新教材適用2024-2025學年高中數學第1章數列4數列在日常經濟生活中的應用素養(yǎng)作業(yè)北師大版選擇性必修第二冊

第一章§4A組·基礎自測一、選擇題1．某產品安排每年成本降低q%，若三年后成本為a元，則現在的成本是(C)A．a(1＋q%)3元 B．a(1－q%)3元C．eq\f(a,1－q%3)元 D．eq\f(a,1＋q%3)元[解析]設現在的成本為x元，則x(1－q%)3＝a，故x＝eq\f(a,1－q%3).故選C．2．一個屋頂的某一個斜面成等腰梯形，最上面一層鋪了21塊瓦片，往下每一層多鋪一塊瓦片，斜面上鋪了20層瓦片，共鋪了瓦片(C)A．420塊 B．630塊C．610塊 D．620塊[解析]由題意每層所鋪瓦片數構成一個以1為公差、以21為首項的等差數列，求前20項的和，所以共鋪了瓦片S20＝20×21＋eq\f(20×19,2)×1＝610(塊)．3．某儲蓄所安排從2024年起，力爭做到每年的吸儲量比前一年增長8%，則2024年底該儲蓄所的吸儲量將比2024年的吸儲量增加(C)A．24% B．32%C．(1.083－1)×100% D．(1.084－1)×1.083[解析]設2024年吸儲量為a.則2024年吸儲量為a(1＋8%)，2024年吸儲量為a(1＋8%)2，2024年吸儲量為a(1＋8%)3，∴2024年底比2024年增加(1.083－1)×100%.4．(多選)某純凈水廠在凈化過程中，每增加一次過濾可削減水中雜質的20%，已知水中雜質削減到原來的5%以下，則過濾的次數可能為(lg2≈0.3010)(CD)A．5 B．10C．14 D．15[解析]設原雜質數為1，由題意，得每次過濾雜質數成等比數列，且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝(1－20%)n.由題意可知(1－20%)n<5%，即0.8n<0.05.兩邊取對數，得nlg0.8<lg0.05，因為lg0.8<0，所以n>eq\f(lg0.05,lg0.8)，即n>eq\f(lg5－2,lg8－1)＝eq\f(1－lg2－2,3lg2－1)＝eq\f(－lg2－1,3lg2－1)≈eq\f(－0.3010－1,3×0.3010－1)≈13.41，故取n＝14,15.5．(多選)《九章算術》第三章“衰分”介紹了比例安排問題，“衰分”是按比例遞減安排的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”．如：已知A，B，C三人安排獎金的“衰分比”為10%，若A分得獎金1000元，則B，C所分得獎金分別為900元和810元．甲、乙、丙、丁四人入股某種理財產品，其中一個月的月度分紅為59040元，若甲、乙、丙、丁根據肯定的“衰分比”安排，且甲與丙共獲得32800元，則下列說法正確的是(BC)A．四人本月分紅的“衰分比”為80%B．本月丙所獲得的分紅為12800元C．四人本月分紅的“衰分比”為20%D．本月甲所獲得的分紅為19680元[解析]由題意，可知甲、乙、丙、丁安排的獎金構成等比數列，設此等比數列為{an}，且公比為q，設甲、乙、丙、丁根據的“衰分比”的值為x，則x＝1－q.依題意，a1＋a2＋a3＋a4＝59040，a1＋a3＝32800，則a2＋a4＝59040－32800＝26240，q＝eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝0.8,所以“衰分比”的值x＝1－0.8＝0.2＝20%，因為a1＋a3＝a1＋a1q2＝a1(1＋q2)＝a1(1＋0.82)＝1.64a1＝32800，a1＝eq\f(32800,1.64)＝20000，所以a3＝a1q2＝20000×0.82＝12800，所以丙所獲得的分紅為12800元．二、填空題6．一種特地侵占內存的計算機病毒的大小為2KB，它每3s自身復制一次，復制后所占內存是原來的兩倍，則內存為64MB(1MB＝210KB)的計算機開機后經過_45__s，內存被占完．[解析]設計算機病毒每次復制后的大小組成等比數列{an}，且a1＝2×2＝4，q＝2，則an＝4·2n－1.令4·2n－1＝64×210，得n＝15，即復制15次，共用45s.7．有n臺型號相同的聯合收割機，現收割一片土地上的小麥，若同時投入工作，則到收割完畢須要24小時，現在這些收割機是每隔相同的時間依次投入工作的，每一臺投入工作后都始終工作到小麥收割完畢．假如第一臺收割機工作的時間是最終一臺的5倍，則用這種方法收割完這片土地上的小麥須要_40__小時．[解析]設這n臺收割機工作的時間(單位：小時)依次為a1，a2，…，an，依題意，{an}是一個等差數列，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5an，①,a1＋a2＋…＋an＝24n，②))由②得eq\f(na1＋an,2)＝24n，所以a1＋an＝48.③將①③聯立，解得a1＝40.故用這種方法收割完這片土地上的小麥須要40小時．8．某住宅小區(qū)安排植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數是前一天的2倍，則須要的最少天數n(n∈N＋)等于_6__.[解析]設每天植樹的棵數組成的數列為{an}，由題意可知它是等比數列，且首項為2，公比為2，所以由題意可得eq\f(21－2n,1－2)≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N＋，所以n≥6.三、解答題9．為了加強環(huán)保建設，提高社會效益和經濟效益，某市安排用若干年時間更換一萬輛燃油型公交車．每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛，安排以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛．設an，bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數量，設Sn，Tn分別為n年里投入的電力型公交車、混合動力型公交車的總數量．(1)求Sn，Tn，并求n年里投入的全部新公交車的總數Fn；(2)該市安排用7年的時間完成全部更換，求a的最小值．[解析](1)an，bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數量，依題意知，數列{an}是首項為128，公比為1＋50%＝eq\f(3,2)的等比數列；數列{bn}是首項為400，公差為a的等差數列，所以數列{an}的前n項和Sn＝eq\f(128\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n)),1－\f(3,2))＝256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))，數列{bn}的前n項和Tn＝400n＋eq\f(nn－1,2)a，所以經過n年，該市更換的公交車總數Fn＝Sn＋Tn＝256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))＋400n＋eq\f(nn－1,2)a.(2)因為256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))，400n＋eq\f(nn－1,2)a(a>0)是關于n的單調遞增函數，因此Fn是關于n的單調遞增函數，所以滿意a的最小值應當是F7≥10000，即256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))7－1))＋400×7＋eq\f(7×6,2)a≥10000，解得a≥eq\f(3082,21)，又因為a為正整數，所以a的最小值為147.B組·實力提升一、選擇題1．一個卷筒紙，其內圓直徑為4cm，外圓直徑為12cm，一共卷60層，若把各層都視為一個同心圓，π＝3.14，則這個卷筒紙的長度為(精確到個位)(B)A．14m B．15mC．16m D．17m[解析]紙的厚度相同，且各層同心圓直徑成等差數列，則l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π×eq\f(4＋12,2)＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m，故選B.2．某人從2024年1月1日起，且以后每年1月1日到銀行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不變，且每年到期后存款均自動轉為新一年定期，到2025年1月1日將全部存款及利息全部取回，他可取回的錢數(單位為元)為(B)A．a(1＋r)7B．eq\f(a,r)[(1＋r)7－(1＋r)]C．a(1＋r)8D．eq\f(a,r)[(1＋r)8－(1＋r)][解析]2024年1月1日，2024年1月1日，……2024年1月1日存入錢的本息分別為a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，求和可得eq\f(a1＋r[1－1＋r6],1－1＋r)＝eq\f(a,r)[(1＋r)7－(1＋r)]．3．已知甲、乙兩工廠的月產值在2024年1月份時相同，甲工廠以后每個月比前一個月增加相同的產值，乙工廠以后每個月比前一個月產值增加的百分比相同，到2024年11月份發(fā)覺兩工廠的月產值又是相同的．現比較甲、乙兩工廠2024年6月份的產值，則有(C)A．甲的產值小于乙的產值B．甲的產值等于乙的產值C．甲的產值大于乙的產值D．不能確定[解析]不妨設2024年1月份甲、乙兩工廠的產值均為a，甲工廠以后每個月比前一個月增加的產值為d(d>0)，乙工廠以后每個月比前一個月產值增加的百分比為q(q>0)，則由題意得a＋10d＝a(1＋q)10.易知甲、乙兩工廠2024年6月份的產值分別為a＋5d，a(1＋q)5＝a·eq\r(\f(a＋10d,a))＝eq\r(a2＋10ad).又eq\r(a2＋10ad)<a＋5d，所以2024年6月甲工廠的產值大于乙工廠的產值．二、填空題4．某彩電價格在去年6月份降價10%之后經10,11,12三個月連續(xù)三次回升到6月份降價前的水平，則這三次價格平均回升率是eq\f(\r(3,30),3)－1.[解析]設6月份降價前的價格為a，三次價格平均回升率為x，則a×90%×(1＋x)3＝a，∴1＋x＝eq\r(3,\f(10,9))，x＝eq\r(3,\f(10,9))－1＝eq\f(\r(3,30),3)－1.5．據某校環(huán)保小組調查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2024年產生的垃圾量為a噸，由此預料，該區(qū)下一年的垃圾量為_a(1＋b)__噸，2026年的垃圾量為_a(1＋b)5__噸．[解析]2024年產生的垃圾量為a噸，下一年的垃圾量在2024年的垃圾量的基礎之上增長了ab噸，所以下一年的垃圾量為a(1＋b)噸；2026年是從2024年起再過5年，所以2026年的垃圾量是a(1＋b)5噸．三、解答題6．某人為了出行便利，打算購買新能源汽車．假設購車費用為14.4萬元，每年應交付保險費、充電費等其他費用共0.9萬元，汽車的保養(yǎng)修理費為：第一年0.2萬元，其次年0.4萬元，第三年0.6萬元，……，等差逐年遞增．(1)設運用n年該車的總費用(包括購車費用)為f(n)，試寫出f(n)的表達式；(2)問這種新能源汽車運用多少年報廢最合算(即該車運用多少年平均費用最少)，年平均費用的最小值是多少？[解析](1)由題意得f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋eq\f(0.2nn＋1,2)＋0.9n＝0.1n2＋n＋14.4.(2)設該車的年平均費用為S萬元，則有S＝eq\f(1,n)f(n)＝eq\f(1,n)(0.1n2＋n＋14.4)＝eq\f(n,10)＋eq\f(14.4,n)＋1≥2eq\r(1.44)＋1＝3.4，當且僅當eq\f(n,10)＝eq\f(14.4,n)，即n＝12時，等號成立，即S取最小值3.4.∴這種新能源汽車運用12年報廢最合算，年平均費用的最小值是3.4萬元．C組·創(chuàng)新拓展贛南臍橙果大形正，橙紅艷麗，光滑美觀，已被列為全國十一大優(yōu)勢農產品之一，榮獲“中華名果”等稱號．某臍橙種植戶為成立一個果園注入了啟動資金800萬元，已知每年可獲利20%，但由于競爭激烈，每年年底須要從利潤中取出100萬元進行技術改造和廣告投入，方能保持原有的利潤率，則至少經過____年，該項目的資金才可以達到或超過翻兩番(即為原來的4倍)的目標？(D)(參考數據：lg2≈0.3，lg3≈0.5，lg5≈0.7)A．7 B．8C．9 D．10[解析]設經過n年之后，該果園的資金為an萬元，由題意知a1＝800×(1＋20%)－100＝860，an＋1＝an×(1＋20%)－100＝eq\f(6,5)an－100，又∵an＋1－500＝eq\f(6,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－500))，a1－500＝360≠0，∴可知an－500≠0，∴數列{an－500}為首項為360，公比為eq\f(6,5)的等比數列，an－500＝(a1－500)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))n－1＝360×eq\b\lc\(\rc\)(