北京海淀區(qū)北京一零一中學2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析

北京海淀區(qū)北京一零一中學2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中有理項有（）A．項 B．項 C．項 D．項2．已知拋物線y2=4x的焦點為F，拋物線上任意一點P，且PQ⊥y軸交y軸于點Q，則的最小值為（）A． B． C．l D．13．雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．64．集合的真子集的個數(shù)是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．88．是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．在中，為邊上的中線，為的中點，且，，則（）A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．311．若復數(shù)（）是純虛數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設命題：，，則：__________．14．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.15．設數(shù)列的前n項和為，且，若，則______________.16．若，，則___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（，），且對任意，都有.（Ⅰ）用含的表達式表示；（Ⅱ）若存在兩個極值點，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點的個數(shù)，并說明理由.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，，證明：.19．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，，求的周長.20．（12分）已知函數(shù)（I）若討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且對于函數(shù)的圖象上兩點，存在，使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證：.21．（12分）如圖（1）五邊形中，,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點為線段的中點，且平面.（1）求證：平面平面；（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點圖（如圖）.表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結果和表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（3）若旋轉的弧度數(shù)x與單位時間內(nèi)煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)，，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù)，即可求解.【詳解】，，當，，，時，為有理項，共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關鍵，屬于基礎題.2、A【解析】

設點，則點，，利用向量數(shù)量積的坐標運算可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解：設點，則點，，，，當時，取最小值，最小值為.故選：A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標運算，考查學生的計算能力，是基礎題.3、A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y＝±22x，圓心坐標為(3,0)．由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r，即r＝±答案：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系，屬于基礎題.4、C【解析】

根據(jù)含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C【點睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎題．5、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關系，考查運算求解能力，屬于中等題.6、C【解析】

根據(jù)題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，當且僅當時取“＝”號．

答案：C【點睛】本題考查基本不等式的應用，“1”的應用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是最后一定要驗證等號能否成立，屬于基礎題.7、B【解析】

求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應用．8、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以（逆否命題）必要性成立當，不充分故是必要不充分條件，答案選B【點睛】本題考查了充分必要條件，屬于簡單題.9、A【解析】

根據(jù)向量的線性運算可得,利用及，計算即可.【詳解】因為,所以，所以，故選：A【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.10、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項公式,進而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當時,取最大即可求得結果.【詳解】因為，所以，即，又，所以公差，所以，即，因為函數(shù)，在時，單調(diào)遞減，且；在時，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.11、B【解析】

化簡復數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得，從而確定對應的點的坐標．【詳解】是純虛數(shù)，則，，，對應點為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查復數(shù)的概念與幾何意義．本題屬于基礎題．12、B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用，識記真值表，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，【解析】

存在符號改任意符號，結論變相反.【詳解】命題是特稱命題，則為全稱命題，故將“”改為“”，將“”改為“”，故：，.故答案為：，.【點睛】本題考查全(特)稱命題.對全(特)稱命題進行否定的方法：(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；(2)否定結論：對于一般命題的否定只需直接否定結論即可．14、8.【解析】

利用轉化得到加以計算，得到.【詳解】向量則.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉化與化歸思想的應用.屬于容易題.15、9【解析】

用換中的n，得，作差可得，從而數(shù)列是等比數(shù)列，再由即可得到答案.【詳解】由，得，兩式相減，得，即；又，解得，所以數(shù)列為首項為-3、公比為3的等比數(shù)列，所以.故答案為：9.【點睛】本題考查已知與的關系求數(shù)列通項的問題，要注意n的范圍，考查學生運算求解能力，是一道中檔題.16、【解析】

因為，所以，又，所以，則，所以．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：利用賦值法求出關系，求函數(shù)導數(shù)，要求函數(shù)有兩個極值點，只需在內(nèi)有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù).試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意：令，可得，所以，經(jīng)驗證，可得當時，對任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個極值點，，則須有有兩個不相等的正數(shù)根，所以或解得或無解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以即時，．（Ⅲ）因為，．令得，．由（Ⅱ）知時，的對稱軸，，，所以.又，可得，此時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以最多只有三個不同的零點．又因為，所以在上遞增，即時，恒成立．根據(jù)（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三個不同的零點：，1，．綜上所述，恰有三個不同的零點．【點睛】利用賦值法求出關系，利用函數(shù)導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，要求函數(shù)有兩個極值點，只需在內(nèi)有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）求得的導函數(shù)，對分成兩種情況，討論的單調(diào)性.（2）由（1）判斷出的取值范圍，根據(jù)韋達定理求得的關系式，利用差比較法，計算，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)證得，由此證得，進而證得不等式成立.【詳解】（1）.當時，，此時在上單調(diào)遞減；當時，由解得或，∵是增函數(shù)，∴此時在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知.，，，不妨設，∴，，令，∴，∴在上是減函數(shù)，，∴，即.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案；（2）根據(jù)兩角余弦公式可得，即可求出，再根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)余弦定理即可求出，問題得以解決．【詳解】（1）由三角形的面積公式可得，，由正弦定理可得，，；（2），，，，，則由，可得：，由，可得：，，可得：，經(jīng)檢驗符合題意，三角形的周長．（實際上可解得，符合三邊關系）．【點睛】本題考查了三角形的面積公式、兩角和的余弦公式、誘導公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了學生的運算能力，考查了轉化思想，屬于中檔題．20、(1)見解析(2)見證明【解析】

(1)對函數(shù)求導，分別討論，以及，即可得出結果；(2)根據(jù)題意，由導數(shù)幾何意義得到，將證明轉化為證明即可，再令，設，用導數(shù)方法判斷出的單調(diào)性，進而可得出結論成立.【詳解】（1）解：易得，函數(shù)的定義域為，，令，得或.①當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.②當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；或時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.③當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；此時，的減區(qū)間為.綜上，當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為：當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.；當時，增區(qū)間為.（2）證明：由題意及導數(shù)的幾何意義，得由（1）中得.易知，導函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，要證，只要證，即，即證.因為，不妨令，則.所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以，即，即.故有（得證）.【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，通常需要對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可，屬于常考題型.21、（1）見解析（2）【解析】試題分析:（1）根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;（2）通過已知條件求出各邊長度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據(jù)線面角公式代入坐標求得結果.試題解析:（1）證明：取的中點，連接，則，又，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，∴平面，∴.由即及為的中點，可得為等邊三角形，∴，又，∴，∴，∴平面平面，∴平面平面.（2）解：，∴為直線與所成的角，由（1）可得，∴，∴，設，則，取的中點，連接，過作的平行線，可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，∴，所以，設為平面的法向量，則，即，取，則為平面的一個法向量，∵，則直線與平面所成角的正弦值為.點睛:判定直線和平面垂直的方法:①定義法．②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．平面與平面垂直的判定方法:①定義法．