初三（數(shù)學）專題18圓的對稱性專項講練-附歷年中考真題訓練解析

專題18圓的對稱性

閱讀與思考

圓是一個對稱圖形.

首先，圓是一個軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓的對稱軸有無數(shù)條；同

時，圓又是一個中心對稱圖形，圓心就是對稱中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意隹度，都能夠與本身重合，這

是圓特有的旋轉(zhuǎn)不變性.

由圓的對稱性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、

弦心距、弧之間的關(guān)系定理及推論.這些性質(zhì)在計算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有廣泛的應有.一般方法是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用.

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.

我國戰(zhàn)國時期科學家墨翟在《墨經(jīng)》中寫道：“圓，一中間長也古代的美索不達米亞人最先開始

制造圓輪.日、月、果實、圓木、車輪，人類認識圓、利用圓，圓的圖形在人類文明的發(fā)展史上打下了

深深的烙印.

例題與求解

【例1】在半徑為1的。O中，弦AB,AC的長分別為6和立，則NBAC度數(shù)為.

（黑龍江省中考試題）

解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注A8與AC有不同位置關(guān)系.

由于對稱性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問題時，若把對稱性充分體現(xiàn)出來，有利于圓的問

題的解決.

【例2】如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB,CD,EF.如果A8+CD=EF,那么A8+C。

與E尸的大小關(guān)系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CD>EF

C.AB+CLXEFD.AB+CD與EF的大小關(guān)系不能確定

（江蘇省競賽試題）

解題思路：將弧與弦的關(guān)系及三角形的性質(zhì)結(jié)合起來思考.

【例3】(1)如圖I,已知多邊形4BO石。是由邊長為2的等邊三角形4BC和正方形BOEC組成，

00過A,D,E三點,求。0的半徑.

(2)如圖2,若多邊形A8DEC是由等腰△48C和矩形8DEC組成，AB=AC=BD=2,。。過A,D,

E三點，問。0的半徑是否改變？

(《時代學習報》數(shù)學文化節(jié)試題)

解題思路：對于⑴，給出不同解法：對于⑵，。的半徑不改變，解法類似⑴.

等邊三角形、正方形、圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，本例表明這三個完美的圖形能合成一個

從形式到結(jié)果依然完美的圖形.

三個完美圖形的不同組合可生成新的問題，同學們可參照刻意練習.

［例4］如圖，已知圓內(nèi)接△A8C中，AB>AC,D為84c的中點，DELAB于E.求證：

(天津市競賽試題)

解題思路：從化簡待證式入手，將非常規(guī)幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明.

圓是最簡單的封閉曲線，但解決圓的問題還要用到直線形的有關(guān)知識和方法.同樣，圓也為解決直

線形問題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等

或不等關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關(guān)問題的重要技巧.

【例5】在△ABC中，M是A8上一點，且AM2+BM2+CM2=24M+2BM+2cM—3.若P是線段AC

上的一個動點，。。是過P，M,C三點的圓，過P作PO〃A8交。。于點O.

（1）求證：M是AB的中點；

（2）求P0的長.（江蘇省競賽試題）

解題思路：對于⑴，運用配方法求出AM,BM,CM的長，由線段長確定直線位置關(guān)系；對于⑵，

促成圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化.

【例6】已知A。是。0的直徑，AB,AC是弦，且48=AC.

⑴如圖1,求證：直徑4。平分NB4C；

⑵如圖2,若弦8c經(jīng)過半徑04的中點￡尸是CD的中點，G是尸8的中點，。。的半徑為1,

求弦FG的長；

⑶如圖3,在⑵中若弦8C經(jīng)過半徑0A的中點E,P為劣弧上一動點，連結(jié)出，PB,PD,PF,

PA+PF

求證:的定值.

PB+PD

（武漢市調(diào)考試題）

解題思路：對于⑶，先證明以=NO尸尸=30°,NBP￡>=60°,這是解題的基礎(chǔ)，由此可導出下列解

題突破口的不同思路：①由N3%==NOPF=30°,構(gòu)建直角三角形；②構(gòu)造以+P凡P8+PO相關(guān)線段；

③取8。的中點M,連結(jié)PM,聯(lián)想常規(guī)命題；等等.

本例實質(zhì)是借用了下列問題：

⑴如圖1,PA+PB=6PH；⑵如圖2,PA+PB=PH,

Ct

⑶進一步，如圖3,若NAPB=a,尸”平分NAPB,貝！M+PB=2PHcos一為定

2

pp

值.

能力訓練

A級

I.圓的半徑為5cm,其內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和8cm,則梯形的面積為.cm2.

2.如圖，殘破的輪片上,弓形的弦A8長是40cm,高CO是5cm,原輪片的直徑是.cm.

第2題圖

3.如圖，已知CO為半圓的直徑，88_1_8于8.設N4OB=a,則絲?心n3=_______.

BD2

（黑龍江省中考試題）

4.如圖，在中，ZC=90°,AC=J5,BC=\,若BC=1,若以。為圓心，C8的長為半徑

的圓交A8于P,則AP=.（江蘇省宿遷市中考試題）

5.如圖，AB是半圓。的直徑，點P從點O出發(fā)，沿04—A8—80的路徑運動一周.設OP長為

5,運動時間為3則下列圖形能大致地刻畫S與f之間的關(guān)系是（）

6.如圖，在以。為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C,。兩點，AB=10cm,CD=6cm,

那么AC的長為（）

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

（第8題圖）

7.如圖，48為。0的直徑，C。是弦.若AB=10cm,CD=8cm,那么A,B兩點到直線CO的距離

之和為（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

8.如圖，半徑為2的。。中，弦48與弦CD垂直相交于點尸，連結(jié)。P.若。P=l,求AB?＞。。?

的值.（黑龍江盾競賽試題）

9.如圖，AM是。。的直徑，過。。上一點B作BN_LAM于N,其延長線交。。于點C,弦CO交

4M于點E.

（1）如果CO_LAB,求證：EN=NM；

（2）如果弦C。交AB于點凡且CD=4B,求證：CE?=EF?ED；

⑶如果弦CD,AB的延長線交于點F,且CD=AB,那么⑵的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；

若不成立，請說明理由.

（重慶市中考試題）

（第9題圖）

10.如圖，00的內(nèi)接四邊形中，"是5c的中點，于點求證：BH=

2

CAB-AC).

（河南省競賽試題）

H,C

（第10題圖）

11.⑴如圖1,圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA,OD,O七為。。的半徑：OOLBC于點凡OE1AC

于點G.求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△4BC面積的一.

3

⑵如圖2,若NOOE保持120°角度不變，求證：當NOOE繞著。點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和AABC

的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的

3

圖1圖2

12.如圖，正方形A8CO的頂點4，。和正方形JKLM的頂點K,L在一個以5為半徑的。。上,

點J,M在線段上.若正方形A8CD的邊長為6,求正方形JKLM的邊長.

（上海市競賽試題）

B級

1.如圖，AB是。。的直徑，。。是弦，過A,8兩點作CO的垂線，垂足分別為E,F.若AB=10,

AE=3,BF=5,則EC二.

AC

E（7------，DF

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）

2.如圖，把正三角形A8C的外接圓對折，使點A落在的中點4上，若8c=5,則折痕在△ABC

內(nèi)的部分OE長為.（寧波市中考試題）

3.如圖，已知。。的半徑為R,C,。是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點，AC的度數(shù)為96°,的度

數(shù)為36。.動點尸在A8上，則CP+PO的最小值為.

（陜西省競賽試題）

4.如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（）

后由八55^17

A.>/2B.----C.-D.-------

2416

5.如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓圓周上一點,M是AC的中點，于N,則有（

）

3V3

C.MN=-ACD.MN=—AC

53

（武漢市選拔賽試題）

6.已知，AB為。。的直徑，。為AC的中點，于點E,且OE=3.求AC的長度.

7.如圖，已知四邊形A8CD內(nèi)接于直徑為3的00；對角線4c是直徑，對角線AC和8。的交點

為P,AB=BD,且PC=0.6,求四邊形4BCO的周長.

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

8.如圖，已知點A,B,C,。順次在。。上，AI3—BD,BMLACTM.求證：AM-DC+CM.

（江蘇省競賽試題）

（第8題圖）

9.如圖，在直角坐體系中，點B,C在x軸的負半軸上，點A在y軸的負半軸上，以AC為直徑的

圓與48的延長線交于點O,CO=AO,如果AB=10,AO>8。,且4。,80是x的二次方程/+履+48=0

的兩個根.

⑴求點D的坐標；

（2）若點P在直徑AC上，且AP二』AC,判斷點（-2,10）