深度調(diào)研有效遷移細(xì)化與比較-以“商中間有0 小數(shù)除法”為例

小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有兩類問題需要注意，一是由于舊知鞏固不扎實出現(xiàn)的老問題，稱之為“老病根”；二是經(jīng)驗遷移不得力出現(xiàn)的新問題，這些可統(tǒng)稱為“并發(fā)癥”。兩類問題互有聯(lián)系，并且在學(xué)生的練習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)?！袄喜「备涣耍安l(fā)癥”就會連續(xù)出現(xiàn)。深刻調(diào)查學(xué)生出錯的原因并對癥下藥很有必要，教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)情，預(yù)判可能出現(xiàn)的思維障礙，抓住學(xué)困點(diǎn)，辨清出錯類型，并探究出針對性強(qiáng)的方法、策略和路徑，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力[1]。一、問題和困惑人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊的小數(shù)除法中涉及到商中間有0的問題。與商末尾有0的問題相比，學(xué)生更容易在商中間有0的計算中出錯，有的弄不清算理，有的糊涂于算法，有的是整數(shù)除法中遺留下來的問題。還有的學(xué)生因為多了個小數(shù)點(diǎn)，碰到“商中間有0小數(shù)除法”就頭疼，過往的經(jīng)驗無法有效遷移，數(shù)位上稍不注意就會出錯，就會引發(fā)新問題。二、調(diào)查與分析沒有調(diào)查，就沒有發(fā)言權(quán)。整體解決“老病根”與“并發(fā)癥”，必須建立在學(xué)生真實學(xué)情的前測上，以便后續(xù)對策有依據(jù)，有針對性。我們選擇四年一班與四年二班共90名學(xué)生進(jìn)行前測。商中間有0整數(shù)除法的正確率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于商中間有0的小數(shù)除法（見表1）。表1商中間有0的整數(shù)除法與小數(shù)除法前測表統(tǒng)計那么，出現(xiàn)如此明顯差異的現(xiàn)象根源是什么呢？是學(xué)生粗心大意，還是算理與算法的遷移不夠呢？為此我們進(jìn)一步深入到一些細(xì)節(jié)之中進(jìn)行調(diào)研，抽取了部分學(xué)生的豎式計算草稿，發(fā)現(xiàn)商中間漏0的學(xué)生比比皆是。探究學(xué)生如此豎式計算背后的原因很有必要。于是，我們從問卷測試過渡到深入訪談，從更細(xì)微的層面梳理學(xué)生出錯的原因。訪談分三步走（見表2）。表2“商中間有0小數(shù)除法”訪談一覽表訪談中得知，優(yōu)等生的想法中最重要的一個概念是“除法平均分”。他們做過太多“把算式按商的位數(shù)分一分”的試題。這樣的試題實際上就是強(qiáng)調(diào)商是幾位數(shù)的問題，即商是幾位數(shù)是有規(guī)律可循的，不能因為小數(shù)點(diǎn)的介入而少一位或者多一位。相比較而言，學(xué)困生的想法是錯誤的。顯然，“夠了才能分”不是除法（包括整數(shù)除法與小數(shù)除法）的本質(zhì)屬性。事實上，除法的本質(zhì)是平均分，每次把余數(shù)的計數(shù)單位變小合并到下一個數(shù)位繼續(xù)分，“商中為什么會有0”是與平均分有關(guān)系的。對于那些本身對除法核心概念理解不透徹的學(xué)困生而言，“老病根”自然會延續(xù)到“并發(fā)癥”中?！皦蛄瞬拍芊帧边@種觀念導(dǎo)致的就是“被除數(shù)一定要大于除數(shù)”。這樣的慣性思維“害人不淺”——學(xué)生碰到“被除數(shù)比除數(shù)小”時就覺得茫然無措，很容易做出錯誤的判斷或計算。我們還訪談了那些喜歡估算的學(xué)生。商中間有0的整數(shù)除法與小數(shù)除法，之所以前者正確率高，是因為整數(shù)除法中學(xué)生將估算運(yùn)用得特別熟稔，但在小數(shù)除法中，估算不頂用了，稍不小心就會出錯。比如面對2568÷24，估算能力較強(qiáng)的學(xué)生一眼可以看出最高位在百位，如果學(xué)生忘記了中間補(bǔ)0，那么17這樣的結(jié)果與估算相差太大，學(xué)生肯定會回頭檢查，最終通過補(bǔ)0形成正確答案。但是面對16.2÷15這道題，理所應(yīng)當(dāng)添加0也罷，粗心大意漏掉0也罷，不影響估算的結(jié)果，由此出現(xiàn)大面積的錯題成為常態(tài)。可見，小數(shù)點(diǎn)的出現(xiàn)，對學(xué)生的慣性思維形成沖擊，增加了運(yùn)算的復(fù)雜性，引發(fā)了新問題，“老病根”與“并發(fā)癥”同時存在。在分析學(xué)情的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步分析教材。教材的編排蘊(yùn)涵著極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性和邏輯性，它由一個個知識點(diǎn)按照一定的知識序列排列組成[2]。但是教材畢竟是靜態(tài)的，而且因為篇幅限制，諸多邏輯空白并未呈現(xiàn)出來，而這需要教師去發(fā)掘并填補(bǔ)。如果教師疏于這方面的探究，也有可能會給學(xué)生造成誤解及負(fù)面影響。比如，下圖中的內(nèi)容就需要教師左右勾連，進(jìn)行細(xì)微意義上的甄別及引領(lǐng)。很多學(xué)生看到12.6÷12的豎式后，誤以為第二步中的60是一次性移下來的，這也是“不夠就移”思維定勢的體現(xiàn)。如果教師不用心強(qiáng)調(diào)，不通過更多的練習(xí)進(jìn)行舉一反三或者舉三反一，那么學(xué)生就會把這種誤解遷移到其他試題的計算之中，由此錯題的出現(xiàn)也就不足為怪了。三、策略與思考既然造成錯誤的根源是多方面的，那么，重新審視學(xué)生與教材以及重構(gòu)教學(xué)的新框架就是大有必要的；既然“老病根”是因為整數(shù)除法學(xué)得不扎實所導(dǎo)致，那么以跨單元與整體教學(xué)的姿態(tài)回到過去重溫舊知，進(jìn)行有意義的遷移、細(xì)化與比較，剔除學(xué)生思維中僵化與定勢因子，就更是必要的。（一）遷移：算理、算法一脈相承所謂“遷移”，即在新舊知識聯(lián)接點(diǎn)對學(xué)生加以點(diǎn)撥，即培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力[3]。學(xué)生遷移力的提升不是一蹴而就的，需要由此及彼的追問、換位思考的逆問，需要前后貫通、勾連，進(jìn)行更深處的沿徑探源。真正高質(zhì)量的遷移必須是“有根”的，即把已有的方法、經(jīng)驗運(yùn)用到未知的學(xué)習(xí)中，正所謂：“由根生干，由干生枝?！本统ǖ谋举|(zhì)屬性而言，所謂的平均分，就是豎式中分到哪一位，商就寫在哪一位上面，哪一位不夠商1，就在那位上商0。這一點(diǎn)，無論是整數(shù)除法還是小數(shù)除法，都是不變的，這樣的算理、算法是一脈相承的。所以，如果學(xué)生對此理解不透徹，教師就應(yīng)該通過復(fù)習(xí)舊知，通過一些試題的訓(xùn)練再次強(qiáng)化除法的意義。教師出示兩道整數(shù)除法算式：①912÷3，②1260÷2，組織學(xué)生自主完成計算，并說說商中間的0是怎么來的。優(yōu)等生可能會很快回答出來，但學(xué)困生則知其然而不知所以然。因此，教師直接出示以下豎式圖幫助學(xué)生理解之所以寫0的原因。上圖既有較為細(xì)致的過程，又有簡化后的過程，簡潔明了。通過對比，學(xué)生厘清了其算理與算法，明白了商中間0的來歷。這為學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法起到承上作用。接下來，出示算式12.6÷12，從整數(shù)除法過渡到小數(shù)除法，形成承上啟下——學(xué)生自然而然地遷移運(yùn)用整除除法的方法去解決小數(shù)除法問題。這里遷移發(fā)揮的是正遷移作用，而非負(fù)遷移，因為學(xué)生做到了兩者之間算理、算法上的一脈相承。但僅僅這樣是不夠的。完成12.6÷12一題后，教師進(jìn)一步追問：“假如把小數(shù)點(diǎn)繼續(xù)往左移一位，結(jié)果會如何呢？”請仔細(xì)觀察下圖中的三個豎式。通過更為細(xì)微的對比，大部分學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了三個算式的相同之處，那就是不論什么“位”上的0，哪怕計數(shù)單位不同，但其產(chǎn)生的過程和方法是永遠(yuǎn)不變的——凡是某個數(shù)位上的數(shù)不夠商時就補(bǔ)0。這是除法的本質(zhì)意義，是解決任何題型都繞不開的。這樣的舉一反三，促使學(xué)生完成了有意義的遷移，其效果事半功倍。（二）細(xì)化：改變“不夠就移”的做法1.細(xì)化板書，消除負(fù)面影響上文中那個學(xué)生誤以為第二步中的60是一次性移下來的。教材豎式過于簡單，對于學(xué)困生而言，會造成理解障礙。為此，我們“由粗到細(xì)”，進(jìn)一步細(xì)化板書，將原來簡單的一個豎式變?yōu)槟軌虺浞诛@示其細(xì)微過程的三個豎式?？梢岳么笃聊粍討B(tài)演示其細(xì)微的過程。教師引領(lǐng)學(xué)生用醒目的顏色劃出其中關(guān)鍵的步驟及重點(diǎn)，尤其表示出哪個數(shù)移下來了，厘清哪個地方是商0還是移0。當(dāng)學(xué)生理解到這兩點(diǎn)后，對所謂的“先商0而后移0”的理解就顯得水到渠成。2.細(xì)化過程，破除思維定勢數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維定勢既有好處，又有壞處。尤其是學(xué)生對數(shù)學(xué)核心概念理解不透的情況下，其負(fù)面作用更大?！安粔蚓鸵啤边@樣的思維定勢就是這樣，就是造成學(xué)生漏0現(xiàn)象的原因。因此，想方設(shè)法破除定勢，幫助學(xué)生形成理性與科學(xué)思維，應(yīng)該成為解決小數(shù)除法中“老病根”與“并發(fā)癥”的一個重點(diǎn)。我們的做法是細(xì)化教學(xué)環(huán)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生針對最后一個豎式對如下三個問題進(jìn)行充分討論，最終達(dá)成共識。一是“商中0來自何方又去向何處”的討論。教師鼓勵學(xué)生自由表達(dá)，在此基礎(chǔ)上，剔除不成熟的說法。以下是兩種比較理想的說法：生1：我認(rèn)為商中0是這樣來的：6移下來是為了細(xì)分，分成6個0.1，而這是不夠分成12份的。既然不夠分，那么其分的結(jié)果就應(yīng)該為0。生2：關(guān)于0將去向何處，我是這么理解的：既然6個0.1平均分成12份最后的結(jié)果是0個0.1，按照0乘以任何數(shù)都是0的法則，我們只能理解為沒分走，所以這里的0可以省略。二是“豎式中的60可以一起移下來嗎”的討論。針對“可以移下來”與“不能移下來”，教師組織兩方學(xué)生進(jìn)行辯論。一種意見認(rèn)為既然結(jié)果是不變的，那么完全可以移下來；另一種意見認(rèn)為不能一起移下來，應(yīng)該先移6，接著移0。其理由是十分位與百分位不同，直接移動的結(jié)果會造成中間的0沒有補(bǔ)上，少了平均分0.6的這一步。畢竟，商中的0意味著十分位而非百分位。一位一位向下平均分，看似啰嗦，但必須遵守，這正是數(shù)學(xué)學(xué)科必須講究嚴(yán)謹(jǐn)精神的象征。三是“如果商中這個0不補(bǔ)會造成何種影響”的討論。通過討論，學(xué)生理解到僅僅漏了一個0，5個0.01就變成5個0.1，1.05與1.5可是完全不一樣的結(jié)果。可見，0所引起的數(shù)位之差，不可小覷。如此，通過上述三個問題的討論，學(xué)生對“不夠就移”有了更深刻的認(rèn)識：不是隨意就移，而是在補(bǔ)0的基礎(chǔ)上才移；學(xué)生也理解到，有些豎式省略了分0.6的過程，但頭腦中不能省略，做題時不能怕麻煩，盡量寫清每一步，關(guān)注到每步先后順利，這樣就能夠避免錯誤，有效杜絕作業(yè)中的失誤現(xiàn)象。（三）比較：明晰“加與不加”的區(qū)別比較中尋方法，比較中找規(guī)律。以比較為手段的思維方式，既是打破思維定勢的需要，又是解決“老病根”與“并發(fā)癥”的需要。商中間有0的小數(shù)除法教學(xué)中，教師有意識地把漏掉0或者不應(yīng)有0卻補(bǔ)上了0的錯題呈現(xiàn)出來，同時呈現(xiàn)正確豎式，兩兩比較，引領(lǐng)學(xué)生明晰“加與不加”的區(qū)別，必能更好地幫助學(xué)生厘清相關(guān)概念，加深正確解題步驟的印象，提高學(xué)生的整體解題能力。分析中，教師發(fā)問：“這個豎式的商中間為什么不能補(bǔ)0？”引領(lǐng)學(xué)生看一看商中的數(shù)位與下面的數(shù)位是不是有錯位，是否有對應(yīng)分的過程，學(xué)生