新教材適用2024-2025學年高中數學第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊

第8章8.68.6.3第1課時A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．下列命題中正確的是(C)A．若平面α和β分別過兩條相互垂直的直線，則α⊥βB．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條平行直線，則α⊥βC．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線，則α⊥βD．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的多數條直線，則α⊥β[解析]當平面α和β分別過兩條相互垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯誤；由直線與平面垂直的判定定理和平面與平面垂直的判定定理知，B，D錯誤，C正確．2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(C)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．eq\r(3)[解析]如圖所示，連接AC交BD于O，連接A1O，∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．設A1A＝a，則AO＝eq\f(\r(2),2)a，所以tan∠A1OA＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).3．已知直線l，兩個不同的平面α，β，下列命題正確的是(A)A．若l∥α，l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，則l∥βC．若l∥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β[解析]因為l∥α，則在平面α內存在直線a使得l∥a，又l⊥β，所以a⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故A正確；若α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，故B錯誤；若l∥α，l∥β，則α∥β或α與β相交，故C錯誤；若α⊥β，l∥α，則l⊥β或l∥β或l?β或l與β相交(不垂直)，故D錯誤；故選A.4．已知直線a，b與平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的條件是(D)A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?βC．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β[解析]由a∥α，知α內必有直線l與a平行，而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.5．(多選題)在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結論中正確的是(ABD)A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD[解析]對于A選項，AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；對于B選項，由BC⊥AB，BC⊥PA，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；對于D選項，CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.二、填空題6．假如規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則x＝z，叫做x，y，z關于相等關系具有傳遞性，那么空間三個平面α，β，γ關于相交、垂直、平行這三種關系中具有傳遞性的是_平行__.[解析]由平面與平面的位置關系及兩個平面平行、垂直的定義、判定定理，知平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性．7.在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右圖所示，則在三棱錐P－ABC的四個面中，相互垂直的面有_3__對．[解析]∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可證：平面PAB⊥平面PAC.8．如圖所示，平面α⊥平面β，在α與β交線上取線段AB＝4，AC，BD分別在平面α和β內，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，則CD＝_13__.[解析]連接BC.∵BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，∴BD⊥α，∵BC?α，∴BD⊥BC，∴△CBD是直角三角形．在Rt△BCD中，CD＝eq\r(52＋122)＝13.三、解答題9.如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中點．(1)求證：DE＝DA；(2)求證：平面BDM⊥平面ECA.[證明](1)取EC的中點F，連接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝eq\f(1,2)CE＝DB，DF＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)取AC的中點N，連接MN、BN，則MN綉CF.∵BD綉CF，∴MN綉B(tài)D，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.10.(2024·河北衡水中學高一聯考)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1.(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求四棱錐P－ABCD的體積．[解析](1)證明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝eq\r(3).因為PC＝2，BC＝1，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB.因為∠ABC＝90°，所以BC⊥AB.因為PB∩AB＝B，PB?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.(2)在平面PAB內，過點P作PE⊥AB，交BA的延長線于點E，如圖所示．由(1)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PE.因為AB∩BC＝B，所以PE⊥平面ABCD.因為在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝eq\f(\r(3),2).因為四邊形ABCD是直角梯形，所以四棱錐P－ABCD的體積為VP－ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長都相等，則二面角A1－BC－A的余弦值為(B)A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(21),7)C.eq\f(\r(7),7) D.eq\f(2\r(7),7)[解析]取BC的中點M，連接AM，A1M，因為△ABC為等邊三角形，則AM⊥BC，又因為AA1⊥平面ABC，AB，AC，AM?平面ABC，則AA1⊥AB，AA1⊥AC，AA1⊥AM，可知△AA1B≌△AA1C，可得A1B＝A1C，則A1M⊥BC，所以二面角A1－BC－A的平面角為∠AMA1，設AB＝2，則A1A＝2，AM＝eq\r(3)，A1M＝eq\r(A1A2＋AM2)＝eq\r(7)，所以cos∠AMA1＝eq\f(AM,A1M)＝eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).故選B.2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1C1上的點，則下列直線中肯定與CE垂直的是(B)A．AC B．BDC．A1D1 D．A1A[解析]在正方體中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C.∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，∴CE?平面AA1C1C，∴BD⊥CE.3．(多選題)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中則有(AD)A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．平面EFH⊥平面AEFD．平面AFH⊥平面EFH[解析]由平面圖得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF且平面AFH⊥平面EFH，故選AD.二、填空題4．在三棱錐S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，則二面角S－AC－B的大小為_90°__.[解析]因為AC⊥平面SBC，SC，BC?平面SBC，∴AC⊥SC，AC⊥BC，∴二面角S－AC－B的平面角為∠SCB.又SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB為直角三角形，∴∠SCB＝90°.5．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿意_BM⊥PC(其他合理即可)__時，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填寫一個你認為正確的條件即可)[解析]∵四邊形ABCD的邊長相等，∴四邊形ABCD為菱形．∵AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，則PC垂直于平面BMD中兩條相交直線．∴當BM⊥PC時，PC⊥平面BDM.∴平面PCD⊥平面BDM.三、解答題6．(2024·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點．證明：平面BED⊥平面ACD.[證明]因為AD＝CD，E為AC的中點，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因為AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因為E為AC的中點，所以AC⊥BE；又因為DE，BE?平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因為AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.C組·探究創(chuàng)新如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點C到平面C1DE的距離．[解析](1)證明：連接B1C，ME.因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因為N為A1D的中點，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由題設知A1B1綉DC，可得B1C綉A1D，故ME綉ND，因此四邊形MNDE為平行四