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文檔簡介
湖南省湘潭縣一中、雙峰一中、邵東一中、永州四中2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()A. B. C. D.3.如圖所示,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.4.運行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.20175.命題“”的否定為()A. B.C. D.6.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.7.學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級.某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科,這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中,這兩科等級均為的學(xué)生有人,這兩科中僅有一科等級為的學(xué)生,其另外一科等級為,則該班()A.物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人B.物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至少有人C.這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至多有人D.這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至少有人8.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.9.在直角坐標(biāo)平面上,點的坐標(biāo)滿足方程,點的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是()A. B. C. D.10.若P是的充分不必要條件,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-312.拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則____________.14.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,,則球的表面積為__________.15.已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列,若,,則______.16.(5分)函數(shù)的定義域是____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項,第3項,第4項.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項的和.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于、兩點,求的面積.20.(12分)唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計算機上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機抽取了500篇,統(tǒng)計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機抽取一篇,則它屬于哪個類別的可能性最大,屬于哪個類別的可能性最小,并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應(yīng)的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63521.(12分)記無窮數(shù)列的前項中最大值為,最小值為,令,則稱是“極差數(shù)列”.(1)若,求的前項和;(2)證明:的“極差數(shù)列”仍是;(3)求證:若數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列.22.(10分)設(shè)數(shù)列的前n項和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式﹔(2)設(shè),求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時,數(shù)形結(jié)合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個,解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時,,數(shù)形結(jié)合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當(dāng)時,作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當(dāng)時,實數(shù)的取值范圍是.故選D.2、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因為雞蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題,考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時,可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面,然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.4、D【解析】
依次運行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.5、C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)題意分別計算出物理等級為,化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為,化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù),結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進行分析,可得出合適的選項.【詳解】根據(jù)題意可知,名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人(其中物理化學(xué)的有人,物理化學(xué)的有人),表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對于A選項,物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人,A選項錯誤;對于B選項,當(dāng)物理和,化學(xué)都是時,或化學(xué)和,物理都是時,物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少,至少為(人),B選項錯誤;對于C選項,在表格中,除去物理化學(xué)都是的學(xué)生,剩下的都是一科為且最高等級為的學(xué)生,因為都是的學(xué)生最少人,所以一科為且最高等級為的學(xué)生最多為(人),C選項錯誤;對于D選項,物理化學(xué)都是的最多人,所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生最少(人),D選項正確.故選:D.【點睛】本題考查合情推理,考查推理能力,屬于中等題.8、A【解析】
由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當(dāng)時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.9、B【解析】
由點的坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,由坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點的坐標(biāo)滿足方程,在圓上,在坐標(biāo)滿足方程,在圓上,則作出兩圓的圖象如圖,設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與,由圖可知,設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為,則,圓心在內(nèi)公切線兩側(cè),,可得,,化為,,即,,的取值范圍,故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象,充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡,并迎刃而解.10、B【解析】
試題分析:通過逆否命題的同真同假,結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可.由p是的充分不必要條件知“若p則”為真,“若則p”為假,根據(jù)互為逆否命題的等價性知,“若q則”為真,“若則q”為假,故選B.考點:邏輯命題11、B【解析】
根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因為,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12、A【解析】
先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值,再利用雙曲線的定義可求得a的值,即可求得離心率.【詳解】由題意知,拋物線焦點F1,0,準(zhǔn)線與x軸交點F'(-1,0),雙曲線半焦距c=1,設(shè)點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥拋物線的準(zhǔn)線,從而PF⊥x軸,所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合,分析題目,畫出圖像,熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由于,,則.14、【解析】
如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,計算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力,將三棱錐補成長方體是解題的關(guān)鍵.15、【解析】
,建立方程組,且,求出,進而求出的公比,即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列,,,解得,所以的公比為,.
故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
要使函數(shù)有意義,則,即,解得,故函數(shù)的定義域是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,根據(jù)中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,再求得平面的法向量與平面的法向量進而求得二面角的余弦值即可.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點,連接.又為的中點,則是的中位線.所以且.又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因為,為的中點,所以.因為,所以.因為平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.(2)易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:因為,所以點.則.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得平面的一個法向量為;顯然平面的一個法向量為;設(shè)二面角的大小為,則.故二面角的余弦值是.【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的問題,需要用到線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)換以及法向量的求法等.屬于中檔題.18、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列和的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,再利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前2020項的和.【詳解】(1)依題意得:,所以,所以解得設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以又(2)由(1)知,因為①當(dāng)時,②由①②得,,即,又當(dāng)時,不滿足上式,.數(shù)列的前2020項的和設(shè)③,則④,由③④得:,所以,所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì),錯位相減法求和,考查學(xué)生的邏輯推理能力,化歸與轉(zhuǎn)化能力及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.是中檔題.19、(1),;(2).【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以,結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)計算出直線截圓所得弦長,并計算出原點到直線的距離,利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1)由得,故直線的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲線的直角坐標(biāo)方程是;(2)因為曲線的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為,則弦長.又到直線的距離為,所以.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算,考查計算能力,屬于中等題.20、(1)該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最小;屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序為“花”,“簾”【解析】
(1)根據(jù)統(tǒng)計圖表算出頻率,比較大小即可判斷;(2)根據(jù)統(tǒng)計圖表完成列聯(lián)表,算出觀測值,查表判斷.【詳解】(1)由上表可知,該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為;(2)列聯(lián)表如下:屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計100400500計算得:;因為,,所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系,故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關(guān)鍵字,而“山”不是;又因為,故選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序為“花”,“簾”.【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖表、頻率與概率的關(guān)系、用樣本估計總體、獨立性檢驗
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