初升高數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)

1絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕

對(duì)值仍是零.即

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：卜-4表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)人之間的距離.

1.填空：

(1)若兇=5,則產(chǎn)；若國(guó)=|一4|,則產(chǎn).

(2)如果時(shí)+網(wǎng)=5,且a=—1,貝I6=；若|l—cj=2,貝！Jc=.

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=例，則a=C(B)若同〉網(wǎng),則a

(C)若avb,則向〈網(wǎng)(D)若問(wèn)=|小則〃=坊

3.化簡(jiǎn):|x-5|-|2x-13|(x>5).

2.乘法公式

我們?cè)诔踔屑航?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(“土〃)2=/±2乃+/.

我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(。+力)(儲(chǔ)-〃/?+/)=/+/；

(2)立方差公式(。―3(/+。匕+/)=/—83；

(3)兩數(shù)和立方公式(〃+b)3=+3。6+3。"+Z/；

(4)兩數(shù)差立方公式(4一8)3=/-3/人+3。/一戶

練習(xí)

1.填空：

(1)-a2--b2=(-b+-a)();

9423

(2)(4/n+)2=16〃/+4相+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4h2+c2+().

2.選擇題：

(1)若f+L/nr+Z是一個(gè)完全平方式，則％等于()

2

(A)m2(B)-m1(C)-m2(D)—m2

4316

(2)不論。，Z?為何實(shí)數(shù)，。2+/_2。一4/?+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

3.分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還

應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)x—3x+2；(2)x~\~4x—12；

(3)x2-(?+b)xy4-aby2；(4)xy-1+x-y.

2.提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

(1)d+9+3f+3x；(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

練習(xí)

1.選擇題：

多項(xiàng)式2丁-盯-15)戶的一個(gè)因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)V+6x+8；(2)8,一兄

(3)y-2^-1；(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

3.分解因式：

(1)/+1；(2)4X4-13X2+9；

(3)b2+c2+lab+2ac+2bc；(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

4.根的判別式

我們知道，對(duì)于一元二次方程加+bx+c=O(^0),用配方法可以將其變形為

/b、2b2-4ac

(x+—)=----—①

2a4a~

因?yàn)?。視，所以?層>0.于是

(1)當(dāng)護(hù)一4〃c>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根______

-b±\/b2-4ac

xi,2=------------;

2a

(2)當(dāng)〃一4oc=0時(shí)、方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根

b

X\=X2=——；

2a

(3)當(dāng)〃一4"<°時(shí)’方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)’而方程①的左邊—定大于

或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由此可知，一元二次方程加+版+c=0(a/))的根的情況可以由從一4〃。來(lái)判定，我

們把從一4敬叫做一元二次方程加+法+c=0(存0)的根的判別式，通常用符號(hào)來(lái)表

示.

綜上所述，對(duì)于一元二次方程GX2+8X+C=0(g邦)，有

(1)當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b±yJb2-4ac

X\,2=

2a；

（2）當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

b

X1=X2=——；

2a

（3）當(dāng)AVO時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

X\=X2=l；

5.根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程加+'+c=0若和）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

-b+y/b2-4ac-b-ylb2-4ac

則有

-b+\!b2-4ac-b-ylb2-4ac-2bb

2a+2a=~2a=~a

_-Z?+”2-4ac-b-“2-44cb1-（b2-4ac）_4ac_c

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

如果&+打+。=0（。邦）的兩根分別是XI,X2,那么Xl+x2=——9XVX2=—.這一

aa

關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.

例1己知方程5/+日一6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及々的值.

例2已知關(guān)于x的方程x2+2（m—2）x+而+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根

的平方和比兩個(gè)根的積大21,求相的值.

例3若M和X2分別是一元二次方程2?+5x-3=0的兩根.

（1）求|即一刈的值;

（2）求二十二的值；

（3）X|3+X23.

6.二次函數(shù)尸af+bx+c的圖像和性質(zhì)

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)尸aV+bx+c圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（—二，竺士），對(duì)

2a4a

稱軸為直線—一2；當(dāng)xV-2時(shí)，y隨著牙的增大而減小；當(dāng)?shù)叮?2時(shí)，y隨著x的

2a2a2a

增大而增大；當(dāng)又=-=時(shí)，函數(shù)取最小值尸絲"0.

2a4。

（2）當(dāng)aVO時(shí)，函數(shù)萬(wàn)加+bx+c圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-二，半亙），

2a4a

對(duì)稱軸為直線尸一2;當(dāng)xV-2時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)才＞一2時(shí)，y隨著x

2a2a2a

的增大而減?。划?dāng)尸-2時(shí)，函數(shù)取最大值尸當(dāng)互.

2a4。

例1求二次函數(shù)y=-3f—6x+l圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小

值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，），隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數(shù)的圖象.

現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)”：

1、絕對(duì)值型方程和不等式,初中沒(méi)有講，高中沒(méi)有專門的內(nèi)容卻在使用；

2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的分解，對(duì)系數(shù)不為1

的涉及不多,而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡(jiǎn)求

值都要用到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)

中函數(shù)、不等式常用的解題技巧；

5初中教材對(duì)二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平.而高中則是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教

材的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡(jiǎn)圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單

調(diào)區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基

本題型和常用方法；

6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初

中不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單的常規(guī)運(yùn)算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)

中，它們的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁,且教材沒(méi)有專門講授,因此也脫節(jié)；

7、圖像的對(duì)稱、平移變換初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)時(shí)，則作為必備的基

本知識(shí)要領(lǐng)；

8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點(diǎn),并無(wú)專

題內(nèi)容在教材中出現(xiàn),是高考必須考的綜合題型之一；

9、幾何中很多概念（如三角形的五心：重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心）和定理（平

行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就

已經(jīng)刪除，大都沒(méi)有去學(xué)習(xí)；

10、圓中四點(diǎn)共圓的性質(zhì)