四川省瀘州市瀘縣一中2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

四川省瀘州市瀘縣一中2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．2．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（）A．1 B． C． D．54．集合，，則=()A． B．C． D．5．設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接與y軸交于點(diǎn)M，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．78．已知命題若，則，則下列說法正確的是（）A．命題是真命題B．命題的逆命題是真命題C．命題的否命題是“若，則”D．命題的逆否命題是“若，則”9．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）．A． B． C． D．10．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B．C． D．11．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．在棱長為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點(diǎn)，又P、Q分別在線段、上，且，設(shè)平面平面，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面 B．C．當(dāng)時，平面 D．當(dāng)m變化時，直線l的位置不變二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，若，則的范圍為________.14．在中，角，，的對邊長分別為，，，滿足，，則的面積為__．15．展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32，則______．16．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，記最大值為，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求取得最大值時直線的直角坐標(biāo)方程.18．（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，求的面積.20．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)，并證明；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，證明：21．（12分）根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實(shí)際增長了242倍多，綜合國力大幅提升.將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為；表示全國GDP總量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表，判斷與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)于的回歸方程.（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計(jì)2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，.參考數(shù)據(jù)：45678的近似值551484031097298122．（10分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷直線為參數(shù)）與圓的位置關(guān)系．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

運(yùn)用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設(shè)，，所以，當(dāng)時，的最小值，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.2、B【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應(yīng)圖形如下：可知點(diǎn),，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

先化簡集合A,B，結(jié)合并集計(jì)算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本道題考查了集合的運(yùn)算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡集合A,B，難度較小．5、C【解析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．6、C【解析】

利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程?！驹斀狻吭O(shè)，，由，與相似，所以，即，又因?yàn)椋?，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。7、B【解析】

根據(jù)題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、B【解析】

解不等式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項(xiàng)錯誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項(xiàng)正確；命題的否命題是“若，則”，C選項(xiàng)錯誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項(xiàng)錯誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確度，屬于簡單題目.10、B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長為正方體挖去一個以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．11、D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn),所以,所以,因?yàn)槊婷?所以.選項(xiàng)A、D顯然成立；因?yàn)?平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,所以B項(xiàng)成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項(xiàng)不成立.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

借助正切的和角公式可求得，即則通過降冪擴(kuò)角公式和輔助角公式可化簡,由，借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】，所以，.因?yàn)椋?，所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡,重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.14、．【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合余弦定理可求，代入，計(jì)算可得所求．【詳解】解：把看成關(guān)于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（負(fù)的舍去），．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．15、4【解析】

由題意可得項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結(jié)果.【詳解】觀察式子可知，，故答案為：4.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題，涉及到的知識點(diǎn)有展開式中項(xiàng)的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題目.16、【解析】

易知，設(shè)，，利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解．【詳解】，設(shè)，，令，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減令，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時，，，則則，即故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線，曲線.（2）.【解析】

（1）用和消去參數(shù)即得的極坐標(biāo)方程；將兩邊同時乘以，然后由解得直角坐標(biāo)方程.（2）過極點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為，代入到和：中，表示出即可求解.【詳解】解：由和，得，化簡得故：將兩邊同時乘以，得因?yàn)?，所以得的直角坐?biāo)方程.（2）設(shè)直線的極坐標(biāo)方程由，得，由，得故當(dāng)時，取得最大值此時直線的極坐標(biāo)方程為：，其直角坐標(biāo)方程為：.【點(diǎn)睛】考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中的幾何意義求距離的的最大值方法；中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．又是的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）由，可得：，即所以又因?yàn)橹崩庵?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，則所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．19、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理的邊化角公式，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可得出的值；（2）由題意得出，兩邊平方，化簡得出，根據(jù)三角形面積公式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由正弦定理得即即在中，，所以（2）因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以兩邊平方得由得整理得，解得或（舍）所以的面積【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的邊化角公式，三角形的面積公式，屬于中檔題.20、（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn).見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而研究零點(diǎn)個數(shù)問題；（Ⅱ）求導(dǎo)，，由于在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，求出，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn)，即可證明出.【詳解】解：（Ⅰ），，當(dāng)時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，在區(qū)間上無零點(diǎn)；當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上唯一零點(diǎn)；當(dāng)時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，；在區(qū)間上唯一零點(diǎn)；綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn).（Ⅱ），，由（Ⅰ）知在無極值點(diǎn)；在有極小值點(diǎn)，即為；在有極大值點(diǎn)，即為，由，即，，2…，，，，，，以及的單調(diào)性，，，，，由函數(shù)在單調(diào)遞增，得，，由在單調(diào)遞減，得，即，故.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題和證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.21、（1），；（2）148萬億元.【解析】

（1）由散點(diǎn)圖知更適宜，對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，則，再利用線性回歸方程的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）將代入所求的回歸方程中計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷，更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程.對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，得.因?yàn)?，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為.（2）將代入，其中，于是2020年的全國GD