初中數(shù)學(xué)自主招生訓(xùn)練 專題20 平面向量（含解析）

專題20平面向量

一.選擇題（共1小題）

1.（2018秋?松江區(qū)期中）己知￡E是兩個(gè)非零向量，彳是一個(gè)單位向量，下列等式中正確

的是（）

A.-^-=1B.C.|磊=:D.|籥=:

lailaiIbl

二.填空題（共5小題）

2.（2021?寶山區(qū)校級自主招生）已知△A8C,標(biāo)=之，AC=b邊8C上有點(diǎn)尸1、心、Py-

P22，使得BP\=P1P2=p2P3=…P22c,則AP；+AP；+AP；+…+APon

3.（2016?寶山區(qū)校級自主招生）在△48C中，設(shè)CB=bP是中線4E與中線CF

的交點(diǎn)，則BF=.（用；，石表示）

4.（2014?寶山區(qū)校級自主招生）如圖，在中，。、E分別為AC、A8的中點(diǎn)，屈=々，

瓦=b,則而=.

5.（2021春?虹口區(qū)校級期末）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)非零向量示、0B>0C，它們的模都相

等，并且兩兩的夾角均為120度，則豕+無+丘=.

B

O

C

6.已知四邊形ABC。的對角線AC,B￡＞互相垂直，點(diǎn)E、尸分別是AB、C。中點(diǎn).若AC=

a、DB=b貝UEF=（用向量a、B表示）；若IAQ=4,IDBI=3,則

IEFI=.

三.解答題（共13小題）

7.（2019?湖北自主招生）定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平

面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向

量的方向.其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量.

如以正方形ABCO的四個(gè)頂點(diǎn)中某一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出8

個(gè)不同的向量：港、而、菽、以、標(biāo)、五、麗、DB（由于標(biāo)和正是相等向量，因

此只算一個(gè)）.

圖一

圖二

共

m

個(gè)

正

方

形

圖-

-

相

連

k_____,_________J

V

共n個(gè)正方形相連

因四

（1）作兩個(gè)相鄰的正方形（如圖一）.以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作

向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為/（2）,試求/1（2）的值；

（2）作〃個(gè)相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開.以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一

個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為了（〃），試求f（〃）的值；

（3）作2X3個(gè)相鄰的正方形（如圖三）排開.以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)

為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（2X3）,試求/（2X3）的值；

（4）作mX〃個(gè)相鄰的正方形（如圖四）排開.以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)

為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為/'（mX〃），試求的值.

8.（2011?甌海區(qū)校級自主招生）先閱讀短文，再解答短文后面的問題.

在幾何學(xué)中，通常用點(diǎn)表示位置，用線段的長度表示兩點(diǎn)間的距離，用一條射線表示一

個(gè)方向.在平面內(nèi)，從一點(diǎn)出發(fā)的所有射線，可以用來表示平面內(nèi)的各個(gè)不同的方向.

在線段的兩個(gè)端點(diǎn)中，我們規(guī)定一個(gè)順序：4為始點(diǎn)，8為終點(diǎn)，我們就說線段具有

射線48的方向.具有方向的線段，叫做有向線段.通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表

示它的方向.以A為始點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段記作標(biāo).應(yīng)注意，始點(diǎn)一定要寫在終

點(diǎn)的前面.

已知有向線段標(biāo)，線段的長度叫做有向線標(biāo)的長度（或模），靛的長度記作|標(biāo)|.有

向線段包含三個(gè)要素：始點(diǎn)、方向和長度.知道了有向線段的始點(diǎn)，它的終點(diǎn)就被方向

確

解答下列問題:

（1）如果兩條有向線段的長度相同，始點(diǎn)的位置相同，那么它們的終點(diǎn)位置是否相同？

為什么？

（2）如果兩條有向線段的方向相同，始點(diǎn)的位置相同，那么它們的終點(diǎn)位置是否相同？

為什么？

（3）在平面直角坐標(biāo)系中畫出下列有向線段（有向線段與軸的長度單位相同）：

①I正1=2點(diǎn)，記與x軸的負(fù)半軸的夾角是45°，且與y軸的正半軸的夾角是45°,求

終點(diǎn)A的坐標(biāo);

②0B的終點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,叮），求它的模及它與x軸的正半軸的夾角;

（4）已知點(diǎn)M、A、P在同一直線上；那么|忌|+|薪|二|而|一定成立嗎？請?jiān)趫D中

畫出圖形并加以說明.

9.（2011?長沙校級自主招生）定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向

量.平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向

表示向量的方向.其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量.

如以正方形A8CO的四個(gè)頂點(diǎn)中某一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出8

個(gè)不同的向量：AE,裾、菽、既、元、五、麗、DB（由于屈和正是相等向量，因

此只算一個(gè)）.

（1）作兩個(gè)相鄰的正方形（如圖一）.以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作

向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為/（2）,試求f（2）的值；

圖一

（2）作〃個(gè)相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開.以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一

個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（〃），試求f（〃）的值；

???

V

共n個(gè)正方形

圖二

（3）作2X3個(gè)相鄰的正方形（如圖三）排開.以其中的一個(gè)頂馬為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)

為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為/（2X3）,試求/（2義3）的值；

圖三

（4）作機(jī)X〃個(gè)相鄰的正方形（如圖四）排開.以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)

為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為，（機(jī)X"），試求f（mX〃）的值.

共

m個(gè)

正

方

形

相

連

V

圖四

.

線上

延長

線的

對角

C力的

形人8

四邊

平行

七在

，點(diǎn)

如圖

末）

區(qū)期

黃浦

1春?

（202

10.

BC=

E-

.A

C=

+D

DA

空：

（1）填

果）

出結(jié)

，寫

痕跡

作圖

保留

法，

寫作

E（不

AB+D

作：

（2）求

D

:，A

標(biāo)=

，設(shè)

AB上

O的邊

48C

邊形

行四

在平

點(diǎn)E

已知

圖，

末）如

區(qū)期

?黃浦

2018春

11.（

，

作向量

的線段

用圖中

O再

DC=

=b

.

量

向

的

行

平

菽

與

出

（1）寫

；EC

E=

EC.D

正、

向量

表示

b>W

量之、

試用向

（2）

+元.

+而

作布

（3）求

對角線

分別是

、尸

中，E

ABC。

邊形

行四

在平

圖，

：如

已知

末）

區(qū)期

東新

春?浦

（2018

12.

.

F=c

b?A

BC=

=a，

AB

=DF,

且BE

點(diǎn)，

的兩

8。上

量而

，向

=

量五

：向

向量

下列

表示

b>工

Z、

向量

（1）用

；

量靛=

，向

=

b+c.

作：

（2）求

13.(2017秋?銅梁區(qū)期末)我們規(guī)定：若7=(小b),N=(c,d),則市:15=ac+bd,如7

=(2,3),N=(4,5),則祈=2X4+3X5=23.

(I)設(shè)寸=(9,-4),%=(-2,x-1),且樂1=?26,求實(shí)數(shù)工的值.

(2)設(shè)7=(x-?,1),N=(x-a,x+2),且關(guān)于x的函數(shù)丁=市?小的圖象與一次函數(shù)

y=2x+3的圖象有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，求a的取值范圍.

14.(2017秋?海安市校級月考)我們規(guī)定：若7=(a,b),；=(c,d),Mn^=ac+bd.如

n=(1.2),

n=(3,5),則7G=1X3+2X5=13.

(1)已知n=(2,4),r)=(2,-3),求n?n;

(2)已知n=(x+2,I),n=(x-2,3x-I).

①求y=n?

②判斷川=7?7的函數(shù)圖象與一次函數(shù)”=/+3的圖象是否有公共點(diǎn)，若有，請求出公

共點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒有，請說明理由.

③直接寫出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍.

15.(2016?閘北區(qū)一模)如圖，已知平行四邊形A8C。的對角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是邊BC

的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)力上交AC于點(diǎn)G.設(shè)元=Z，DC=b

(1)試用a、b表示向量OC；

(2)試用7、E表示向量工.

DC

16.(2015秋?閔行區(qū)期末)如圖，已知四邊形A8CQ,點(diǎn)P、。、R分別是對角線4C、BD

和邊AB的中點(diǎn)，設(shè)BC=a，AE=b.

（1）試用二，E的線性組合表示向量而；（需寫出必要的說理過程）

（2）畫出向量瓦分別在；，法向上的分向量.

17.（2013?閘北區(qū)一模）已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線4C、8。相交于點(diǎn)

O,點(diǎn)、M、N分別在邊人O和邊。D上，旦AM—210,ON-LOD,設(shè)港一：，菽一總

33

試用二、E的線性組合表示向量誣利向量疝.

18.（2010秋?長寧區(qū)期末）如圖，在邊長為/的小正方體組成的網(wǎng)格中，小正方體的頂點(diǎn)稱

為格點(diǎn)，△A8C的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

（1）在網(wǎng)格中確定一點(diǎn)。，使得標(biāo)=而（只要畫出向量，不必寫作法）；

（2）若芯為3。的中點(diǎn)，則tanNC4E=:

（3）在△ACO中，求NC4。的正弦值.

19.（2017秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，已知點(diǎn)M是△A3C邊上一點(diǎn)，設(shè)標(biāo)=[,AC=

b.

(1)當(dāng)圖＞=2時(shí)，AM=；(用a與b表示)

MC

(2)當(dāng)念=蕓+與時(shí)，罌=_____________________；

77MC

(3)在原圖上作出設(shè)標(biāo)、正上的分向量.

專題20平面向量

一.選擇題（共1小題）

1.【解答】解：4、得出的是。的方向不是單位向量，故錯(cuò)誤；

8、左邊得出的是。的方向，右邊得出的是b的方向，兩者方向不一定相同，故錯(cuò)誤;

C、由于單位向量只限制長度，不確定方向，故錯(cuò)誤；

。、符合向量的長度及方向，故正確；

故選：

二.填空題（共5小題）

2.【解答】解：如圖，設(shè)

則有APJAP；+—AP，=（a+c）+（a+2c）+?+（a+22c）

=22*23X117，

**a+23c=b?

+++=11

APIAP2*AP22a+ll0+23X11c=11a+11（a+23c）=11a+11b，

故答案為：lla+llb.

3.【解答】解：???溫AE是△ABC的中線,

AEC=BE=-lcB=-1b，

22

VCA=^,

?'?EA=EC+CA=-—b+a?

2

???P是中線AE與中線CF的交點(diǎn)，

33236

,尋標(biāo)+而一山二三占毋

23633

故答案為：—a_—b-

33

,