吉林省延邊二中2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

吉林省延邊二中2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.2.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.3.正方體,是棱的中點(diǎn),在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中,與平面平行的直線有幾條()A.36 B.21 C.12 D.64.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.5.若,則的值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.638.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點(diǎn),則的值為()A. B. C. D.9.《周易》是我國古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個(gè)八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成,其中“”表示一個(gè)陽爻,“”表示一個(gè)陰爻)若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽爻的概率為()A. B. C. D.10.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,過右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點(diǎn),MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上,則C的離心率為()A. B. C. D.11.隨著人民生活水平的提高,對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況,圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí),一級(jí)空氣質(zhì)量最好,一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個(gè)B.第二季度與第一季度相比,空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.12.已知函數(shù),,若對(duì)任意,總存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和且,設(shè),則的值等于_______________.14.一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè),從中任意摸取3個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性相等,則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是__.15.用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同的有_____個(gè).16.在中,角的平分線交于,,,則面積的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的長軸長為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓上在第一象限的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),問與面積之差是否為定值?說明理由.18.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,若,四邊形是平行四邊形,且.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點(diǎn)在線段上,且平面,,,求二面角的余弦值.19.(12分)設(shè)都是正數(shù),且,.求證:.20.(12分)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生運(yùn)算能力,是一道容易題.2、A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

先找到與平面平行的平面,利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面,平面,平面,共有,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義,涉及到了簡單的組合問題,是一中檔題.4、C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù),再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以二?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為:,令,所以,因此有.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力6、B【解析】

由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當(dāng)時(shí),由為圖象的對(duì)稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點(diǎn),同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性,屬于中檔題.7、B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.8、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義得到,故,再利用和差公式得到答案.【詳解】∵角的終邊過點(diǎn),∴,.∴.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義,和差公式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解析】

分類討論,僅有一個(gè)陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦;從僅有兩個(gè)陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè),再取沒有陽爻的坤卦,計(jì)算滿足條件的種數(shù),利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知,僅有一個(gè)陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦滿足條件,其種數(shù)是;僅有兩個(gè)陽爻的有巽、離、兌三卦,沒有陽爻的是坤卦,此時(shí)取兩卦滿足條件的種數(shù)是,于是所求的概率.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

設(shè),則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為,代入雙曲線的方程可得的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,求出的值,即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,M所在直線為,不妨設(shè),∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得,∴,∴,∴(負(fù)值舍去).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.11、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.12、C【解析】

將函數(shù)解析式化簡,并求得,根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7【解析】

根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,可得,進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列,再計(jì)算可得,進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),,又,解得,當(dāng)時(shí),由,所以,,即,故數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,故,又,,所以,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值,考查了推理能力與計(jì)算能力,計(jì)算得是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.14、【解析】

由題,得滿足題目要求的情況有,①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類:①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況;②有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況,又從中任意摸取3個(gè)小球,有種情況,所以取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.15、【解析】

對(duì)首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個(gè)數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時(shí),符號(hào)條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè);②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個(gè)數(shù)位上,第二、四、六個(gè)數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時(shí),符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計(jì)數(shù)和分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.16、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形:因?yàn)?,,由角平分線定理得,設(shè),則由余弦定理得:即當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)所以面積的最大值為15故答案為:15【點(diǎn)睛】此題考查解三角形面積的最值問題,通過三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)是定值,詳見解析【解析】

(1)根據(jù)長軸長為,離心率,則有求解.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,還考查了平面幾何知識(shí)和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形,由此能證明AB=AD.(Ⅱ)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過點(diǎn)O且與CE平行的直線為x軸,以BC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】(Ⅰ)證明:,即,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平面,所以,因?yàn)?,所以平面,所以,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?,所以四邊形是菱形,故;解法一:(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)槠矫?,平面平面于,所以,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,取的中點(diǎn)為,連接,則,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以面,以為坐?biāo)原點(diǎn),以過點(diǎn)且與平行的直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,同理可得平面的法向量,設(shè)平面與平面的夾角為,因?yàn)?,所以二面角的余弦值?解法二:(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)槠矫?,平面平面于,所以,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,,所以平面,所以,取中點(diǎn),連接、,因?yàn)?,所以,故平面,所以,即是二面角的平面角,不妨設(shè),因?yàn)?,,在中,,所以,所以二面角的余弦值?【點(diǎn)睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值,還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等,屬于中檔題.19、證明見解析【解析】

利用比較法進(jìn)行證明:把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因?yàn)?,所以,∴成立,又都是正數(shù),∴,①同理,∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。20、(1)見解析;(2)【解析】

(1)由原式可得,等式兩端同時(shí)除以,可得到,即可證明結(jié)論;(2)由(1)可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的表達(dá)式,然后求出的前項(xiàng)和即可.【詳解】(1)證明:因?yàn)?所以,所以,從而,因?yàn)?所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可知,則,因?yàn)?所以,則.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.21、(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負(fù),即可求解;(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,分類討論進(jìn)行求解【詳解】(1),①當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),令,解得或,當(dāng)或時(shí),,則單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(Ⅰ)當(dāng)時(shí),所以在上無零點(diǎn);(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,①若,即,則是的一個(gè)零點(diǎn);②若,即,則不是的零點(diǎn)(Ⅲ)當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)只需考慮函數(shù)在上零點(diǎn)的情況,因?yàn)?所以①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增。又,所以(?。┊?dāng)時(shí),在上無零點(diǎn);(ⅱ)當(dāng)時(shí),,又,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),令,得,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn),綜上,【點(diǎn)睛】

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