1，當(dāng)E（X）＞1時(shí)，f（1）＝p1+2p2+3p3﹣1＞0，f（x）＝0的正實(shí)根x0＜1，原方程的最小正實(shí)根p＜1，（Ⅲ）解：當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望小于等于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕；當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望大于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能．13．【解答】解：（1）由題意可得，甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)均為200件，因?yàn)榧椎囊患?jí)品的頻數(shù)為150，所以甲的一級(jí)品的頻率為；因?yàn)橐业囊患?jí)品的頻數(shù)為120，所以乙的一級(jí)品的頻率為；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，可得K2＝＝≈10.256＞6.635．所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．14．【解答】解：（1）由題中的數(shù)據(jù)可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10，＝（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）＝10.3，＝[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（1