新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時質(zhì)量評價56兩個計數(shù)原理排列與組合

PAGEPAGE1課時質(zhì)量評價(五十六)A組全考點鞏固練1．現(xiàn)有甲、乙、丙三種樹苗可供選擇，分別種在一排五個坑中，要求相同的樹苗不能相鄰，第一、五坑內(nèi)只能種甲種樹苗，則不同的種法共有()A．4種 B．5種C．6種 D．7種C解析：依據(jù)題意，分2種狀況探討：①若二、四號坑種的樹苗相同，則二、四號坑有2種選擇，三號坑有2種選擇，此時有2×2＝4種種法，②若二、四號坑種的樹苗不同，則二、四號坑有2×1＝2種選擇，三號坑有1種選擇，此時有2×1＝2種種法．則有4＋2＝6種不同的種法．故選C．2．6名同學(xué)和1名老師去參觀“宏大征程——慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年特展”，參觀結(jié)束后他們排成一排照相留念．若老師站在正中間，甲、乙兩同學(xué)相鄰，則不同的排法共有()A．240種 B．192種C．120種 D．96種B解析：共有7個人，老師在正中間，則老師左右各3人，所以甲、乙相鄰在老師左右共有4種狀況滿意，剩下4人全排即可，所以不同的排法共有4×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(4,4)＝192種．故選B．3．(2024·廣州期末)A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必需相鄰且B在A的左邊，那么不同的排法共有()A．24種 B．36種C．48種 D．60種A解析：依據(jù)題意，分2步進行分析：①A，B必需相鄰且B在A的左邊，將AB看成一個整體，有1種排法；②將AB整體與C，D，E全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法，則共有1×24＝24種排法．故選A．4．(2024·棗莊期末)一名同學(xué)有2本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，現(xiàn)要將這些書放在一個單層的書架上．假如要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，則不同放法的種數(shù)為()A．24 B．12C．120 D．60A解析：依據(jù)題意，要求不使同類的書分開，即同類的書相鄰，先將2本不同的數(shù)學(xué)書看成一個整體，再將3本不同的物理書看成一個整體，最終將兩個整體全排列，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝24種不同放法．故選A．5．冼太夫人故里、放雞島、竇州古城、茂名森林公園這4個景區(qū)均為廣東茂名市的熱門旅游景區(qū)．現(xiàn)有5名學(xué)生確定于今年暑假前往這4個景區(qū)旅游．若每個景區(qū)至少有1名學(xué)生前去，且每名學(xué)生只去一個景點，則不同的旅游方案種數(shù)為()A．120 B．180C．240 D．360C解析：依據(jù)題意，分2步進行分析：①將5名學(xué)生分為4組，有Ceq\o\al(2,5)＝10種分組方法；②將分好的4組全排列，支配到4個景區(qū)旅游，有Aeq\o\al(4,4)＝24種支配方法．則共有10×24＝240種支配方法．故選C．6．若把一句話“我愛大中華”的漢字依次寫錯了，則可能出現(xiàn)錯誤的狀況共有________種．119解析：依據(jù)題意，“我愛大中華”五個字排成一排，有Aeq\o\al(5,5)＝120種不同的依次，其中正確的只有1種，則可能出現(xiàn)錯誤的狀況有120－1＝119種．7．高考期間，某校高三年級租用大巴車送考，原則上每班一輛車，但由于高三(1)班人數(shù)較多，坐滿一輛車之后還余下7名同學(xué)．現(xiàn)有高三(2)、(3)、(4)班的選考車輛分別剩余2,3,3個空位，要把這7名同學(xué)都支配到這三輛車中，則共有______種不同的支配方法．560解析：依據(jù)題意，余下的7人坐車，還有8個空座位，可以看成7個人再加上一個空位，支配在8個空座位上的問題，有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝560種支配方法8．有8名學(xué)生排成一排照相，求滿意下列要求的排法的種數(shù)．(1)甲、乙兩人相鄰；(2)丙、丁兩人不相鄰；(3)甲站在丙、丁兩人的中間(未必相鄰)．解：(1)依據(jù)題意，將甲、乙看成一個整體，與其他6人全排列即可，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)＝10080(種)排法．(2)依據(jù)題意，將8人全排列，有Aeq\o\al(8,8)種排法，其中丙、丁相鄰的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)種，則丙、丁兩人不相鄰的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)＝30240(種)．(3)依據(jù)題意，將8人全排列，有Aeq\o\al(8,8)種排法，甲、丙、丁三人的排法有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，其中甲站在丙、丁兩人的中間有2種，則有甲站在丙、丁兩人的中間有eq\f(A\o\al(2,2)×A\o\al(8,8),A\o\al(3,3))＝13440(種)．9．(2024·長沙月考)甲、乙、丙三位老師指導(dǎo)五名學(xué)生a，b，c，d，e參與全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽，每位老師至少指導(dǎo)一名學(xué)生．(1)若每位老師至多指導(dǎo)兩名學(xué)生，求共有多少種安排方案；(2)若老師甲只指導(dǎo)其中一名學(xué)生，求共有多少種安排方案．解：(1)依據(jù)題意，分2步進行分析：①將5名學(xué)生分成3組，人數(shù)分別為(2,2,1)，有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15(種)分組方法，②將分好的三組全排列，支配給三位老師，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)狀況，則有15×6＝90(種)安排方案．(2)依據(jù)題意，分2步進行分析：①從5名學(xué)生任選1名學(xué)生安排給甲老師指導(dǎo)，有5種狀況，②剩下4名學(xué)生分成2組，支配其余兩位老師輔導(dǎo)，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＋C\o\al(3,4)))×Aeq\o\al(2,2)＝14(種)狀況，則有5×14＝70(種)安排方案．B組新高考培優(yōu)練10．某校進行體育抽測，甲與乙兩名同學(xué)都要在100m跑、立定跳遠(yuǎn)、鉛球、引體向上、三級跳遠(yuǎn)這5項運動中，選出3項進行測試．假定他們對這五項運動沒有偏好，則他們選擇的結(jié)果中至少有兩項相同運動的選法種數(shù)為()A．70 B．50C．30 D．20A解析：依據(jù)題意，分2種狀況探討：①他們選擇的結(jié)果中有兩項相同運動，有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,3)＝60種選法．②他們選擇的結(jié)果中有三項相同運動，有Ceq\o\al(3,5)＝10種選法，則共有60＋10＝70種選法．故選A．11．(多選題)(2024·重慶校級期中)現(xiàn)支配甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參與2024年杭州亞運會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作可以支配，則以下說法正確的是()A．若每人都支配一項工作，則不同的方法數(shù)為45B．若每項工作至少有1人參與，則不同的方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．假如司機工作擔(dān)心排，其余三項工作至少支配1人，則這5名同學(xué)全部被支配的不同方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)D．每項工作至少有1人參與，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同支配方案的種數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)AD解析：依據(jù)題意，依次分析選項：對于A，若每人都支配一項工作，每人有4種支配方法，則有45種支配方法，A正確；對于B，分2步進行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，支配4項工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種支配方法，B錯誤；對于C，分2步分析：須要先將5人分為3組，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))種分組方法，將分好的三組支配翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項工作，有Aeq\o\al(3,3)種狀況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種支配方法，C錯誤；對于D，分2種狀況探討：①從丙，丁，戊中選出1人開車，②從丙，丁，戊中選出2人開車，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種支配方法，D正確．故選AD．12．(多選題)現(xiàn)有3名男生和4名女生，在下列不同條件下進行排列，則()A．排成前后兩排，前排3人后排4人的排法共有5400種B．全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾的排法共有3600種C．全體排成一排，女生必需站在一起的排法共有576種D．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有1440種BCD解析：依據(jù)題意，依次分析選項：對于A，將7名學(xué)生排成前后兩排，前排3人后排4人的排法，有Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝5040種排法，A錯誤；對于B，甲不站排頭也不站排尾，有5種狀況，將剩下的6人全排列，有Aeq\o\al(6,6)種排法，則有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600種排法，B正確；對于C，將4名女生看成一個整體，有Aeq\o\al(4,4)種排法，將這個整體與3名男生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，則有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576種排法，C正確；對于D，先排4名女生，有Aeq\o\al(4,4)種排法，排好后有5個空位，在5個人空位中任選3個，支配3名男生，有Aeq\o\al(3,5)種排法，則有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝1440種排法，D正確．13．(2024·湖南模擬)某公司銷售六種不同型號的新能源電動汽車A，B，C，D，E，F(xiàn)．為了讓顧客選出自己心儀的電動汽車，把它們按依次排成一排，A必需支配在前兩個位置，B，C不相鄰，則不同的排法有()A．144種 B．156種C．160種 D．178種B解析：依據(jù)題意，分2種狀況探討：①A排在第一位，先將D，E，F(xiàn)排好，再將B，C支配在空位中，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72種排法．②A排在其次位，若B或C中有1個排在第一位，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種排法；若D，E，F(xiàn)中有1個排在第一位，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝36種排法，則此時有48＋36＝84種排法．則共有72＋84＝156種排法．14．(2024·杭州模擬)某省派出由4名醫(yī)生、5名護士組成的醫(yī)療小組前往疫區(qū)支援，要求將這9名醫(yī)護人員平均派往某地的A，B，C3家醫(yī)院，且每家醫(yī)院至少要分到一名醫(yī)生和一名護士，則不同的安排方案有________種．(用數(shù)字作答)1080解析：由題意可知，4名醫(yī)生要安排到3家醫(yī)院，且每家醫(yī)院至少有一名醫(yī)生，則必有一家醫(yī)院有2名醫(yī)生，其余2家醫(yī)院各有1名醫(yī)生．假設(shè)A醫(yī)院安排的是2名醫(yī)生1名護士，則B，C醫(yī)院均安排1名醫(yī)生2名護士，則安排方案有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝360(種)，故不同的安排方案有360×3＝1080(種)．15．學(xué)校擬支配6位老師在今年6月12日至14日端午值班，每天支配2人，每人值班1天；若6位老師中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，則不同的支配方法共有________種．36解析：依據(jù)題意，分2步進行分析：①將6人分為3組，要求甲、乙不在同一組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))－eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝12種分組方法．②若甲所在的組在14日值班，有Aeq\o\al(2,2)＝2種支配方法；若甲所在的組在13日值班，則乙所在的組必需在12日值班，有1種支配方法．則有3種值班支配方法．故共有12×3＝36種支配方法．16．現(xiàn)有5本書和3位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué)(要求用數(shù)字作答)．(1)若5本書完全相同，求共有多少種分法；(2)若5本書都不相同，每個同學(xué)至少有一本書，求共有多少種分法；(3)若5本書僅有兩本相同，按一人3本另兩人各1本安排，求共有多少種分法．解：(1)依據(jù)題意，5本書完全相同，將這5本書和2個擋板排成一排，利用擋板將5本書分為3組，對應(yīng)3位同學(xué)即可，則有Ceq\o\al(2,7)＝21(種)不同的分法．(2)依據(jù)題意，分2步進行分析：①將5本書分成3組，若分成1,1,3的三組，有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝10(種)分組方法．若分成1,2,2的三組，有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝15(種)分組方法，從而分組方法有10＋15＝25(種)．②將分好的三組全排列，對應(yīng)3名學(xué)生，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)狀況，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，故共有25×6＝150(種)分法．(3)記這5本書分別為A，A，B，C，D,5本書取其3本安排時，①不含A時僅有一種分組，再安排給3人，有3種方法；②僅含一個A時，分組的方法有Ceq\o\al(2,3)種，再安排給3人，共有Ceq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(3,3)＝18(種)方法；③含兩個A時，分組的方法有Ceq\o\al