新教材適用2024-2025學年高中數(shù)學第6章概率5正態(tài)分布課后訓練北師大版選擇性必修第一冊

§5正態(tài)分布1.若隨機變量X~N(1,22),則D12X等于(A.4 B.2 C.122.設某地區(qū)某一年齡段的兒童的身高聽從均值為135cm,方差為100的正態(tài)分布,令ξ表示從中隨機抽取的一名兒童的身高,則下列概率中最大的是().A.P(120<ξ<130) B.P(125<ξ<135)C.P(130<ξ<140) D.P(135<ξ<145)3.如圖,當σ取三個不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線,那么σ1,σ2,σ3的大小關系是().(第3題)A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ34.(多選題)下列說法正確的有().A.設隨機變量X聽從二項分布B6,12,則P(X=3)=516B.已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<6)=0.8,則P(-2<X<2)=0.3C.已知隨機變量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,則P(X>2)的值為1+D.E(2X+3)=2EX+3;D(2X+3)=2DX+35.已知一次考試共有60名同學參與,考生的成果X~N(110,25).據(jù)此估計,有57人的分數(shù)在區(qū)間().A.(90,110]內 B.(95,125]內C.(100,120]內 D.(105,115]內6.若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(X≤μ)=.

7.設隨機變量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=12,P(ξ>2)=p,則P(0<ξ<1)=8.工人制造的零件尺寸在正常狀況下聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),在一次正常的試驗中,取1000個零件,不屬于(μ-3σ,μ+3σ]這個尺寸范圍的零件可能有個.

9.在一次測試中,測試結果X聽從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0).若X在區(qū)間(0,2)內取值的概率為0.2,求:(1)X在區(qū)間(0,4)內取值的概率;(2)P(X>4).10.在某次數(shù)學考試中,考生的成果ξ聽從一個正態(tài)分布,即ξ~N(90,100).(1)試求考試成果ξ位于區(qū)間(70,110]內的概率;(2)若這次考試共有2000名考生參與,試估計考試成果位于區(qū)間(80,100]內的考生有多少名.

參考答案§5正態(tài)分布1.D因為X~N(1,22),所以DX=4,所以D12X=2.C由題意知ξ~N(135,100),因此在長度都是10的區(qū)間上,概率最大的應當是在對稱軸兩側關于對稱軸對稱的區(qū)間.故選C.3.D當μ=0,σ=1時,正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)=12πe-x22.當x=0時,取最大值12π,故σ2=1.由正態(tài)曲線的性質,當μ肯定時,曲線的形態(tài)由σ確定.σ越小,曲線越“瘦高”;σ越大,曲線越“矮胖”,于是有04.AB設隨機變量X聽從二項分布B6,12,則P(X=3)=C63×123×1-123=516,故A正確;∵隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2,σ2),∴正態(tài)曲線的對稱軸是直線x=2,又P(X<6)=0.8,∴P(X≥6)=P(X≤-2)=0.2,∴P(-2<X<2)=12×(1-2×0.2)=0.3,故B正確已知隨機變量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,則P(X>2)=12(1-P(|X|<2))=1故C錯誤;E(2X+3)=2EX+3;D(2X+3)=4DX,故D錯誤.綜上,選AB.5.C5760=0.95,故可得大約應有57人的分數(shù)在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ]內,即在區(qū)間(110-2×5,110+2×5]內6.12由于隨機變量X~N(μ,σ2),其正態(tài)分布密度曲線關于直線x=μ對稱,故P(X≤μ)=17.12-p由題意P(ξ<1)=12,知μ=故P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ<1)=1-p-128.3因為P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974,所以不屬于區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]內的零件個數(shù)約為1000×(1-0.9974)=2.6≈3.9.解(1)由X~N(2,σ2),知正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=2,畫出示意圖,如圖.(第9題)因為P(0<X<2)=P(2<X<4),所以P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=12[1-P(0<X<4)]=12×(1-0.4)=0.10.解因為ξ~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于正態(tài)分布隨機變量在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ]內取值的概率約是0.9544,而該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考試成果ξ位于區(qū)間(70,110]內的概率約是0.9544.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.因為正態(tài)分布隨機變量在區(qū)間(μ-σ,μ+σ]內取值的