2024-2025學(xué)年四川省眉山市東坡區(qū)高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省眉山市東坡區(qū)高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．若奇函數(shù)和偶函數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C．和 D．和6．已知，化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．7．函數(shù)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)若存在，且，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)和函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)B．若，則C．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是D．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使B．“”是“”的充分不必要條件C．命題“，”的否定是真命題D．“在上單調(diào)遞增”是“”的必要不充分條件11．高斯函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要函數(shù)，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影．設(shè)，用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，如稱(chēng)函數(shù)叫做高斯函數(shù)．下列關(guān)于高斯函數(shù)的說(shuō)法正確的有（

）A．B．若，則C．函數(shù)的值域是D．函數(shù)在上單調(diào)遞增三、填空題12．已知，且，則.13．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，那么不等式的解集是．

14．定義若函數(shù)則的最大值為；若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為四、解答題15．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式；（3）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足.16．已知冪函數(shù)為定義域上的偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求使不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.17．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最大值；(3)若對(duì)所有的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．我縣提出了“科技強(qiáng)縣”的發(fā)展目標(biāo)，通江縣工業(yè)園區(qū)為響應(yīng)這一號(hào)召，計(jì)劃在年投資新技術(shù)，生產(chǎn)某種機(jī)器零件，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此種機(jī)器零件全年需投入固定成本萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件機(jī)器零件，需另投入變動(dòng)成本萬(wàn)元，且由市場(chǎng)調(diào)研知每件機(jī)器零件的批發(fā)價(jià)為元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的機(jī)器零件當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．(1)試寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．（注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入固定成本變動(dòng)成本）19．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬?duì)任意的非零實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；(3)若，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)答案題號(hào)12345678910答案ADCCCDCAABBCD題號(hào)11答案ABD1．A【分析】利用自然數(shù)集的定義化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：A.2．D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，錯(cuò)誤的可舉例說(shuō)明．【詳解】，例如，此時(shí)，，，ABC均錯(cuò)；時(shí)，，，即，D正確．故選：D．3．C【分析】利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可得出的值.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)和偶函數(shù)滿(mǎn)足，則，即，解得，因此，.故選：C.4．C【分析】根據(jù)單調(diào)性和奇偶性分析判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)樵诙x域內(nèi)為增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)樵诙x域內(nèi)不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；所以故C在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知在定義域內(nèi)不單調(diào)，故D錯(cuò)誤；故選：C.5．C【分析】作出函數(shù)的圖象，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線，由可得或，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.故選：C.6．D【分析】化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再計(jì)算即可．【詳解】，故選：D.7．C【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，，解得．故選：C．8．A【分析】首先確定時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸，分別在和兩種情況下，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和數(shù)形結(jié)合的方式確定不等關(guān)系求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口方向向下，對(duì)稱(chēng)軸為的二次函數(shù)，①當(dāng)，即時(shí)，由二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性知：必存在，使得；②當(dāng)，即時(shí)，若存在，使得，則函數(shù)圖象需滿(mǎn)足下圖所示：

即，解得：，；綜上所述.故選：A.思路點(diǎn)睛：根據(jù)可知分段函數(shù)某一段自身具有對(duì)稱(chēng)軸或兩個(gè)分段的值域有交集，通過(guò)函數(shù)圖象進(jìn)行分析即可確定結(jié)果.9．AB【分析】對(duì)A：根據(jù)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，即可判斷；對(duì)B：利用換元法，即可求得函數(shù)解析式；對(duì)C：根據(jù)抽象函數(shù)定義域求解方法，直接求解即可；對(duì)D：由的單調(diào)性，結(jié)合題意，列出關(guān)于的不等式，求解即可.【詳解】對(duì)A：由，且兩個(gè)函數(shù)定義域相同，均為，故函數(shù)和函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，A正確；對(duì)B：令，則，故1，即，B正確；對(duì)C：由，得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有，即，D錯(cuò)誤.故選:AB.10．BCD【分析】對(duì)于A，由實(shí)數(shù)的平方的非負(fù)性可判斷；對(duì)于B，利用不等式的性質(zhì)判斷即可；對(duì)于C，先表示出原命題的否定，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；對(duì)于D，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，得，則不存在實(shí)數(shù)使得方程成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，充分性成立；假設(shè)，，滿(mǎn)足，此時(shí)不成立，必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C，命題“，”的否定是“，”，因?yàn)楹愠闪?，所以“，”是真命題，即命題“，”的否定是真命題，故C正確；對(duì)于D，由，得二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸方程為，則單調(diào)遞增區(qū)間為，若在上單調(diào)遞增，則，所以，解得，故充分性不成立；若，則，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，故必要性成立；所以“在上單調(diào)遞增”是“”的必要不充分條件，故D正確；故選：BCD11．ABD【分析】由高斯函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)A，由高斯函數(shù)的定義，可得，故A正確；對(duì)B，若，則，而表示不大于x的最大整數(shù)，則，即，故B正確；對(duì)C，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù)，即函數(shù)為分段函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.12．7【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合即可求解.【詳解】，則則有，若，則故13．或【分析】根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，補(bǔ)全函數(shù)在上的圖象，找到自變量x與函數(shù)異號(hào)的部分，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)在上的圖象如圖所示，所以的解集為或.故或.

14．5【分析】先表示出的解析式，然后作出的圖象，根據(jù)圖象求解出最大值；結(jié)合圖象分析值域?yàn)闀r(shí)定義域的情況，由此確定出的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，所以，作出的圖象如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，有最大值，所以；當(dāng)時(shí)，解得或或；當(dāng)時(shí)，解得或，由,結(jié)合圖象可知，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則最大值為，故5，.思路點(diǎn)睛：本題考查取最小值函數(shù)的應(yīng)用，處理這一類(lèi)函數(shù)時(shí)，圖象法是首選方法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想能高效的將問(wèn)題簡(jiǎn)化.常見(jiàn)的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的數(shù)目；（2）求參數(shù)范圍；（3）解不等式；（4）研究函數(shù)性質(zhì).15．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)題意利用換元法分析運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意利用構(gòu)建方程組法運(yùn)算求解；（3）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法運(yùn)算求解【詳解】（1）令，則，可得，所以；（2）因?yàn)椋傻?，即，消去可得；?）設(shè)，因?yàn)?，即，整理得，所以，解得，所?16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和偶函數(shù)的知識(shí)即可得解.（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求得不等式的解集.【詳解】（1）由于是冪函數(shù)，所以或，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，是定義在R上的偶函數(shù)，符合題意.所以.（2）由（1）得是定義在R上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，所以等式即，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得，所以不等式的解集為.17．(1)；(2)；(3)或.【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)求得并驗(yàn)證即得.（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值.（3）利用（2）的結(jié)論，構(gòu)造一次函數(shù)，建立不等式即可求得的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，，由，得，解得，于是，顯然，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以的解析式是.（2）且，即，則，，則，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最大值為.（3）由（2）及對(duì)所有的恒成立，得，依題意，，，令，因此，恒成立，則，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.18．(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為萬(wàn)元.【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況，求出的解析式，從而得解；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式分別求得兩段解析式的最大值，從而比較得解.【詳解】（1）因?yàn)槊考C(jī)器零件的批發(fā)價(jià)為元，所以萬(wàn)件機(jī)器零件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.；（2）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為萬(wàn)元.19．(1)偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）采用賦值法可求得，取即可得到奇偶性；（2）任取，令，，結(jié)合已知等式和在上的正負(fù)即可得到結(jié)論；（3）記在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，將?wèn)題轉(zhuǎn)化為；根據(jù)的單調(diào)性可求得；分別在、和的情況下，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)對(duì)稱(chēng)性求得，根據(jù)包含關(guān)系可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）令，則，；令，則