第四章 指數函數與對數函數（壓軸題專練）-2024-2025學年高一數學單元速記（人教A版必修第一冊）

PAGE1第四章指數函數與對數函數（壓軸題專練）題型一：求指數型復合函數的值域1．（23-24高一上·遼寧·階段練習）已知函數，其中實數，若對于使得，則的一個可能的取值為.【答案】（答案不唯一）【分析】轉化為值域的包含關系，分類討論后列式求解，【詳解】若對于使得，設，，則，的對稱軸為，①當時，在上單調遞減，，而，顯然不滿足題意，②當時，，則在內單調遞減，在內單調遞增，，而在上單調遞減，，故時滿足題意，③當時，，在上單調遞增，，由解得，綜上，當且時，對于使得，故答案為：（答案不唯一）2．（23-24高一上·河南三門峽·期末）已知函數滿足，有．(1)求的解析式；(2)若，函數，且，，使，求實數a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過列方程組的方法來求得的解析式；（2）先求得的值域，利用換元法，結合函數的單調性求得的值域，由此列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1），將x替換成，得，聯(lián)立兩式，，解得．（2）因為在上單調遞增，所以，對于，不妨取，則，因為，所以，，則，即，故在1,+∞上單調遞增，又在0,+∞上單調遞增，且在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上單調遞增，因為，，所以在1,2上單調遞增，且恒成立，所以在1,2上單調遞增，則，，因為，，使，所以的值域是的值域的子集．故，即，解得（負值舍去），所以．【點睛】求解兩個函數相等的恒成立、存在性問題，可以轉化為兩個函數值域的包含關系，列不等式來進行求解.求解對鉤型函數的單調性、值域等問題，可以先判斷出函數的單調性，從而求得函數的值域（或最值）.3．（23-24高二下·福建福州·階段練習）設函數，.(1)求函數的值域；(2)設函數，若對，，，求實數a取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基本不等式求函數值域；（2）將問題轉化為的值域為值域的子集求解.【詳解】（1）∵，又∵，，∴，當且僅當，即時取等號，所以，即函數的值域為.（2）∵，設，因為，所以，函數在上單調遞增，∴，即，設時，函數的值域為A.由題意知，∵函數①當，即時，函數在上遞增，則，即，∴②當時，即時，函數在上的最大值為，中的較大者，而且，不合題意，③當，即時，函數在上遞減，則，即，滿足條件的不存在，綜上所述，實數a取值范圍為.【點睛】對于雙變量雙函數類似，，的問題轉化為值域包含值域的問題.題型二：根據指數型復合函數的值域求參數1．（23-24高一下·湖南·階段練習）已知的值域為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】考慮時，由指數函數的單調性得到取值范圍，此時不成立，舍去，再考慮，結合基本不等式求出函數值域，A錯誤；考慮，求出與時的函數值取值范圍，進而得到不等式，求出答案.【詳解】①若，當時，在上單調遞增，此時，則，又不成立，所以此時不成立，排除選項D；②若當時，，當時，，當且僅當時，等號成立，則函數的值域，滿足；排除選項A；③若，當時，在上單調遞減，此時，當時，，當且僅當時，等號成立，又函數的值域滿足，則解得.綜上所述：.故選：C.2．（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數值域為，利用指數函數和一次函數函數單調性以及畫出函數圖像分析即可解決問題.【詳解】當時，單調遞增，所以當時，單調遞增，所以，要使得函數值域為，則恒成立，令，如圖所示：

由圖可知有兩個交點，且交點的橫坐標分別為，所以若要，則，也即函數的值域為時，則實數的取值范圍為：，故選：D.3．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函數的值域為，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據分段函數解析式，求出在對應區(qū)間上的值域，分類討論解不等式即可求出的取值范圍.【詳解】當時，在上單調遞增，所以時，；當時，，當時，在上單調遞減，所以時，即時，，因為函數的值域為，所以時，且.由不等式，解得不等式等價于時，，設，因為在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以時，等價于，即，由不等式，解得，所以時，的解集為，綜上，的取值范圍是，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據指數函數和二次函數單調性求得該分段函數值域，再利用值域間的包含關系解不等式可得結果.4．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數在區(qū)間上的值域為，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】利用函數的最值求出，通過函數的值域，求出的取值范圍【詳解】，則在上遞減，在上遞增，所以當時，函數取得最小值0，由，得或，所以函數在區(qū)間上的值域為時，，故答案為：題型三：根據指數型復合函數的單調性解不等式1．（23-24高一下·安徽淮北·階段練習）設函數，，，若，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】依題寫出函數，判斷其奇偶性，將不等式等價轉化，利用函數的奇偶性和單調性得到對數不等式，利用對數函數單調性解之即得.【詳解】由題意，當時，，則，即函數是偶函數.因時，函數單調遞增，則，故得，即，故，解得.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題主要考查利用分段函數的單調性和奇偶性解抽象不等式，屬于較難題.解決此類問題的思路在于，根據所給的函數判斷其奇偶性和單調性，利用函數的這些性質將抽象不等式化成具體不等式求解即得.2．（2024高一·全國）當為何值時，不等式恰有一個解．【答案】．【分析】令，則，將原不等式化為，記，判斷在上單調遞增且f1=0，從而得到，即恰有一個解，然后利用判別式求解即可.【詳解】令，則，原不等式化為，因為，所以，所以，記，因為，且與在上均單調遞增，所以在上單調遞增，且f1=0，所以不等式的解為，即原問題轉化為恰有一個解，根據二次函數圖象和性質可知方程有兩個相等的根，所以，解得．3．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函數且的圖象過點.(1)求不等式的解集；(2)已知，若存在，使得不等式對任意恒成立，求的最小值.【答案】(1)；(2)6.【分析】（1）根據給定條件，求出值及函數，再解對數不等式即得.（2）利用函數的單調性脫去法則并變形，轉化為一元二次不等式恒成立求解即得.【詳解】（1）依題意，，解得，則，，不等式，即，解得，則有，即，所以原不等式的解集為.（2）當時，，又在上單調遞增，則當時，不等式恒成立，等價于恒成立，即恒成立，當時，，得，設函數，其圖象開口向上，對稱軸方程為，而，即，又對任意恒成立，則，于是在上的最小值為，原問題轉化為：存在，使得，即，由于，則，要使成立，只需，解得，又，所以的最小值為6.【點睛】結論點睛：函數的定義區(qū)間為，①若，總有成立，則；②若，總有成立，則；③若，使得成立，則；④若，使得成立，則.4．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）已知函數（，且）．(1)若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，且點在函數的圖象上，求實數的值；(2)在（1）的條件下，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由指數函數與對數互為反函數得，再由過定點求解；（2）利用對數函數的單調性，將不等式轉化為二次不等式在閉區(qū)間上的恒成立問題，結合二次函數圖象建立不等式組求解可得.【詳解】（1）由函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則為的反函數，即（，且），又過，則有，解得；（2）由（1）知在為減函數，則，且，由題意，首先不等式在有意義，設，函數單調遞增，則，則，此時也滿足.不等式可化為，則有，，則有在恒成立，設，函數圖象開口向上，則，解得，滿足.故實數的取值范圍為.題型四：指數函數最值與不等式綜合問題1．（23-24高二下·山東青島·期末）已知函數為奇函數．(1)求實數k的值；(2)若對，不等式恒成立，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求出參數并檢驗即可得解；（2）分離參數并通過換元法可得，故只需求出不等式右邊的最小值即可得解.【詳解】（1）因為是奇函數，所以，解得，此時符合題意．（2）原問題即為，即恒成立，則，設，則，，∴當時，y取得最小值26，要使不等式在上恒成立，則，2．（23-24高一上·山東棗莊·期中）已知函數是奇函數.(1)求實數的值；(2)若時，關于x的不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據得到，再驗證即可；（2）變換得到，設，根據均值不等式計算得到，即可得到m的范圍.【詳解】（1）是奇函數，且定義域為，所以，即，解得.，，所以是奇函數，故.（2），，恒成立，得，因為，所以，則，所以，設，因為，當且僅當，即時，等號成立，又，所以，故，所以，即.3．（23-24高一上·山東濟寧·期中）設函數，是定義域為的奇函數.(1)確定的值.(2)若，判斷并證明的單調性；(3)若，使得對一切恒成立，求出的范圍.【答案】(1)(2)在上單調遞增，證明見解析(3)【分析】（1）根據奇函數的性質計算可得；（2）首先求出的值，即可得到函數解析式，再利用單調性的定義證明即可；（3）依題意可得對恒成立，由，即可得到，從而得解.【詳解】（1）因為是定義域為的奇函數，則，而，解得，所以的值是.（2）由（1）得，是定義域為的奇函數，又，則，即，又，解得，則所以函數在上單調遞增，證明如下：設且，則，因為，則，即，，于是得，即，所以函數在定義域上單調遞增.（3）當時，，因為，，因為函數在上單調遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍為.4．（23-24高一上·天津濱海新·期中）已知函數，．(1)證明函數在上單調遞減；(2)若，，使得，求實數a的取值范圍；(3)若關于x的不等式：在上有解，求實數a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用定義法作差變形判斷得到結論即可；（2）轉化為即可得到答案；（3）轉化為，再設新函數求出右邊最小值即可.【詳解】（1）證明：任取，，,,即函數在上單調遞減.（2）由（1）的結論知在上單調遞減，則，因為在上單調遞增，所以若，使得，則即，解得.（3）由題意得在上有解，即在上有解，所以，設，因為在單調遞減，在單調遞減，所以在上單調遞減，所以，所以.題型五：求對數型復合函數的值域1．（2024·山東菏澤·模擬預測）若函數，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用對數函數單調性求出的值域，再借助二次函數求出的值域，最后利用指數函數單調性求解即得.【詳解】由可得，函數在上單調遞增，，令，而函數在上單調遞增，則，所以函數的值域為.故選：D2．（23-24高一上·浙江杭州·階段練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法和對數函數單調性即可求得函數的值域.【詳解】函數的定義域為R，令，則，又在上單調遞增，則，則函數的值域為故選：B3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）已知函數．(1)當時，解不等式；(2)若函數的圖象過點，求函數的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，利用對數函數和指數函數的單調性可得出不等式的解集；（2）由可求出的值，再化簡函數的解析式，利用指數函數和對數函數的基本性質可得出函數的值域.【詳解】（1）解：當時，．由，得，得，得，解得．故不等式的解集是．（2）解：因為函數的圖象過點，所以，即，解得．所以．所以，則．因為，則，，所以的值域為．4．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知函數為奇函數．(1)解不等式；(2)設函數，若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據奇偶性的定義直接可得參數值，進而可判斷函數的單調性，解不等式；（2）由（1）可得的值域，再利用換元法設，可得的值域，根據，列不等式可得解.【詳解】（1）由已知函數需滿足，當時，函數的定義域為，又函數為奇函數，所以，即在上恒成立，即，（舍），當時，，函數的定義域為，又函數為奇函數，所以，，此時，滿足，為奇函數，成立，所以，所以函數在和上單調遞減，且當時，，當時，，所以，解得；（2）由（1）得在的值域，又，設，，則，當時，取最小值為，當時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得.題型六：根據對數型復合函數的值域求參數1．（23-24高一上·天津·階段練習）函數的值域為R．則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用對數函數的性質，結合一元二次不等式求解即得.【詳解】由函數的值域為R，得的值域包含正實數集，因此，解得或，所以實數m的取值范圍是.故選：D2．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數在上的值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，則函數在上的值域為等價于在上，結合基本不等式求解即可.【詳解】設，因為的值域為，所以，又，，所以，即，解得：且，所以實數的取值范圍是.故選：D.3．（23-24高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）設函數的值域是，求實數的取值范圍.【答案】【分析】設的值域為A，分析可得，分和兩種情況，結合二次函數性質分析求解.【詳解】設的值域為A，若函數的值域是，可得，若，可得的值域為，符合題意；若，可得，解得；綜上所述：實數的取值范圍.題型七：根據對數型復合函數的單調性解不等式1．（23-24高一上·安徽合肥·階段練習）已知二次函數滿足，且．(1)求的解析式；(2)已知，討論在上的最小值；(3)若當時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）設，代入得到值，計算，得到方程組，解出值，即可得到解析式；（2）分，和討論，結合函數單調性即可得到其最小值；（3）不等式化簡為，分和討論，當時，利用函數的單調性即可得到不等式組，解出即可.【詳解】（1）設，因為，所以，則因為，所以解得故．（2）．當，即時，在上單調遞減，所以；當且，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以；當時，在上單調遞增，所以．綜上，當時，；當時，；當時，．（3）不等式可化簡為．因為，所以．要使時，恒成立，顯然時不可能．當時，因為函數、在上均為增函數，則函數在單調遞增，故解得．綜上可知，實數的取值范圍為．【點睛】關鍵點睛：本題第二問屬于軸定區(qū)間動問題，對其分類討論的情況需要結合其開口方向，所問的是最大值還是最小值，抓住對稱軸這一關鍵位置，數形結合討論最值，第三問是一個函數恒成立問題，本問需要對進行分類討論，尤其是當時，需要構造新函數，利用其單調性得到不等式組.2．（23-24高一上·山西朔州·階段練習）已知.(1)若，求的取值范圍；(2)若，不等式恒成立，求實數的取值范圍【答案】(1)；(2).【分析】（1）求函數的定義域，利用對數函數的性質可得，進而求的取值范圍；（2）根據函數單調性的定義判斷，再由復合函數的單調性求最值，將問題轉化為求參數范圍.【詳解】（1）由解析式知：函數的定義域為，由，可得：，解得，綜上，的取值范圍是.（2）令，設，則，又，，故，即，函數g(x)在單調遞增.∵在上單調遞增﹐∴f(x)在上單調遞增，由，即，為增函數.故設，則在上單調遞增，∴，即有.【點睛】關鍵點點睛：第二問，首先根據復合函數單調性的判斷方法確定的單調性，并求其最值，再將恒成立問題化為求范圍.3．（23-24高一上·貴州六盤水·階段練習）已知函數，其中且.(1)若，，求不等式的解集；(2)若，，求b的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據復合函數單調性得到的單調性，再分類討論即可；（2）首先得到，再轉化為單調性問題，最后對分類討論即可.【詳解】（1）當時，.由，解得或，所以的定義域為.因為，所以為偶函數.因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞減，在上單調遞增.當，即時，此時函數單調遞增，且，原不等式成立.當，即時，，因為，則，解得，所以.而恒成立，即當時，不等式無解，綜上，原不等式的解集是.（2）因為，且，所以，又因為，所以在上單調遞增.當時，是減函數，函數在上單調遞增，此時函數在其定義域的的右側區(qū)間上單調遞減，與在上單調遞增不符.當時，要使在上單調遞增，則在上單調遞增，且在上恒成立，所以，解得.綜上，的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：本題第一問的關鍵是得到復合函數的單調性，再合理分類討論；第二問的關鍵是等價轉化為在上單調遞增，再對進行分類討論即可.題型八：對數函數最值與不等式綜合問題1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數且．(1)若在上單調遞增，求實數的取值范圍；(2)若且存在，使得成立，求的最小整數值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，得到在上是增函數，且，即可求解；（2）由，的得到，把不等式，轉化為，結合題意，即可求解.【詳解】（1）解：由函數，設，由且，可得函數在上是增函數，所以，又由函數定義域可得，解得，所以實數的取值范圍是．（2）解：由，可得，又由，可得，所以，即，因為存在，使得成立，可得，所以實數的最小整數值是．2．（23-24高一上·廣東汕頭·階段練習）已知函數的圖象與（，且）的圖象關于直線對稱，且的圖象過點．(1)求函數的解析式；(2)若成立，求的取值范圍；(3)若對，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據函數圖象經過的點，即可代入求解，根據反函數的性質即可求解；（2）根據函數的單調性即可求解；（3）根據單調性求解最值，即可求解.【詳解】（1）因為（，且）的圖象過點，所以，解得，所以．又因為函數的圖象與的圖象關于對稱，所以．（2）因為為內的單調遞減函數，所以，即，則解得，所以的取值范圍為．（3）對于，，對，恒成立，所以．即實數的取值范圍是．3．（23-24高一下·廣東深圳·期末）已知函數（且）在上的最大值為.(1)求的值；(2)當時，，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）分和兩種情況討論，根據對數函數的單調性得出最大值，列方程解出的值；（2）將代入不等式，參變分離化簡，并求出的最大值，可得實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，函數在上單調遞增，則，解得；當時，函數在上單調遞減，則，舍去；綜上可知，；（2）由（1）得，，當時，，即，化簡得，構造，和分別在上單調遞增，在上單調遞增，，故實數的取值范圍是.4．（23-24高一上·江西上饒·期末）已知函數，.(1)判斷函數的奇偶性，并證明你的結論；(2)若對一切實數成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)為上的偶函數，證明見解析(2)【分析】（1）判斷出函數為上的偶函數，然后利用函數奇偶性的定義證明可得結論；（2）利用參變量分離法可得出，利用基本不等式可求得的取值范圍，即可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）解：為上的偶函數，證明如下：對任意的，，故函數的定義域為，，因此，函數為上的偶函數.（2）解：，，，即對一切實數恒成立，則，即，即對一切實數恒成立，而，所以，當且僅當時，即時取等號，，即，即實數的取值范圍為.題型九：判斷函數零點（方程根）個數1．（2024·新疆·二模）已知函數滿足且，當時，，則函數在區(qū)間上的零點個數為（

）A．0 B．1 C．5 D．10【答案】B【分析】將函數的零點個數問題轉化為兩個函數圖象的交點問題，畫出函數圖象找交點個數即可.【詳解】由題意，知4為函數的一個周期且函數的圖象關于直線對稱．當時，由函數的解析式，兩出函數的大致圖象如圖所示．當時，函數的圖象與函數的圖象有且僅有一個交點；當時，總有．而函數在區(qū)間上單調遞增且，，所以函數的圖象與函數的圖象在區(qū)間上沒有交點．綜上，函數在區(qū)間上的零點個數為1．故選：B．【點睛】方法點睛：數形結合的重點是“以形助數”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維．使用數形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．2．（23-24高一下·云南·階段練習）定義為不超過的最大整數，如，，，.已知函數滿足：對任意..當時，，則函數在上的零點個數為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據題設條件求得函數在上的解析式，將函數的零點個數轉化成函數與在上的交點個數問題，理解的含義即得.【詳解】當x∈0,2時，，因為對任意x∈R，，所以.當時，，則，因，當時，，則，當時，，則.即如圖作出函數在上的圖象.由圖知，在上，函數，則可取三個值.因函數在上的零點個數，即函數與在上的交點個數，故只需分別求函數與直線在上的交點個數即可.①顯然，函數與直線在上有5個交點，即此時，函數有等5個零點；②由圖，函數與直線在上有3個交點，此時函數有3個零點，由，可得；由，可得，即函數有共3個零點；③由圖，函數與直線在上有1個交點，此時函數有1個零點，由可得，即此時，函數有1個零點為3.綜上，函數在上共有-4，-2，0，1，2，，3，，4等9個零點.故選：C.【點睛】方法點睛：對于分段函數問題，應本著分段函數分段考慮的原則，由題設解析式推理到給定區(qū)間上的解析式，作出其圖象；對于函數的零點問題，一般可轉化成對應方程的根的個數問題，或者拆分成兩個函數圖象的交點問題去解決.3．（23-24高一上·上?！て谀┮阎?，則方程的實數根個數不可能為（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】A【分析】作出的圖象，令，由對勾函數的性質作出的圖象，再對分類討論，將問題轉化為關于的方程（具體到每種類型時為常數）的解的個數問題.【詳解】因為，當時，則在1,2上單調遞增，在上單調遞減，又，，，當時，所以在0,1上單調遞增，在上單調遞減，且，，，，，作出的圖象，如圖所示：令，由對勾函數的性質可知在0,1，上單調遞減，在，1,+∞上單調遞增，且，，則的圖象如下所示：①當時，令或，則關于的方程有兩個實數解，關于的方程的方程也有兩個實數解，即此時對應的個數為，（以下處理方法類似）；②當時，令或或，此時對應的個數為6；③當時，令或或或，此時對應的個數為；④當時，或或或，此時對應的個數為；⑤當時，或或，此時對應的個數為；⑥當時，或，此時對應的個數為3；⑦當時，，此時對應的個數為2.綜上可知，實數根個數不可能為5個.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是作出的圖象，再對分類討論，將問題轉化為關于的方程（具體到每種類型時為常數）的根的問題.4．（多選）（23-24高一上·江蘇南通·階段練習）定義在上的函數滿足，當時，，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數 B．的圖象沒有對稱中心C．的增區(qū)間為 D．方程有5個實數解【答案】ACD【分析】由題意可判斷函數的周期，結合時的解析式，即可作出函數圖象，數形結合，即可判斷A，B，C；將方程的解的個數問題，轉化為函數知和的圖象的交點個數問題，即可判斷D.【詳解】由題意知定義在上的函數滿足，即2為函數的周期，當時，，當時，，故結合函數的周期，作出其圖象如圖：

結合圖象可知為偶函數，A正確；結合圖象可知為的對稱中心，B錯誤；對于C，結合圖象知的增區(qū)間為，正確，對于D，作出函數方程的圖象，由圖象可知和的圖象有5個交點，故方程有5個實數解，D正確，

故選：ACD【點睛】關鍵點睛：本題考查了函數的奇偶性以及周期性和方程的解的問題，綜合性較強，解答的關鍵是明確函數的性質，結合性質和解析式作出其圖象，數形結合，解決問題.題型十：根據函數零點（方程根）個數求參數1．（24-25高三上·浙江·開學考試）已知函數若恰有三個不同實根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對于嵌套函數的零點問題，一般需要用換元法，再結合函數圖象進行討論.【詳解】令，則，①當時，的圖象如圖所示

若恰有三個不同實根，則一定要有兩個不同的根，所以，設的兩根為且則一定有所以解得當時，如圖所示，若恰有三個不同實根，則必須有，即解得

②當時，或時，只有一個根，此時不能有三個不同實根.③當時，，、的圖象如圖所示，

若有三個不同的實根則，即，此不等式無解綜上所述：故選：D.2．（23-24高一下·云南昆明·期末）設函數，，若曲線與曲線有兩個交點，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】利用分段函數結合分段函數和二次函數的圖象求解.【詳解】當時，當時函數圖象示意圖為則與有兩個零點知a的取值范圍是.故答案為：3．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知函數的定義域為，，若函數有三個零點，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】把函數零點問題轉化為函數與直線的交點問題，數形結合列不等式組求解即可.【詳解】函數有三個零點，則方程即有三個根，所以函數y=fx與函數有三個交點，由作出函數的圖象如圖：若函數y=fx與過原點直線有三個交點，如圖：則，解得，即實數的取值范圍為.故答案為：【點睛】思路點睛：已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數的取值范圍．4．（23-24高一上·浙江寧波·自主招生）已知函數．(1)在平面直角坐標系中作出函數的圖象；(2)若方程有3個解，求實數的取值范圍．【答案】(1)圖象見解析(2)【分析】（1）去絕對值得出分段函數，根據函數解析式畫圖即可；（2）將方程轉化為函數與的交點問題，數形結合即可求解．【詳解】（1）當時，，當時，，所以，圖象如圖所示．

（2），所以方程有3個解即為函數與有三個交點，由圖象可知，．

題型十一：新定義題1．（23-24高二下·河北石家莊·期末）設函數的定義域，若對任意，均有成立，則稱為“無奇”函數．(1)判斷函數①和②是否為“無奇”函數，說明理由；(2)若函數是“無奇”函數，求實數的取值范圍．【答案】(1)①不是，②是，理由見解析；(2)【分析】（1）由，結合“無奇”函數的定義即可判斷①；由恒成立，即可判斷②；（2）若函數不是“無奇”函數，將其轉化為方程有解，參變分離并換元后，可求得實數的取值范圍，最后求其補集即得.【詳解】（1）對于函數①，因，符合f?x=?fx，故不是“無奇”函數；對于②，由因，故恒成立，即是“無奇”函數.（2）假設不是“無奇”函數，則方程有解，即，即有解.令，則，當且僅當時取等號，則，因，則，，從而，，即需使，得，因函數是“無奇”函數，故或.即實數的取值范圍為.【點睛】思路點睛：本題主要考查函數新定義的應用，屬于較難題.解題思路主要有二，判斷函數是否為“無奇”函數，只需要檢測是否恒成立即可；要由函數為“無奇”函數求參問題，一般采用從對立面考慮，將問題轉化成方程有解問題，通過參變分離法，又進一步變成求相應函數的值域問題.2．（24-25高三上·山西晉中·階段練習）對于函數，，如果存在實數a，b，使得函數，那么我們稱為，的“HC函數”．(1)已知，，試判斷是否為，的“HC函數”．若是，請求出實數a，b的值；若不是，請說明理由；(2)已知，，為，的“HC函數”且，．若關于x的方程有解，求實數m的取值范圍；(3)在后續(xù)學習中，我們將學習如下重要結論：“對于任意的正實數a，b，都有，當且僅當時，式中的等號成立”．我們將這個結論稱為“基本不等式”．請利用“基本不等式”，解決下面的問題：已知，，為，的“HC函數”（其中），的定義域，當且僅當時，取得最小值4．若對任意正實數，，且，不等式恒成立，求實數m的最大值．【答案】(1)存在，，使得是為，的“HC函數”(2)(3)10【分析】（1）利用已知定義即可求解；（2）根據題意可得，對于方程可得，換元結合二次函數分析求解；（3）先設的解析式，根據已知定義以及條件求出，的值，再把恒成立問題轉化為最值問題，利用基本不等式的性質即可求解.【詳解】（1）若是，的“函數”，所以，則，解得，，所以存在，，使得是為，的“HC函數”.（2）由題意可知：，對于方程，即，即，令，則，則，對于，可