第一章 集合與常用邏輯用語、不等式（測試）（含答案解析）

第一章集合與常用邏輯用語、不等式（測試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，故，所?故選：D.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】又，即，可得，又因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，由，可得，所以，，所以.故選：B.3．已知命題p：集合，命題q：集合，則p是q的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】或，或，是的真子集，因此，是的必要不充分條件.故選：B4．命題“，函數(shù)在上單調(diào)遞增”的否定為（

）A．，函數(shù)在上單調(diào)遞減B．，函數(shù)在上不單調(diào)遞增C．，函數(shù)在上單調(diào)遞減D．，函數(shù)在上不單調(diào)遞增【答案】B【解析】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“，函數(shù)在上單調(diào)遞增”的否定為“，函數(shù)在上不單調(diào)遞增”．故選：B．5．若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)符合題意.所以的最小值為.故選：A.6．在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【解析】設(shè)矩形場地的長為米，則寬為米，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以平整這塊場地所需的最少費(fèi)用為元.故選：C7．已知實(shí)數(shù)，且，則取得最大值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或取等號，所以或.故選：D8．如果一個(gè)非空集合上定義了一個(gè)運(yùn)算，滿足如下性質(zhì)，則稱關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群.（1）封閉性，即對于任意的，有；（2）結(jié)合律，即對于任意的，有；（3）對于任意的，方程與在中都有解．例如，整數(shù)集關(guān)于整數(shù)的加法（）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對于任意的，方程與都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（）不構(gòu)成群，因?yàn)榉匠虥]有實(shí)數(shù)解.以下關(guān)于“群”的真命題有（

）①自然數(shù)集關(guān)于自然數(shù)的加法（）構(gòu)成群；②有理數(shù)集關(guān)于有理數(shù)的乘法（）構(gòu)成群；③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積（）構(gòu)成群；④復(fù)數(shù)集關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（）構(gòu)成群.A．0個(gè)； B．1個(gè)； C．2個(gè)； D．3個(gè).【答案】B【解析】對于①，，在自然數(shù)集中無解，錯(cuò)誤；對于②，，在有理數(shù)集中無解，錯(cuò)誤；對于③，是一個(gè)數(shù)量，不屬于平面向量集，錯(cuò)誤；對于④，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，且對任意的，方程與有復(fù)數(shù)解，正確.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（

）

A．B．C．D．【答案】ACD【解析】根據(jù)Venn圖可知，對于A，顯然，故A正確；對于B，，則，故B錯(cuò)誤；對于C，，則，故C正確；對于D，，或，則，故D正確.故選：ACD10．已知，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由，得，所以，A正確．因?yàn)?，所以，所?，所以，B正確．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，C正確．因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．已知正實(shí)數(shù)，，，且，，，為自然數(shù)，則滿足恒成立的，，可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【解析】要滿足，只需滿足，其中正實(shí)數(shù)，，，且，，，為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，觀察各選項(xiàng)，故只需，故只需即可，A選項(xiàng)，，，時(shí)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，時(shí)，，B正確；C選項(xiàng)，，，時(shí)，，C正確；D選項(xiàng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)椤?，使”是假命題，所以“，”為真命題，其等價(jià)于在上恒成立，又因?yàn)閷春瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13．設(shè)集合.若且，則.【答案】6【解析】因?yàn)榧希?，則且，可得，解得，即有，又，所以，所以.故答案為：614．設(shè)表示不超過的正整數(shù)集合，表示k個(gè)元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則；若，則m的最大值為．【答案】22【解析】當(dāng)時(shí)，表示有2個(gè)元素的集合，，因?yàn)?，且?個(gè)元素，所以或或，所以；由題中定義可知：，于是由，而，即，又因?yàn)?，所以m的最大值為，故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知命題，為真命題.(1)求實(shí)數(shù)的取值集合A；(2)設(shè)為非空集合，且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意，關(guān)于的不等式恒成立，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值的集合．（6分）（2）因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以為的真子集．又為非空集合，所以，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（13分）16．（15分）為了減少碳排放，某企業(yè)采用新工藝，將生產(chǎn)中產(chǎn)生的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種化工產(chǎn)品.已知該企業(yè)每月的處理量最少為30噸，最多為400噸.月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系近似地表示為.(1)該企業(yè)每月處理量為多少噸時(shí)，才能使月處理成本最低?月處理成本最低是多少元?(2)該企業(yè)每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低?每噸的平均處理成本最低是多少元?【解析】（1）該企業(yè)的月處理成本，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以該企業(yè)每月處理量為300噸時(shí)，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是19800元.（7分）（2）因?yàn)?，所以每噸的平均處理成?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，即該企業(yè)每月處理量為360噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低，為60元.（15分）17．（15分）已知集合.(1)若，存在集合使得為的真子集且為的真子集，求這樣的集合；(2)若集合是集合的一個(gè)子集，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，方程的根的判別式，所以.又，故.（4分）由已知，得應(yīng)是一個(gè)非空集合，且是的一個(gè)真子集，用列舉法可得這樣的集合共有6個(gè)，分別為.（7分）（2）當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)子集，此時(shí)對于方程，有，所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，因?yàn)?，所以不是的子集；同理?dāng)時(shí)，，，也不是的子集；（12分）當(dāng)時(shí)，，，也不是的子集.綜上，滿足條件的的取值范圍是.（15分）18．（17分）已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足．(1)求的最小值；(2)求證：.【解析】（1）因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．（8分）（2）證明：根據(jù)柯西不等式有，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即原命題得證.（17分）19．（17分）數(shù)列滿足：.記的前項(xiàng)和為，并規(guī)定.定義集合.(1)對數(shù)列：，0.7，，0.9，0.1，求集合；(2)若集合，證明：.(3)給定正整數(shù)，對所有滿足的數(shù)列，求