第4章 數(shù)列復(fù)習(xí)課學(xué)案

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2§4數(shù)列復(fù)習(xí)課目標(biāo)要求1、理解并掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算．2、理解并掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．3、理解并掌握數(shù)列的通項與求和．4、理解并掌握等差、等比數(shù)列的判定.5、理解與掌握數(shù)列與函數(shù).學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)在數(shù)學(xué)中，數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級數(shù)等，它實際上是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁．由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應(yīng)用性，以及數(shù)列在今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性，奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位．本章教材的設(shè)計，注意體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體的思想．在給出大量的生活實例之后，給學(xué)生一定的思考和探索空間，促使教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的改變．讓學(xué)生通過觀察、操作、歸納、猜想、驗證、推理、討論和交流體驗數(shù)學(xué)；在習(xí)題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目，為學(xué)有余力的學(xué)生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，拓寬視野，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容，為學(xué)生主動探究數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的判定；難點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)．教學(xué)過程思維結(jié)構(gòu)簡圖基礎(chǔ)知識積累1.數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按照_____________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列項數(shù)列中的__________都叫作這個數(shù)列的項首項數(shù)列的第____項稱為首項2.數(shù)列的表示①一般形式：；②字母表示：上面數(shù)列通常記為．3．?dāng)?shù)列的分類類別含義按項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)________的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)________的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都________它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都________它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都________的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項________它的前一項，有些項________它的前一項的數(shù)列4．?dāng)?shù)列的通項公式一般地，如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式．5．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，})解析式數(shù)列的通項公式值域自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)__________(解析法)；(2)________；(3)_______6.遞推公式(1)概念：如果已知一個數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個________來表示，那么這個________叫作這個數(shù)列的遞推公式．(2)作用：利用________通過賦值逐項求出數(shù)列的項，直至求出數(shù)列的任何一項．7．?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有____________法、________法、________法、____________法，以數(shù)列2，4，6，8，10，12，…為例，表示如下：①通項公式法：an＝2n.②遞推公式法：③列表法：n123…k…an246…2k…④圖象法：8．?dāng)?shù)列遞推公式與通項公式的關(guān)系遞推公式通項公式區(qū)別表示an與它的前一項an－1(或前幾項)之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式．9.等差數(shù)列的定義(1)條件：①從第_____項起．②每一項與它的__________的差都等于___________常數(shù)．(2)結(jié)論：這個數(shù)列是等差數(shù)列．(3)相關(guān)概念：這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的________，常用______表示．10．等差中項(1)前提：三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：_______叫作a與b的等差中項．(3)滿足的關(guān)系式：2A＝_______．11．等差數(shù)列的通項公式遞推公式通項公式____________＝d(n∈N*)an＝____________(n∈N*)12.等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)求和公式Sn＝_____________Sn＝_________________在等差數(shù)列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.涉及a1，d，n，an及Sn五個基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項，公差，項數(shù)，項和前n項和．依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前n項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”．13．等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系將等差數(shù)列前n項和公式Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d整理成關(guān)于n的函數(shù)可得Sn＝____n2＋________n.14.等比數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的__________的比都等于__________常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的________，公比通常用字母____表示．15．等比中項在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成____________，那么G叫作a與b的等比中項．16．等比數(shù)列的通項公式首項為a1，公比是q(q≠0)的等比數(shù)列的通項公式為_____________．17.等比數(shù)列的前n項和公式已知量首項、公比與項數(shù)首項、公比與末項求和公式Sn＝________________________Sn＝_______________________18．錯位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的方法叫________________．(2)該方法一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列_______________的前n項和，即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列，{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn·cn}的前n項和Sn時，可以用這種方法．【課堂題組訓(xùn)練】題組訓(xùn)練一等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算題1．在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為17，則S6＝()A．eq\f(63,4)B．16 C．15 D．eq\f(61,4)題2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，則a7＝________．題3．已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.題組訓(xùn)練二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用題4.已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn取得最大值的n是()A．21B．20C．19D．18題5.等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列的前13項和為()A．13B．26C．52D．156題6.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，則log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2題組訓(xùn)練三數(shù)列的通項與求和題7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(1－nan＋1)，則數(shù)列{an}的通項公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(n2－n＋2,2)B．a(chǎn)n＝eq\f(n2－n＋1,2)C．a(chǎn)n＝eq\f(2,n2－n＋1)D．a(chǎn)n＝eq\f(2,n2－n＋2)題8.已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足：a1＝eq\f(1,2)，，用eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))表示不超過x的最大整數(shù)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1＋1)＋\f(1,a2＋1)＋…＋\f(1,a2020＋1)＋\f(1,a2021＋1)))的值等于()A．1B．2C．3D．4題9．談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分?jǐn)?shù)(稱為埃及分?jǐn)?shù)).則下列埃及分?jǐn)?shù)eq\f(1,1×3)，eq\f(1,3×5)，eq\f(1,5×7)，…，eq\f(1,2019×2021)的和是()A．eq\f(2020,2021) B．eq\f(1010,2021)C．eq\f(1009,2019) D．eq\f(2018,2019)題10.已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，則數(shù)列{an}的通項公式是________．題組訓(xùn)練四等差、等比數(shù)列的判定題11．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．(2)設(shè)cn＝eq\f(an,2n－2)，求證：{cn}是等差數(shù)列．題12．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，對任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，數(shù)列{bn}滿足b1＝2a1，bn＝eq\f(bn－1,1＋bn－1)(n≥2，n∈N*).(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(2)判斷數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式．題組訓(xùn)練五數(shù)列與函數(shù)題13．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(3,2)n2－eq\f(29,2)n(n＝1，2，3，…)，則此數(shù)列的通項公式為__________；數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第________項．題14．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2＋λn，且{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________．題15.設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，若{an＋1－an}是等差數(shù)列，{bn＋1－bn}是等比數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}中最小項及最小項的值．§4數(shù)列復(fù)習(xí)課目標(biāo)要求1、理解并掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算．2、理解并掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．3、理解并掌握數(shù)列的通項與求和．4、理解并掌握等差、等比數(shù)列的判定.5、理解與掌握數(shù)列與函數(shù).學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)在數(shù)學(xué)中，數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級數(shù)等，它實際上是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁．由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應(yīng)用性，以及數(shù)列在今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性，奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位．本章教材的設(shè)計，注意體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體的思想．在給出大量的生活實例之后，給學(xué)生一定的思考和探索空間，促使教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的改變．讓學(xué)生通過觀察、操作、歸納、猜想、驗證、推理、討論和交流體驗數(shù)學(xué)；在習(xí)題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目，為學(xué)有余力的學(xué)生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，拓寬視野，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容，為學(xué)生主動探究數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的判定；難點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)．教學(xué)過程思維結(jié)構(gòu)簡圖基礎(chǔ)知識積累1.數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列項數(shù)列中的每個數(shù)都叫作這個數(shù)列的項首項數(shù)列的第1項稱為首項2.數(shù)列的表示①一般形式：；②字母表示：上面數(shù)列通常記為．3．?dāng)?shù)列的分類類別含義按項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列4．?dāng)?shù)列的通項公式一般地，如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式．5．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，})解析式數(shù)列的通項公式值域自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法6.遞推公式(1)概念：如果已知一個數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的遞推公式．(2)作用：利用遞推公式通過賦值逐項求出數(shù)列的項，直至求出數(shù)列的任何一項．7．?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有通項公式法、圖象法、列表法、遞推公式法，以數(shù)列2，4，6，8，10，12，…為例，表示如下：①通項公式法：an＝2n.②遞推公式法：③列表法：n123…k…an246…2k…④圖象法：8．?dāng)?shù)列遞推公式與通項公式的關(guān)系遞推公式通項公式區(qū)別表示an與它的前一項an－1(或前幾項)之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式．9.等差數(shù)列的定義(1)條件：①從第2項起．②每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)．(2)結(jié)論：這個數(shù)列是等差數(shù)列．(3)相關(guān)概念：這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，常用d表示．10．等差中項(1)前提：三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：A叫作a與b的等差中項．(3)滿足的關(guān)系式：2A＝a＋b．11．等差數(shù)列的通項公式遞推公式通項公式__an＋1－an＝d(n∈N*)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)12.等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d在等差數(shù)列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.涉及a1，d，n，an及Sn五個基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項，公差，項數(shù)，項和前n項和．依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前n項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”．13．等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系將等差數(shù)列前n項和公式Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d整理成關(guān)于n的函數(shù)可得Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.14.等比數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示．15．等比中項在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項．16．等比數(shù)列的通項公式首項為a1，公比是q(q≠0)的等比數(shù)列的通項公式為an＝a1qn－1．17.等比數(shù)列的前n項和公式已知量首項、公比與項數(shù)首項、公比與末項求和公式Sn＝Sn＝18．錯位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的方法叫錯位相減法．(2)該方法一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項積的前n項和，即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列，{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn·cn}的前n項和Sn時，可以用這種方法．【課堂題組訓(xùn)練】題組訓(xùn)練一等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算題1．在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為17，則S6＝()A．eq\f(63,4)B．16 C．15 D．eq\f(61,4)【解析】選A.設(shè){an}的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a2a3＝a1a4＝2a1，則a4＝2；由a4與2a7的等差中項為17知，a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16.所以q3＝eq\f(a7,a4)＝8，即q＝2，所以a1＝eq\f(a4,q3)＝eq\f(1,4)，則S6＝eq\f(\f(1,4)（1－26）,1－2)＝eq\f(63,4).題2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，則a7＝________．【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13，S7＝eq\f(7（a1＋a1＋6d）,2)＝35.聯(lián)立兩式，解得a1＝2，d＝1，所以a7＝a1＋6d＝8.答案：8題3．已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d.由題意，得aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(11))＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d).于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去).故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6的等差數(shù)列．從而Sn＝eq\f(n,2)(a1＋a3n－2)＝eq\f(n,2)(－6n＋56)＝－3n2＋28n.【解題策略提醒】等差與等比數(shù)列的基本量計算方法在等差(或等比)數(shù)列中，首項a1與公差d(或公比q)是兩個基本量，一般的等差(或等比)數(shù)列的計算問題，都可以設(shè)出這兩個量求解．在等差數(shù)列中的五個量a1，d，n，an，Sn或等比數(shù)列中的五個量a1，q，n，an，Sn中，可通過列方程組的方法，知三求二．在利用Sn求an時，要注意驗證n＝1是否成立．題組訓(xùn)練二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用題4.已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn取得最大值的n是()A．21B．20C．19D．18【解析】選B.由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，所以a3＝35.同理可得a4＝33，所以d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))得n＝20.所以使Sn達(dá)到最大值的n是20.題5.等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列的前13項和為()A．13B．26C．52D．156【解析】選B.3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，所以6a4＋6a10＝24，所以a4＋a10＝4，所以S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝eq\f(13（a4＋a10）,2)＝eq\f(13×4,2)＝26.題6.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，則log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2【解析】選C.因為a5·a2n－5＝aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(n))＝22n，且an>0，所以an＝2n，因為a2n－1＝，所以log2a2n－1＝2n－1，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝eq\f(n[1＋（2n－1）],2)＝n2.【解題策略提醒】等差與等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要涉及數(shù)列的單調(diào)性、最值及其前n項和的性質(zhì)、利用性質(zhì)求數(shù)列中某一項等，關(guān)于等差(比)數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用問題，可以直接構(gòu)造關(guān)于首項a1和公差d(公比q)的方程或方程組來求解，再根據(jù)等差(比)數(shù)列的通項公式直接求其值，此解思路簡單，但運(yùn)算過程復(fù)雜．題組訓(xùn)練三數(shù)列的通項與求和題7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(1－nan＋1)，則數(shù)列{an}的通項公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(n2－n＋2,2)B．a(chǎn)n＝eq\f(n2－n＋1,2)C．a(chǎn)n＝eq\f(2,n2－n＋1)D．a(chǎn)n＝eq\f(2,n2－n＋2)【解析】選D.原數(shù)列遞推公式可化為eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝n，令bn＝eq\f(1,an)，則bn＋1－bn＝n，因此bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝eq\f(n2－n＋2,2).從而an＝eq\f(2,n2－n＋2).題8.已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足：a1＝eq\f(1,2)，，用eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))表示不超過x的最大整數(shù)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1＋1)＋\f(1,a2＋1)＋…＋\f(1,a2020＋1)＋\f(1,a2021＋1)))的值等于()A．1B．2C．3D．4【解析】選A.由，得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)，所以eq\f(1,a1＋1)＋eq\f(1,a2＋1)＋…＋eq\f(1,a2021＋1)＝eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2)－eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a2021)－eq\f(1,a2022)＝eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2022)＝2－eq\f(1,a2022)，由a1＝eq\f(1,2)，得a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(21,16)>1知從a3以后都大于1，所以eq\f(1,a2022)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，所以2－eq\f(1,a2022)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1＋1)＋\f(1,a2＋1)＋…＋\f(1,a2021＋1)))＝1.題9．談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分?jǐn)?shù)(稱為埃及分?jǐn)?shù)).則下列埃及分?jǐn)?shù)eq\f(1,1×3)，eq\f(1,3×5)，eq\f(1,5×7)，…，eq\f(1,2019×2021)的和是()A．eq\f(2020,2021) B．eq\f(1010,2021)C．eq\f(1009,2019) D．eq\f(2018,2019)【解析】選B.因為eq\f(1,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，所以eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2019×2021)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2019)－\f(1,2021)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2021)))＝eq\f(1010,2021).題10.已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，則數(shù)列{an}的通項公式是________．【解析】令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，則Sn＝9－6n，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時·an＝Sn－Sn－1＝－6，所以an＝－.所以通項公式an＝答案：an＝【解題策略提醒】通項與和的求法1．由遞推公式求數(shù)列通項公式時，一是要注意判別類型與方法．二是要注意an的完整表達(dá)式，易忽視n＝1的情況．常用的數(shù)列通項公式的求法有：(1)定義法，即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目．(2)若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項an可用公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求解．(3)對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列．2．?dāng)?shù)列求和時，根據(jù)數(shù)列通項公式特征選擇求和法，尤其是涉及等比數(shù)列求和時要注意公比q對Sn的影響．一般常見的求和方法有：(1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項和公式；(2)分組求和法：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列；(3)裂項相消法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和；(4)錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和；(5)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．題組訓(xùn)練四等差、等比數(shù)列的判定題11．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．(2)設(shè)cn＝eq\f(an,2n－2)，求證：{cn}是等差數(shù)列．【證明】(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.因為S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以＝3.所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，公差為3，首項為2.題12．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，對任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，數(shù)列{bn}滿足b1＝2a1，bn＝eq\f(bn－1,1＋bn－1)(n≥2，n∈N*).(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(2)判斷數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式．【解析】(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)(n≥2，n∈N*).所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝.(2)因為a1＝1，所以b1＝2a1＝2.因為bn＝eq\f(bn－1,1＋bn－1)，所以eq\f(1,bn)＝eq\f(1,bn－1)＋1，即eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn－1)＝1(n≥2).所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是首項為eq\f(1,2)，公差為1的等差數(shù)列．所以eq\f(1,bn)＝eq\f(1,2)＋(n－1)·1＝eq\f(2n－1,2)，故數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝eq\f(2,2n－1).【解題策略提醒】等差、等比數(shù)列的判斷與證明方法(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù)，q≠0)?{an}是等比數(shù)列；(2)中項公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差數(shù)列；aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(n＋1))＝an·an＋2(an≠0)?{an}是等比數(shù)列；(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?