新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第八章8.3A組·基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1．(多選)下列說法正確的是(AB)A．事務(wù)A與B獨(dú)立，即兩個(gè)事務(wù)互不影響B(tài)．事務(wù)A與B關(guān)系越親密，則χ2就越大C．χ2的大小是判定事務(wù)A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù)D．若判定兩事務(wù)A與B相關(guān)，則A發(fā)生B肯定發(fā)生[解析]由事務(wù)的獨(dú)立性知，A選項(xiàng)正確；由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義知，B選項(xiàng)正確；χ2的大小是判定事務(wù)A與B是否相關(guān)的一種方法，不是唯一依據(jù)，C選項(xiàng)不正確；若事務(wù)A與B相關(guān)，則A發(fā)生B可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，D選項(xiàng)不正確．2．分類變量X和Y的列表如下，則下列說法推斷正確的是(C)y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說明X和Y關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明X和Y關(guān)系越強(qiáng)C．(ad－bc)2越大，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)[解析]列聯(lián)表可以較為精確地推斷兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系程度，由χ2＝eq\f(a＋b＋c＋dad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，當(dāng)(ad－bc)2越大，χ2越大，表明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)．(ad－bc)2越接近0，說明兩個(gè)分類變量X和Y無關(guān)的可能性越大．3．為考察某種藥物對(duì)預(yù)防禽流感的效果，在四個(gè)不同的試驗(yàn)室取相同的個(gè)體進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，依據(jù)四個(gè)試驗(yàn)室得到的列聯(lián)表畫出如下四個(gè)等高積累條形圖，最能體現(xiàn)該藥物對(duì)預(yù)防禽流感有顯著效果的圖形是(D)[解析]分析四個(gè)等高條形圖得選項(xiàng)D中，不服用藥物患病的概率最大，服用藥物患病的概率最小，所以最能體現(xiàn)該藥物對(duì)預(yù)防禽流感有顯著效果，故選D.4．為了了解手機(jī)品牌的選擇是否和年齡的大小有關(guān)，隨機(jī)抽取部分A品牌手機(jī)運(yùn)用者和B品牌手機(jī)運(yùn)用者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：年齡手機(jī)品牌合計(jì)A品牌B品牌30歲以上40206030歲以下(含30歲)152540合計(jì)5545100依據(jù)表格計(jì)算得χ2≈8.249，據(jù)此推斷下列結(jié)論正確的是(C)A．沒有任何把握認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小有關(guān)”B．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小有關(guān)”C．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小有關(guān)”D．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小無關(guān)”[解析]χ2≈8.249>6.635＝x0.01，由小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小有關(guān)”．5．已知隨機(jī)事務(wù)A與B的樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下：項(xiàng)目Aeq\x\to(A)總計(jì)Bm12－m12eq\x\to(B)10－m20＋m30總計(jì)103242其中m,12－m均為大于4的整數(shù)，若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下“推斷A和B之間有關(guān)系”時(shí)，則m＝(B)附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).α0.100.050.0250.0100.005xα2.7063.8415.0246.6357.879A.6 B．7C．8 D．9[解析]由題意可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>4，,12－m>4，))解得4<m<8，即m只能取5,6,7，由表中數(shù)據(jù)可得，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(42[m20＋m－12－m10－m]2,10×32×12×30)≥6.635，解得m≥6.07，故m＝7.二、填空題6．假如依據(jù)性別與是否愛好運(yùn)動(dòng)的列聯(lián)表得到χ2≈3.852＞3.841，則推斷性別與是否愛好運(yùn)動(dòng)有關(guān)，那么這種推斷犯錯(cuò)誤的可能性不超過5%.[解析]因?yàn)镻(χ2≥3.841)≈0.05.所以推斷性別與是否愛好運(yùn)動(dòng)有關(guān)，出錯(cuò)的可能性不超過5%.7．若兩個(gè)分類變量x和y的列聯(lián)表為：yxy1y2x1515x24010則x與y之間有關(guān)系的概率約為0.999.[解析]χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈18.822.∵18.822>10.828，∴x與y之間有關(guān)系的概率約為1－0.001＝0.999.8．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：項(xiàng)目y1y2合計(jì)x1a2170x25c30合計(jì)bd100則b－d＝_8__，χ2≈_24.047__.(保留小數(shù)點(diǎn)后3位)[解析]由2×2列聯(lián)表得：a＝49，b＝54，c＝25，d＝46.所以b－d＝54－46＝8.χ2＝eq\f(100×49×25－5×212,70×30×54×46)≈24.047.三、解答題9．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量狀況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解析](1)依據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是eq\f(150,200)＝0.75，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是eq\f(120,200)＝0.6.(2)依據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(400×150×80－120×502,200×200×270×130)＝eq\f(400,39)≈10.256.因?yàn)?0.256>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．10．為加強(qiáng)環(huán)境愛護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計(jì)事務(wù)“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；(2)依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度是否有關(guān)？[解析](1)依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計(jì)值為eq\f(64,100)＝0.64.(2)依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)零假設(shè)H0：該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān)．依據(jù)(2)的列聯(lián)表得χ2＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)≈7.484>6.635＝x0.01.依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為H0不成立，即認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.B組·實(shí)力提升一、選擇題1．(多選)晚上睡眠足夠是提高學(xué)習(xí)效率的必要條件．某中學(xué)高二的學(xué)生分為寄宿生和走讀生兩類，其中寄宿生晚上9：50必需休息，睡眠能得到充分的保證；走讀生晚上大多10：30休息，甚至更晚．為了了解這兩類學(xué)生的學(xué)習(xí)效率狀況，該校有關(guān)部門分別對(duì)這兩類學(xué)生學(xué)習(xí)總成果的前50名進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如表所示的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是(BC)學(xué)習(xí)效率寄宿生走讀生效率高3010效率低2040A.走讀生前50名學(xué)生中有40%的學(xué)生學(xué)習(xí)效率高B．寄宿生前50名學(xué)生中有60%的學(xué)生學(xué)習(xí)效率高C．依據(jù)α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“學(xué)生學(xué)習(xí)效率凹凸與晚上睡眠是否足夠”有關(guān)D．依據(jù)α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“學(xué)生學(xué)習(xí)效率凹凸與晚上睡眠是否足夠”無關(guān)[解析]對(duì)于A，P(走讀生學(xué)習(xí)效率高)＝eq\f(10,50)＝20%，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，P(寄宿生學(xué)習(xí)效率高)＝eq\f(30,50)＝60%，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，零假設(shè)為H0：學(xué)生學(xué)習(xí)效率凹凸與晚上睡眠是否足夠無關(guān)．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2＝eq\f(100×30×40－10×202,30＋10×30＋20×10＋40×20＋40)≈16.667>10.828＝x0.001，依據(jù)α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“學(xué)生學(xué)習(xí)效率凹凸與晚上睡眠是否足夠”有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．2．(多選)有兩個(gè)分類變量X，Y，其列聯(lián)表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均為大于5的整數(shù)，若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為X，Y有關(guān)，則a的值為(CD)A．6 B．7C．8 D．9[解析]依據(jù)公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)>3.841，依據(jù)a>5且15－a>5，a∈Z，求得當(dāng)a＝8或9時(shí)滿意題意．3．某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜愛某熱門軟件是否有關(guān)聯(lián)”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的eq\f(1,2)，男生喜愛該軟件的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(1,6)，女生喜愛該軟件的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(2,3).若有99%的把握認(rèn)為喜愛該軟件和性別有關(guān)聯(lián)，則男生至少有(B)參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828A.12人 B．18人C．24人 D．30人[解析]設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為eq\f(x,2).作出2×2列聯(lián)表：喜愛該軟件不喜愛該軟件合計(jì)男生eq\f(1,6)xeq\f(5,6)xx女生eq\f(1,3)xeq\f(1,6)xeq\f(x,2)合計(jì)eq\f(x,2)xeq\f(3,2)x可得χ2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,6)·\f(x,6)－\f(x,3)·\f(5x,6)))2,\f(x,2)·x·\f(x,2)·x)＝eq\f(3x,8)>6.635.解得x>17.69，∵x為整數(shù)，所以，若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為是否喜愛該軟件和性別有關(guān)，則男生至少有18人．故選B.二、填空題4．某校在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與比照班成果統(tǒng)計(jì)如表所示(單位：人)：80及80分以上80分以下總計(jì)試驗(yàn)班351550比照班20m50總計(jì)5545n(1)m＝30，n＝100；(2)依據(jù)表中數(shù)據(jù)得到的結(jié)論是有99%的把握說“教學(xué)方式與成果有關(guān)系”.[解析](1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.(2)由表中的數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(100×35×30－15×202,50×50×55×45)≈9.091.因?yàn)?.091>6.635，所以有99%的把握說“教學(xué)方式與成果有關(guān)系”．5．如圖所示是調(diào)查某學(xué)校高一、高二年級(jí)學(xué)生參與社團(tuán)活動(dòng)的等高積累條形圖，陰影部分的高表示參與社團(tuán)的頻率．已知該校高一、高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)均為600人(全部學(xué)生都參與了調(diào)查)，現(xiàn)從參與社團(tuán)的同學(xué)中按分層隨機(jī)抽樣的方式抽取45人，則抽取的高二學(xué)生人數(shù)為_27__.[解析]依據(jù)等高積累條形圖可知，參與社團(tuán)的高一和高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)比為2∶3，由分層隨機(jī)抽樣的性質(zhì)可得抽取的高二學(xué)生人數(shù)為45×eq\f(3,5)＝27.三、解答題6．海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖．(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解析](1)記B表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事務(wù)“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，∴P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估計(jì)值為0.62，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估計(jì)值為0.66，則事務(wù)A的概率估計(jì)值為P(A)＝P(B)·P(C)＝0．62×0.66＝0.4092，∴A發(fā)生的概率為0.4092.(2)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得到列聯(lián)表：箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg總計(jì)舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計(jì)96104200則χ2＝eq\f(200×62×66－38×342,1