2024中考二次函數(shù)真題

二次函數(shù)

參考答案與試題解析

一,選擇題（共22小題）

1.（2024?泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的狀況是（）

A.無實數(shù)根B.有一個正根，一個負根

C.有兩個正根，且都小于3D.有兩個正根，且有一根大于3

【分析】干脆整理原方程，進而解方程得出x的值.

【解答】解：（x+1）（x-3）=2x-5

整理得：x2-2x-3=2x-5,

貝ijx2-4x+2=0,

（x-2）2=2,

解得：Xi=2+亞>3，x2=2-亞，

故有兩個正根，且有一根大于3?

故選：D.

2.（2024?杭州）四位同學在探討函數(shù)y=x?+bxic（b,c是常數(shù)）時，甲發(fā)覺當時，函數(shù)有

最小值；乙發(fā)覺-1是方程x2+bx+c=0的一個根；丙發(fā)覺函數(shù)的最小值為3；丁發(fā)覺當x:2時,

y=4,己知這四位同學中只有一位發(fā)覺的結(jié)論是錯誤的，則該同學是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【分析】假設兩位同學的結(jié)論正確，用其去驗證另外兩個同學的結(jié)論，只要找出一個正確一個

錯誤，即可得出結(jié)論（本題選擇的甲和丙，利用頂點坐標求出b、c的值，然后利用二次函數(shù)

圖象上點的坐標特征驗證乙和丁的結(jié)論）.

【解答】解：假設甲和丙的結(jié)論正確，則2，

4c-b-

4"

解得：（b=2,

Ic=4

，拋物線的解析式為y=x2-2x+4.

當x=-1時，y=x2-2x+4=7>

，乙的結(jié)論不正確；

當x=2時，y=x2-2x+4=4,

???丁的結(jié)論正確.

???四位同學中只有一位發(fā)覺的結(jié)論是錯誤的，

???假設成立.

故選：B.

3.（2024?濰坊）已知二次函數(shù)y=-（x-h）?（h為常數(shù)），當自變量x的值滿意2<x<5時,

與其對應的函數(shù)值y的最大值為-1,則h的值為（）

A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6

【分析】分hV2、2WhW5和h>5三種狀況考慮：當hV2時，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出

關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；當2<h<5時，由此時函數(shù)的最大值為0與題意

不符，可得出該狀況不存在；當h>5時，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程,

解之即可得出結(jié)論.綜上即可得出結(jié)論.

【解答】解：當hV2時，有-（2-h）2=-l,

解得：hi=l,h2=3（舍去）；

當2WhW5時，y=?（x?h）2的最大值為o,不符合題意；

當h>5時，有-（5-h）2=-1,

解得：h3=4（舍去），h4=6.

綜上所述：h的值為1或6.

故選：B.

4.（2024?瀘州）已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量）,當x22時，y隨x的增

大而增大，且-2WxWl時，y的最大值為9,則a的值為（）

A.1或-2B.或C.V2D.1

【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸，再依據(jù)二次函數(shù)的增減性得出拋物線開口向上a>0,然

后由?2WxWl時，y的最大值為9,可得x=l時，y=9,即可求出a.

【解答】解：???二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），

???對稱軸是直線x二-區(qū)二-1,

2a

??,當x22時，y隨x的增大而增大，

.*.a>0,

?.?-2WxWl時，y的最人值為9,

，x=l時，y=a+2a+3a2+3=9,

/.3a2+3a-6=0?

??.a=l,或a=-2（不合題意舍去）.

故選：D.

5.（2024?濱州）如圖，若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）圖象的對稱軸為x=l,與y軸交于點C,

與x軸交于點A、點B（-1,0）,則

曾二次函數(shù)的最大值為a+b+c；

@a-b+cVO：

@b2-4ac<0；

④當y>0時，-1VXV3,其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】干脆利用二次函數(shù)的開口方向以及圖象與x軸的交點，進而分別分析得出答案.

【解答】解：①???二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)圖象的對稱軸為x=l,且開口向下,

.,.x=l時，y=a+b+c,即二次函數(shù)的最大值為a+b+c,故①正確;

②當x=-1時，a-b+c=O,故②錯誤；

③圖象與x軸有2個交點，故b2-4ac>0,故③錯誤；

④;圖象的對稱軸為x=l,與x軸交于點A、點B(-1,0),

AA(3,0),

故當y>0時，-1VXV3,故④正確.

故選：B.

6.(2024?連云港)已知學校航模組設計制作的火箭的升空高度h(m)與飛行時間t(s)滿意

函數(shù)表達式h=-t2+24t+l.則下列說法中正確的是()

A.點火后9s和點火后13s的升空高度相同

B.點火后24s火箭落于地面

C.點火后10s的升空高度為139m

D.火箭升空的最大高度為145m

【分析】分別求出t=9、13、24、10時h的值可推斷A、B、C三個選項，將解析式配方成頂點

式可推斷D選項.

【解答】解：A、當t=9時，h=136；當t=13時，h=144；所以點火后9s和點火后13s的升空

高度不相同，此選項錯誤；

B、當t=24時h=lWO,所以點火后24s火箭離地面的高發(fā)為1m,此選項錯誤；

C、當t=10時h=141m,此選項錯誤；

D、由h=-t2+24t+l=-(t-12)2+145知火箭升空的最大高度為145m,此選項正確；

故選：D.

7.(2024?成都)關(guān)于二次函數(shù)y=2x?+4x-1,下列說法正確的是()

A.圖象與y軸的交點坐標為(0,1)

B.圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)

C.當xVO時，y的福隨x值的增大而減小

D.y的最小值為-3

【分析】依據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以推斷各個選項中的結(jié)論是否在成立，從而可以解答本題.

【解答】解：Vy=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,

/.當x=0時，y=-1,故選項A錯誤，

該函數(shù)的對稱軸是直線x=-l,故選項B錯誤，

當x<-l時，y隨x的增大而減小，故選項C錯誤，

當x=?l時，y取得最小值，此時y=-3,故選項D正確，

故選：D.

8.（2024?涼州區(qū)）如圖是二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aNO）圖象的一部分,與x

軸的交點A在點（2,0）和（3,0）之間，對稱軸是x=l.對于下列說法：①ab<0；②2a+b=0；

③3a+c>0；④a+b2m（am+b）（m為實數(shù)）；⑤當?1VxV3時，y>0,其中正確的是（）

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

【分析】由拋物線的開口方向推斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點推斷c與。的關(guān)系，

然后依據(jù)對稱軸判定b與0的關(guān)系以及2a+b=0；當x=-l時，y=a-b+c；然后由圖象確定當x

取何值時，y>0.

【解答】解：①???對稱軸在y軸右側(cè)，

，a、b異號，

Aab<0,故正確；

②???對稱軸x=--L=i,

2a

，2a+b=0；故正確；

③：2a+b=0,

??b=-2a,

*.*當x=-1時，y=a-b+cVO,

.*.a-（-2a）+c=3a+c<0,故錯誤;

④依據(jù)圖示知，當m=l時，有最大值；

當mWl時,有am2+bm+cWa+b+c,

所以a+b2m（am+b）（m為實數(shù)）.

故正確.

⑤如圖，當-1VXV3時，y小只是大于0.

故錯誤.

故選：A.

9.（2024?岳陽）拋物線y=3（x-2）2+5的頂點坐標是（）

A.（-2,5）B.（-2,-5）C.（2,5）D,（2,-5）

【分析】依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)y=a（x+h）2+k的頂點坐標是（-h,k）即可求解.

【解答】解：拋物線y=3（x-2）2+5的頂點坐標為（2,5）,

故選：C.

10.（2024?寧波）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象開口向下，且經(jīng)過第三象限的點P.若點P

哪幾個象限，本題得以解決.

【解答】解：由二次函數(shù)的圖象可知，

a<0,b<0,

當x=?1時，，y=a-b<0?

.??Y=（a-b）x+b的圖象在其次、三、四象限,

故選：D.

11.（2024?達州）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（-1,0）,與y軸的交

點B在（0,2）與（0,3）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x:2.

下列結(jié)論：?abc<0；②9a+3b+c>0；③若點M（_L,y］），點N（王，y?）是函數(shù)圖象上的兩

22

點，則yiVy2；?--<a<-

55

其中正確結(jié)論有（）

【分析［依據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【解答】解：①由開口可知：aVO,

???對稱軸x二上>0,

2a

Ab>0,

由拋物線與y軸的交點可知：c>0,

Aabc<0,故①錯誤；

②;拋物線與x軸交于點A（-1,0）,

對彌軸為x=2,

，拋物線與x軸的另外一個交點為（5,0）,

???x=3時，y>0,

???9a+3b+c>0,故②正確；

③由于工〈2<心，

22

且（王，丫2）關(guān)于直線x=2的對稱點的坐標為（W,丫2），

22

:.Yi<V2,故③正確，

④:一L=2,

2a

??b=-4a,

Vx=-1,y=0,

/.a-b+c=O?

??c=-5a,

V2<c<3,

：.2<-5a<3,

--<a<-2,故④正確

55

故選：C.

12.（2024?青島）已知一次函數(shù)y=kx+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c在平面直角坐標

a

系中的圖象可能是（）

【分析】依據(jù)反比例函數(shù)圖象一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出kvo、c>o,由此即可得

a

出：二次函數(shù)戶ax2+bx+c的圖象對稱軸x:一'>0,與、/軸的交點在y軸負正半軸，再比照四

2a

個選項中的圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：視察函數(shù)圖象可知：§<0、O0,

???二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象對稱軸x=-&>0,與y軸的交點在y軸負正半軸.

2a

故選：A.

13.（2024?天津）已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,（:為常數(shù)，a#0）經(jīng)過點（?1,0）,（0,3）,

其對稱軸在y軸右側(cè).有下列結(jié)論：

①拋物線經(jīng)過點（1,0）；

②方程ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數(shù)根；

3<a+b<3

其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】①由拋物線過點（-1,0）,對稱軸在y軸右側(cè)，即可得出當x=l時y>0,結(jié)論①錯

誤；

②過點（0,2）作x軸的平行線，由該直線與拋物線有兩個交點，可得出方程ax2+bx+c=2有兩

個不相等的實數(shù)根，結(jié)論②正確；

③由當x=l時y>0,可得出a+b>-c,由拋物線與y軸交于點（0,3）可得出c=3,進而即可

得出a+b>?3,由拋物線過點（?1,0）可得出a+b=2a+c,結(jié)合aVO、c=3可得出a+bV3,

綜上可得出-3Va+bV3,結(jié)論③正確.此題得解.

【解答】解：①,??拋物線過點（?1,0）,對稱軸在y軸右側(cè)，

當x=l時y>0,結(jié)論①錯誤;

②過點（0,2）作x軸的平行線，如圖所示.

V該直線與拋物線有兩個交點，

?,?方程ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)論②正確；

③:當x=l時y=a+b+c>0,

.*.a+b>-c.

:拋物線y=ax?+bx+c（a,b,c為常數(shù)，aWO）經(jīng)過點（0,3）,

??c=3,

，a+b>-3.

*.*當a=-1時，y=0,即a-b+c=O,

/.b=a+c,

/.a+b=2a+c.

???拋物線開口向下，

/.a<0,

??a'bC—3,

二.-3<a+b<3,結(jié)論③正確.

14.（2024?德州）如圖，函數(shù)y二ax?-2x+l和y=ax-a（a是常數(shù)，且aWO）在同一平面直角

坐標系的圖象可能是（）

【分析】可先依據(jù)一次函數(shù)的圖象推斷a的符號，再推斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，推斷

正誤即可.

【解答】解：A、由一次函數(shù)尸ax-a的圖象可得：a<0,此時二次函數(shù)y=ax2-2x+l的圖象應

當開口向下，故選項錯誤；

B、由一次函數(shù)y=ax-a的圖象可得：a>0,此時二次函數(shù)y=ax?-2x+l的圖象應當開口向上，

對禰軸x=?2>0,故選項正確；

2a

C、由一次函數(shù)y=ax-a的圖象可得：a>0,此時二次函數(shù)y=ax?-2x+l的圖象應當開口向上,

對稱軸x=-」>0,和x軸的正半軸相交，故選項錯誤：

D、由一次函數(shù)y=ax?a的圖象可得：a>0,此時二次函數(shù)y=ax2?2x+l的圖象應當開口向上,

故選項錯誤.

故選：B.

15.（2024?威海）拋物線y=ax2+bx+c（aWO）圖象如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>0

【分析】依據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【解答】解：（A）由圖象開口可知：a<0

由對稱軸可知：上>0,

2a

Ab>0,

???由拋物線與y軸的交點可知：c>0,

/.abc<0,故A1E確；

（B）由圖象可知：x=-1,y<0,

y=a-b+c<0,

Aa+c<b,故B正確；

（C）由圖象可知：頂點的縱坐標大于2,

2

A4ac-b>2>a〈o,

4a

.*.4ac-b2V8a,

Ab2+8a>4ac,故C正確；

（D）對稱軸x=_Lvi,a<0,

2a

A2a+b<0,故D錯誤；

故選：D.

16.（2024?衡陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1,0）,頂點坐標（1,n）與

y軸的交點在（0,2）,（0,3）之間（包含端點），則下列結(jié)論：①3a+bV0；②??2；

3

③對于隨意實數(shù)m,a+b2am2+bm總成立；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實

數(shù)艱.其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）

【分析】利用拋物線開口方向得到aVO,再由拋物線的對稱軸方程得到b=-2a,則3a+b=a,

于是可對①進行推斷；利用2WcW3和c=-3a可對②進行推斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對③

進行推斷；依據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點可對④進行推斷.

【解答】解：:拋物線開口向下，

Aa<0,

而拋物線的對稱軸為直線x=-上=1,即b=-2a,

2a

/.3a+b=3a-2a=a<0,所以①正確；

??2WcW3,

而c=-3a,

???2《-3aW3,

???-lWaW-2,所以②正確；

3

???拋物線的頂點坐標（1,n）,

??.x=l時，二次函數(shù)值有最大值n,

...a+b+cNam2+bm+c,

即a+b2am2+bm,所以③正確；

???拋物線的頂點坐標（1,n）f

；?拋物線y=ax?+bx+c與直線y=n-1有兩個交點,

，關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確.

故選：D.

17.（2024?棗莊）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，且過點A（3,0）,二次函數(shù)圖

象的對稱軸是直線x=l,下列結(jié)論正確的是（）

丁小/

A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=O

【分析】依據(jù)拋物線與x軸有兩個交點有b2-4ac>0可對A進行推斷；由拋物線開口向上得a

>0,由拋物線與y軸的交點在x軸下方得cVO,則可對B進行推斷：依據(jù)拋物線的對稱軸是

x=l對C選項進行推斷；依據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點為（-1,0）,

所以a-b+c=O,則可對D選項進行推斷.

【解答】解：???拋物線與x軸有兩個交點，

Ab2-4ac>0,Wb2>4ac,所以A選項錯誤;

???拋物線開口向上，

Aa>0,

???拋物線與y軸的交點在x軸下方，

Ac<0,

Aac<0,所以B選項錯誤;

???二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=l,

/.--^-=1,.*.2a+b=0,所以C選項錯誤；

2a

??,拋物線過點A（3,0）,二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=L

???拋物線與x軸的另一個交點為（-1,0）,

/.a-b+c=0,所以D選項正確；

故選：D.

18.（2024?隨州）如圖所示,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸

交于點C對稱軸為直線x=l.直線y=-x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下

方且橫坐標小于3,則下列結(jié)論：

①2a+b+c>0；

②a-b+c<0；

③x（ax+b）Wa+b：

@a<-1.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】利用拋物線與y軸的交點位置得到c>0,利用對稱軸方程得到b=-2a,則2a+b+c=c

>0,于是可對①進行推斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點（-1,

0）右側(cè)，則當時，y<0,于是可對②進行推斷；依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x=l時，二

次函數(shù)有最大值，則ax2+bx+cWa+b+c,于是可對③進行推斷；由于直線y=-x+c與拋物線

y=ax?+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3,利用函數(shù)圖象得x=3時、一次函

數(shù)值比二次函數(shù)值人，即9a+3b+c<-3+c,然后把b=-2a代入解a的不等式，則可對④進行

推斷.

【解答】解：???拋物線與y軸的交點在x軸上方，

Ac>0,

???拋物線的對稱軸為直線x=-A=i,

2a

b=-2a?

/.2a+b+c=2a-2a+c=c>0,所以①正確；

丁拋物線與x軸的一個交點在點（3,0）左側(cè)，

而拋物線的對稱軸為直線x=l,

???拋物線與x軸的另一個交點在點（?1,0）右側(cè)，

???當x=-1時，y<0,

Aa-b+c<0,所以②正確；

?.?x=l時，二次函數(shù)有最大值，

/.ax2+bx+c^a+b+c,

.*.ax2+bx^a+b,所以③正確；

二,直線y=-x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3,

???x=3時，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，

即9a+3b+c<-3+c,

而b=-2a,

9a-6a<-3,解得aV-1,所以④正確.

故選：A.

19.(2024?襄陽)已知二次函數(shù)y=x2-x+lm-1的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是()

4

A.mW5B.me2C.m<5D.m>2

【分析】依據(jù)已知拋物線與x軸有交點得出不等式，求出不等式的解集即可.

【解答】解：???二次函數(shù)y=x?-x+看m-1的圖象與x軸有交點，

?.△=(-1)2-4X1X(Lm-1)20,

4

解得：mW5,

故選：A.

20.(2024?臺灣)已知坐標平面上有始終線L,其方程式為y+2=0,且L與二次函數(shù)y=3x2+a

的圖形相交于A,B兩點：與二次函數(shù)y=-2x"b的圖形相交于C,D兩點，其中a、b為整數(shù).若

AB=2,CD=4.則a+b之值為何？()

A.1B.9C.16D.24

【分析】推斷出A、C兩點坐標，利用待定系數(shù)法求出a、b即可：

【解答】解：如圖，

由題意A(1,-2),C(2,-2),

分別代入y=3x?+a,y=-2x?+b可得a=-5,b=6,

a+b=l?

故選：A.

2L(2024?紹興)若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點間的距離為2,稱此拋物線為定弦拋物

線，已知某定弦拋物線的對稱軸為直線x=l,將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個

單位，得到的拋物線過點()

A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)

【分析】依據(jù)定弦拋物線的定義結(jié)合其對稱軸，即可找出該拋物線的解析式，利用平移的"左

加右減，上加下減〃找出平移后新拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可

找出結(jié)論.

【