河北省永年二中2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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河北省永年二中2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知在平面直角坐標(biāo)系中,圓:與圓:交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-22.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.3.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值4.在中,,,,點(diǎn),分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.95.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.6.已知表示兩條不同的直線,表示兩個(gè)不同的平面,且則“”是“”的()條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要7.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.8.如圖,已知平面,,、是直線上的兩點(diǎn),、是平面內(nèi)的兩點(diǎn),且,,,,.是平面上的一動(dòng)點(diǎn),且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.410.雙曲線的一條漸近線方程為,那么它的離心率為()A. B. C. D.11.在中,,分別為,的中點(diǎn),為上的任一點(diǎn),實(shí)數(shù),滿足,設(shè)、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時(shí),的值為()A.-1 B.1 C. D.12.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.27二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則滿足的的取值范圍為_______.14.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.15.若函數(shù)(a>0且a≠1)在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),則a的取值范圍是_______.16.設(shè)滿足約束條件且的最小值為7,則=_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知四棱錐的底面是等腰梯形,,,,,為等邊三角形,且點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段上,且.(1)求證:平面.(2)求二面角的余弦值.18.(12分)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),為的前n項(xiàng)和,求證:.19.(12分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓上在第一象限的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),問(wèn)與面積之差是否為定值?說(shuō)明理由.20.(12分)某公司為了鼓勵(lì)運(yùn)動(dòng)提高所有用戶的身體素質(zhì),特推出一款運(yùn)動(dòng)計(jì)步數(shù)的軟件,所有用戶都可以通過(guò)每天累計(jì)的步數(shù)瓜分紅包,大大增加了用戶走步的積極性,所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”,統(tǒng)計(jì)了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù),規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”,步數(shù)在8000以下的為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”,采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個(gè)用戶,得到如下列聯(lián)表:運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)男3560女26總計(jì)100(1)(i)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;(ii)據(jù)此列聯(lián)表判斷,能否有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”?(2)將頻率視作概率,從該公司的所有人“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”中任意抽取3個(gè)用戶,求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期望.附:21.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求證:.(2)討論函數(shù)的極值;(3)是否存在實(shí)數(shù),使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由可得,O在AB的中垂線上,結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個(gè)圓心的連線上,從而可求.【詳解】因?yàn)?,所以O(shè)在AB的中垂線上,即O在兩個(gè)圓心的連線上,,,三點(diǎn)共線,所以,得,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用,幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.2、D【解析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯(cuò)誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯(cuò)誤;為真,說(shuō)明至少一個(gè)為真命題,則不能推出為真;為真,說(shuō)明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯(cuò)誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.3、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于,設(shè)平面與直線交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點(diǎn)是線段上上的動(dòng)點(diǎn).正確.對(duì)于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對(duì)于,由知,平面平面,與不可能平行,錯(cuò)誤.對(duì)于,因?yàn)?,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.5、B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.6、B【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于充分性:若,則可以平行,相交,異面,故充分性不成立;若,則可得,必要性成立.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系,以及充要條件的判斷,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.解決充要條件判斷問(wèn)題,關(guān)鍵是要弄清楚誰(shuí)是條件,誰(shuí)是結(jié)論.7、A【解析】

由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

為所求的二面角的平面角,由得出,求出在內(nèi)的軌跡,根據(jù)軌跡的特點(diǎn)求出的最大值對(duì)應(yīng)的余弦值【詳解】,,,,同理為直線與平面所成的角,為直線與平面所成的角,又,在平面內(nèi),以為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則,設(shè),整理可得:在內(nèi)的軌跡為為圓心,以為半徑的上半圓平面平面,,為二面角的平面角,當(dāng)與圓相切時(shí),最大,取得最小值此時(shí)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果.9、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),令,得;當(dāng)時(shí),令,得,故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1.考點(diǎn):程序框圖.10、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,列出方程,求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為,可得,∴,∴雙曲線的離心率.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結(jié)合基本不等式求最值,得到當(dāng)取到最大值時(shí),為的中點(diǎn),再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示:因?yàn)槭恰鞯闹形痪€,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即為的中點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.12、D【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,則,,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設(shè)外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

將f(x)寫成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.14、【解析】

先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對(duì)于任意恒成立,即,又因?yàn)?,,?duì)任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.15、(1,)【解析】

在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2],等價(jià)轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1,)上恰有兩個(gè)交點(diǎn),考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知:與的圖像在(1,)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)考查臨界情形:與切于,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).16、3【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域,再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為,對(duì)參數(shù)a分類討論,當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意;當(dāng)時(shí),直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A時(shí),截距最小,即z有最小值,再由最小值為7,得出結(jié)果;當(dāng)時(shí),的截距沒(méi)有最小值,即z沒(méi)有最小值;當(dāng)時(shí),的截距沒(méi)有最大值,即z沒(méi)有最小值,綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下:由,可得出交點(diǎn),由可得,當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意;當(dāng)即時(shí),由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A時(shí),截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);當(dāng)即時(shí),由可行域可知的截距沒(méi)有最小值,即z沒(méi)有最小值;當(dāng)即時(shí),根據(jù)可行域可知的截距沒(méi)有最大值,即z沒(méi)有最小值.綜上可知滿足條件時(shí).故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題,約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù),要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得,由射影可得平面,進(jìn)而求證;(2)取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】(1)在等腰梯形中,點(diǎn)E在線段上,且,點(diǎn)E為上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn),,,,,點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.(2)取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由(1)易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,,設(shè)平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)利用與的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】解析:(1)當(dāng)時(shí),;當(dāng),,可得,又∵當(dāng)時(shí)也成立,;(2),【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)是定值,詳見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率,則有求解.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,還考查了平面幾何知識(shí)和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)(i)填表見(jiàn)解析(ii)沒(méi)有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”(2)詳見(jiàn)解析【解析】

(1)(i)由已給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表,(ii)計(jì)算出后可得;(2)由列聯(lián)表知從運(yùn)動(dòng)達(dá)人中抽取1個(gè)用戶為女用戶的概率為,的取值為,,由二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算出各概率得分布列,由期望公式計(jì)算期望.【詳解】解(1)(i)運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)男352560女142640總計(jì)4951100(ii)由列聯(lián)表得所以沒(méi)有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”(2)由列聯(lián)表知從運(yùn)動(dòng)達(dá)人中抽取1個(gè)用戶為女用戶的概率為,.易知所以的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表,考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查隨機(jī)變量的概率分布列和期望.屬于中檔題.本題難點(diǎn)在于認(rèn)識(shí)到.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

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