新教材適用2024-2025學年高中數(shù)學第5章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用5.2導數(shù)的運算5.2.2導數(shù)的四則運算法則5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)學案新人教A版選擇性必修第二冊

5．2.2導數(shù)的四則運算法則5．2.3簡潔復合函數(shù)的導數(shù)課程標準1．能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則，求簡潔函數(shù)的導數(shù)．2．能求簡潔的復合函數(shù)(限于形如f(ax＋b))的導數(shù)．學法解讀1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則．(數(shù)學運算)2．理解求導法則的證明過程，能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)．(邏輯推理、數(shù)學運算)3．利用導數(shù)的運算法則解決有關問題．(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)4．了解復合函數(shù)的概念．(數(shù)學抽象)5．理解復合函數(shù)的求導法則，并能求簡潔的復合函數(shù)的導數(shù)．(邏輯推理、數(shù)學運算)6．能運用復合函數(shù)求導及導數(shù)運算法則解決綜合問題．(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)學問點1導數(shù)的四則運算法則符號表達文字敘述[f(x)±g(x)]′＝_f_′(x)±g′(x)__兩個函數(shù)的和(差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差)[f(x)g(x)]′＝_f_′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上其次個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上其次個函數(shù)的導數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子上函數(shù)的導數(shù)乘分母上的函數(shù)減去分子上的函數(shù)乘分母上函數(shù)的導數(shù)，再除以分母上函數(shù)的平方練一練：(多選題)下列求導運算正確的是(ACD)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq\f(1－x,ex)B．(x2cosx)′＝－2xsinxC．(3x)′＝3xln3D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)＋\f(3,x3)))′＝－eq\f(4,x3)－eq\f(9,x4)[解析]對于選項A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq\f(x′ex－(ex)′x,(ex)2)＝eq\f(1－x,ex)，∴A正確；對于選項B，(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，∴B錯誤；對于選項C，(3x)′＝3xln3，∴C正確；對于選項D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)＋\f(3,x3)))′＝－4x－3－9x－4＝－eq\f(4,x3)－eq\f(9,x4)，∴D正確．故選ACD.學問點2復合函數(shù)的導數(shù)(1)定義：一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，假如通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．(2)求導法則：對于復合函數(shù)y＝f(g(x))，＝，即y對x的導數(shù)等于_y對u__的導數(shù)與_u對x__的導數(shù)的乘積．想一想：復合函數(shù)的求導問題，關鍵在于分清復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復合而成的，選好中間變量．求解時要留意什么？提示：(1)內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù)．(2)求每層函數(shù)的導數(shù)時留意分清是對哪個變量求導，這是求復合函數(shù)導數(shù)時的易錯點．練一練：引入中間變量，并指出下列函數(shù)是由怎樣的函數(shù)復合而成的．(1)y＝(3x＋1)10；(2)y＝esinx；(3)y＝ln(2x－1)．[解析](1)引入中間變量u＝3x＋1，則函數(shù)是由y＝u10與u＝3x＋1復合而成的．(2)引入中間變量u＝sinx，則函數(shù)是y＝eu與u＝sinx復合而成的．(3)引入中間變量u＝2x－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))，則函數(shù)是由y＝lnu與u＝2x－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))復合而成的．題型探究題型一利用導數(shù)的運算法則求函數(shù)的導數(shù)典例1(1)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的導數(shù)f′(x)＝(A)A．1－eq\f(1,x2) B．1－eq\f(1,x)C．1＋eq\f(1,x2) D．1＋eq\f(1,x)(2)函數(shù)y＝x2sinx的導數(shù)為(D)A．y′＝2x＋cosx B．y′＝x2cosxC．y′＝2xcosx D．y′＝2xsinx＋x2cosx(3)函數(shù)y＝eq\f(cosx,x)的導數(shù)是(C)A．y′＝－eq\f(sinx,x2) B．y′＝－sinxC．y′＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2) D．y′＝－eq\f(xcosx＋cosx,x2)[解析](1)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2).(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(x(cosx)′－cosx·x′,x2)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).[規(guī)律方法]應用導數(shù)的四則運算法則的思路方法及留意事項(1)熟記導數(shù)的四則運算法則，尤其是積、商的求導法則．(2)應用和、差、積、商的求導法則求導數(shù)時，在可能的狀況下，應盡量少用甚至不用積或商的求導法則，應在求導之前，先利用代數(shù)、三角恒等變形等學問對函數(shù)進行化簡，然后再求導，這樣可以削減運算量，提高運算速度，避開出錯．(3)對于三個以上函數(shù)的積、商的導數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個”函數(shù)的積、商的導數(shù)計算．對點訓練?(1)已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值為(D)A.eq\f(π,2) B．1C．－1 D．0(2)(2024·福建南安僑光中學高三月考)已知f(x)＝e2023＋x·lnx，則f′(1)＝(A)A．1 B．e2023＋1C．e2023－1 D．e2023(3)求下列函數(shù)的導數(shù)：①y＝x3－x2－x＋3；②y＝x3ex.[解析](1)因為f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，故選D.(2)∵f(x)＝e2023＋x·lnx，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝ln1＋1＝1.(3)①y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1.②y′＝3x2ex＋x3ex.題型二復合函數(shù)的導數(shù)典例2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(5)y＝eq\f(1,\r(1－2x)).[解析](1)設y＝u2，u＝－2x＋1，則＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.(2)設y＝eu，u＝x－1，則＝eu·1＝ex－1.(3)設y＝log2u，u＝2x＋1，則＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,(2x＋1)ln2).(4)設y＝2sinu，u＝3x－eq\f(π,6)，則＝2cosu×3＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).(5)設y＝，u＝1－2x，則·(1－2x)′＝×(－2)＝.[規(guī)律方法]求復合函數(shù)導數(shù)的步驟對點訓練?求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x2))；(2)y＝esinx；(3)y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).[解析](1)y＝，設，u＝1－2x2，則＝·(－4x)＝.(2)設u＝sinx，y＝eu，y′＝eu，u′＝cosx，∴y′＝esinx·cosx.(3)由題意得y＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))),2)，設t＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))，u＝4x＋eq\f(2π,3)，則t＝cosu，則＝－4sinu＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).故y′x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).題型三導數(shù)四則運算法則的應用典例3(1)曲線y＝xlnx上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是(B)A.eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．2(2)設點P是曲線y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的隨意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π))[解析](1)設曲線y＝xlnx在點(x0，y0)處的切線與直線x－y－2＝0平行．∵y′＝lnx＋1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切點坐標為(1,0)．∴切點(1,0)到直線x－y－2＝0的距離為d＝eq\f(|1－0－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，即曲線y＝xlnx上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是eq\f(\r(2),2).(2)由y′＝3x2－eq\r(3)，易知y′≥－eq\r(3)，即tanα≥－eq\r(3).∴0≤α<eq\f(π,2)或eq\f(2,3)π≤α<π.[規(guī)律方法]導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則是導數(shù)應用的基礎．高考中常常涉及導數(shù)計算問題，一般以導數(shù)的運算法則、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表為工具，與其他學問聯(lián)系在一起考查，既可以以選擇題、填空題的形式單獨考查導數(shù)的計算，也常以解答題的某一問的形式，結(jié)合其他學問進行考查．對點訓練?日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知1t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)．那么凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時改變率是(D)A．－40元/t B．－10元/tC．10元/t D．40元/t[解析]凈化費用的瞬時改變率就是凈化費用函數(shù)的導數(shù)，因為c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)，所以c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4000,100－x)))′＝eq\f(4000,(100－x)2).又因為c′(90)＝eq\f(4000,(100－90)2)＝40，所以凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時改變率是40元/t.題型四復合函數(shù)的導數(shù)的應用典例4(1)某港口在一天24小時內(nèi)潮水的高度近似滿意關系式s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時的導數(shù)，并說明它的實際意義．(2)求曲線y＝eq\f(1,\r(x2－3x))在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))處的切線方程．[解析](1)函數(shù)y＝s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))是由函數(shù)f(z)＝3·sinz和函數(shù)z＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)復合而成的，其中z是中間變量．由導數(shù)公式表可得f′(z)＝3cosz，φ′(t)＝eq\f(π,12).再由復合函數(shù)求導法則得y′t＝s′(t)＝f′(z)φ′(t)＝3cosz·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6))).將t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．它表示當t＝18時，潮水的高度上升速度為eq\f(π,8)m/h.∴曲線y＝eq\f(1,\r(x2－3x))在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))處的切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝4＝·(2×4－3)＝－eq\f(5,16).∴曲線在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))處的切線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,16)(x－4)，即5x＋16y－28＝0.[規(guī)律方法]本例(2)不要將函數(shù)y＝eq\f(1,\r(x2－3x))看作是由y＝eq\f(1,u)，u＝eq\r(v)，v＝x2－3x三個函數(shù)復合而成的，這樣求導就麻煩了．對點訓練?(1)若可導函數(shù)f(x)滿意f′(3)＝9，則f(3x2)在x＝1處的導數(shù)值為_54__.(2)求證：雙曲線C1：x2－y2＝5與橢圓C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交點處的切線相互垂直．[解析](1)∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)，∴f(3x2)在x＝1處的導數(shù)值為6×1×f′(3)＝54.(2)證明：聯(lián)立兩曲線的方程，求得它們在第一象限交點為(3,2)．C1在第一象限的部分對應的函數(shù)解析式為y＝eq\r(x2－5)，于是有y′＝[(x2－5)eq\f(1,2)]′＝eq\f((x2－5)′,2\r(x2－5))＝eq\f(x,\r(x2－5))，∴k1＝y(tǒng)′|x＝3＝eq\f(3,2).C2在第一象限的部分對應的函數(shù)解析式為y＝eq\r(8－\f(4,9)x2).∴y′＝eq\f(－\f(8,9)x,2\r(8－\f(4,9)x2))＝－eq\f(2x,3\r(18－x2)).∴k2＝y(tǒng)′|x＝3＝－eq\f(2,3).∵k1·k2＝－1，∴兩切線相互垂直．易錯警示對復合函數(shù)的求導不完全而致誤在對復合函數(shù)求導時，恰當?shù)剡x擇中間變量及分析函數(shù)的復合層次是關鍵．一般從最外層起先，由外及里，一層層地求導，最終要把中間變量變成自變量的函數(shù)．典例5函數(shù)y＝xe1－2x的導數(shù)為y′＝_(1－2x)e1－2x__.[錯解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.[正解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.[點評]錯解中對e1－2x求導數(shù)，沒有根據(jù)復合函數(shù)的求導法則