初中數(shù)學自主招生訓練 專題20 平面向量（含解析）

專題20平面向量

一.選擇題（共1小題）

1.（2018秋?松江區(qū)期中）己知￡E是兩個非零向量，彳是一個單位向量，下列等式中正確

的是（）

A.-^-=1B.C.|磊=:D.|籥=:

lailaiIbl

二.填空題（共5小題）

2.（2021?寶山區(qū)校級自主招生）已知△A8C,標=之，AC=b邊8C上有點尸1、心、Py-

P22，使得BP\=P1P2=p2P3=…P22c,則AP；+AP；+AP；+…+APon

3.（2016?寶山區(qū)校級自主招生）在△48C中，設CB=bP是中線4E與中線CF

的交點，則BF=.（用；，石表示）

4.（2014?寶山區(qū)校級自主招生）如圖，在中，。、E分別為AC、A8的中點，屈=々，

瓦=b,則而=.

5.（2021春?虹口區(qū)校級期末）如圖，平面內(nèi)有三個非零向量示、0B>0C，它們的模都相

等，并且兩兩的夾角均為120度，則豕+無+丘=.

B

O

C

6.已知四邊形ABC。的對角線AC,B￡＞互相垂直，點E、尸分別是AB、C。中點.若AC=

a、DB=b貝UEF=（用向量a、B表示）；若IAQ=4,IDBI=3,則

IEFI=.

三.解答題（共13小題）

7.（2019?湖北自主招生）定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平

面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向

量的方向.其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量.

如以正方形ABCO的四個頂點中某一點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出8

個不同的向量：港、而、菽、以、標、五、麗、DB（由于標和正是相等向量，因

此只算一個）.

圖一

圖二

共

m

個

正

方

形

圖-

-

相

連

k_____,_________J

V

共n個正方形相連

因四

（1）作兩個相鄰的正方形（如圖一）.以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作

向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為/（2）,試求/1（2）的值；

（2）作〃個相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開.以其中的一個頂點為起點，另一

個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為了（〃），試求f（〃）的值；

（3）作2X3個相鄰的正方形（如圖三）排開.以其中的一個頂點為起點，另一個頂點

為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f（2X3）,試求/（2X3）的值；

（4）作mX〃個相鄰的正方形（如圖四）排開.以其中的一個頂點為起點，另一個頂點

為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為/'（mX〃），試求的值.

8.（2011?甌海區(qū)校級自主招生）先閱讀短文，再解答短文后面的問題.

在幾何學中，通常用點表示位置，用線段的長度表示兩點間的距離，用一條射線表示一

個方向.在平面內(nèi)，從一點出發(fā)的所有射線，可以用來表示平面內(nèi)的各個不同的方向.

在線段的兩個端點中，我們規(guī)定一個順序：4為始點，8為終點，我們就說線段具有

射線48的方向.具有方向的線段，叫做有向線段.通常在有向線段的終點處畫上箭頭表

示它的方向.以A為始點，以B為終點的有向線段記作標.應注意，始點一定要寫在終

點的前面.

已知有向線段標，線段的長度叫做有向線標的長度（或模），靛的長度記作|標|.有

向線段包含三個要素：始點、方向和長度.知道了有向線段的始點，它的終點就被方向

確

解答下列問題:

（1）如果兩條有向線段的長度相同，始點的位置相同，那么它們的終點位置是否相同？

為什么？

（2）如果兩條有向線段的方向相同，始點的位置相同，那么它們的終點位置是否相同？

為什么？

（3）在平面直角坐標系中畫出下列有向線段（有向線段與軸的長度單位相同）：

①I正1=2點，記與x軸的負半軸的夾角是45°，且與y軸的正半軸的夾角是45°,求

終點A的坐標;

②0B的終點8的坐標為（3,叮），求它的模及它與x軸的正半軸的夾角;

（4）已知點M、A、P在同一直線上；那么|忌|+|薪|二|而|一定成立嗎？請在圖中

畫出圖形并加以說明.

9.（2011?長沙校級自主招生）定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向

量.平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向

表示向量的方向.其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量.

如以正方形A8CO的四個頂點中某一點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出8

個不同的向量：AE,裾、菽、既、元、五、麗、DB（由于屈和正是相等向量，因

此只算一個）.

（1）作兩個相鄰的正方形（如圖一）.以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作

向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為/（2）,試求f（2）的值；

圖一

（2）作〃個相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開.以其中的一個頂點為起點，另一

個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f（〃），試求f（〃）的值；

???

V

共n個正方形

圖二

（3）作2X3個相鄰的正方形（如圖三）排開.以其中的一個頂馬為起點，另一個頂點

為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為/（2X3）,試求/（2義3）的值；

圖三

（4）作機X〃個相鄰的正方形（如圖四）排開.以其中的一個頂點為起點，另一個頂點

為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為，（機X"），試求f（mX〃）的值.

共

m個

正

方

形

相

連

V

圖四

.

線上

延長

線的

對角

C力的

形人8

四邊

平行

七在

，點

如圖

末）

區(qū)期

黃浦

1春?

（202

10.

BC=

E-

.A

C=

+D

DA

空：

（1）填

果）

出結

，寫

痕跡

作圖

保留

法，

寫作

E（不

AB+D

作：

（2）求

D

:，A

標=

，設

AB上

O的邊

48C

邊形

行四

在平

點E

已知

圖，

末）如

區(qū)期

?黃浦

2018春

11.（

，

作向量

的線段

用圖中

O再

DC=

=b

.

量

向

的

行

平

菽

與

出

（1）寫

；EC

E=

EC.D

正、

向量

表示

b>W

量之、

試用向

（2）

+元.

+而

作布

（3）求

對角線

分別是

、尸

中，E

ABC。

邊形

行四

在平

圖，

：如

已知

末）

區(qū)期

東新

春?浦

（2018

12.

.

F=c

b?A

BC=

=a，

AB

=DF,

且BE

點，

的兩

8。上

量而

，向

=

量五

：向

向量

下列

表示

b>工

Z、

向量

（1）用

；

量靛=

，向

=

b+c.

作：

（2）求

13.(2017秋?銅梁區(qū)期末)我們規(guī)定：若7=(小b),N=(c,d),則市:15=ac+bd,如7

=(2,3),N=(4,5),則祈=2X4+3X5=23.

(I)設寸=(9,-4),%=(-2,x-1),且樂1=?26,求實數(shù)工的值.

(2)設7=(x-?,1),N=(x-a,x+2),且關于x的函數(shù)丁=市?小的圖象與一次函數(shù)

y=2x+3的圖象有兩個不相同的交點，求a的取值范圍.

14.(2017秋?海安市校級月考)我們規(guī)定：若7=(a,b),；=(c,d),Mn^=ac+bd.如

n=(1.2),

n=(3,5),則7G=1X3+2X5=13.

(1)已知n=(2,4),r)=(2,-3),求n?n;

(2)已知n=(x+2,I),n=(x-2,3x-I).

①求y=n?

②判斷川=7?7的函數(shù)圖象與一次函數(shù)”=/+3的圖象是否有公共點，若有，請求出公

共點的坐標，若沒有，請說明理由.

③直接寫出當時，x的取值范圍.

15.(2016?閘北區(qū)一模)如圖，已知平行四邊形A8C。的對角線相交于點O,點E是邊BC

的中點，聯(lián)結力上交AC于點G.設元=Z，DC=b

(1)試用a、b表示向量OC；

(2)試用7、E表示向量工.

DC

16.(2015秋?閔行區(qū)期末)如圖，已知四邊形A8CQ,點P、。、R分別是對角線4C、BD

和邊AB的中點，設BC=a，AE=b.

（1）試用二，E的線性組合表示向量而；（需寫出必要的說理過程）

（2）畫出向量瓦分別在；，法向上的分向量.

17.（2013?閘北區(qū)一模）已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線4C、8。相交于點

O,點、M、N分別在邊人O和邊。D上，旦AM—210,ON-LOD,設港一：，菽一總

33

試用二、E的線性組合表示向量誣利向量疝.

18.（2010秋?長寧區(qū)期末）如圖，在邊長為/的小正方體組成的網(wǎng)格中，小正方體的頂點稱

為格點，△A8C的三個頂點都在格點上.

（1）在網(wǎng)格中確定一點。，使得標=而（只要畫出向量，不必寫作法）；

（2）若芯為3。的中點，則tanNC4E=:

（3）在△ACO中，求NC4。的正弦值.

19.（2017秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，已知點M是△A3C邊上一點，設標=[,AC=

b.

(1)當圖＞=2時，AM=；(用a與b表示)

MC

(2)當念=蕓+與時，罌=_____________________；

77MC

(3)在原圖上作出設標、正上的分向量.

專題20平面向量

一.選擇題（共1小題）

1.【解答】解：4、得出的是。的方向不是單位向量，故錯誤；

8、左邊得出的是。的方向，右邊得出的是b的方向，兩者方向不一定相同，故錯誤;

C、由于單位向量只限制長度，不確定方向，故錯誤；

。、符合向量的長度及方向，故正確；

故選：

二.填空題（共5小題）

2.【解答】解：如圖，設

則有APJAP；+—AP，=（a+c）+（a+2c）+?+（a+22c）

=22*23X117，

**a+23c=b?

+++=11

APIAP2*AP22a+ll0+23X11c=11a+11（a+23c）=11a+11b，

故答案為：lla+llb.

3.【解答】解：???溫AE是△ABC的中線,

AEC=BE=-lcB=-1b，

22

VCA=^,

?'?EA=EC+CA=-—b+a?

2

???P是中線AE與中線CF的交點，

33236

,尋標+而一山二三占毋

23633

故答案為：—a_—b-

33

,