（預習）人教A版數(shù)學高一寒假提升學與練+隨堂檢測09 簡單幾何體的表面積與體積（教師版）

第頁專題09簡單幾何體的表面積與體積思維導圖核心考點聚焦考點一：棱柱、棱錐、棱臺的表面積考點二：棱柱、棱錐、棱臺的體積考點三：圓柱、圓錐、圓臺的表面積考點四：圓柱、圓錐、圓臺的體積考點五：球的表面積與體積（外接球）考點六：球的表面積與體積（內(nèi)切球）考點七：球的表面積與體積（棱切球）知識點一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺是多面體，它們的各個面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個面的面積之和．計算時要分清面的形狀，準確算出每個面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺底面與側(cè)面的形狀如下表：項目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高知識點詮釋：求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．知識點二、圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱、圓錐、圓臺是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積．1、圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個矩形的長等于圓柱底面周長C=2πr，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2πr．（2）圓柱的表面積：．2、圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個扇形的弧長等于圓錐底面周長C=πr，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為，由此可得它的側(cè)面積是．（2）圓錐的表面積：S圓錐表．3、圓臺的表面積（1）圓臺的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)．如果圓臺的上、下底面半徑分別為r＇、r，母線長為，那么這個扇形的面積為，即圓臺的側(cè)面積為S圓臺側(cè)=．（2）圓臺的表面積：．知識點詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關系．知識點三、柱體、錐體、臺體的體積1、柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h的乘積，即V棱柱=Sh．圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=πr2h．綜上，柱體的體積公式為V=Sh．2、錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積．圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用πr2表示S，則．綜上，錐體的體積公式為．3、臺體的體積公式棱臺的體積：如果棱臺的上、下底面的面積分別為S＇、S，高是h，那么它的體積是．圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是．綜上，臺體的體積公式為．知識點四、球的表面積和體積1、球的表面積（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．（2）球的表面積設球的半徑為R，則球的表面積公式S球=4πR2．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．2、球的體積設球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關，是以R為自變量的函數(shù)．球的體積公式為．1、正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，此時球的半徑為r1＝a22、球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r2＝2a3、長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝a24、正方體的外接球正方體棱長a與外接球半徑R的關系為2R＝eq\r(3)a．5、正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球半徑R的關系為：2R＝eq\f(\r(6),2)a．6、有關球的截面問題常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關問題解決．考點剖析考點一：棱柱、棱錐、棱臺的表面積例1．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點，AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長；(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.【解析】（1）由題意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根據(jù)正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC?面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1的中點，故側(cè)棱長為2.（2）底面積為S1=2S△ABC=2×2×=2，側(cè)面積為S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面積為S=S1+S2=12+2.例2．如圖，正四棱錐的底面邊長為4，頂點S到底面中心O的距離為4，求它的表面積．

【解析】作，垂足為點E，連接OE．因為，所以．因為，，,平面SOE，所以平面SOE，而平面SOE，所以，故．又，所以．又底面周長，所以正棱錐側(cè)．又底，因此，該正四棱錐的表面積為表．例3．正六棱錐被過棱錐高的中點且平行于底的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐．(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比；(2)若大棱錐的側(cè)棱長為，小棱錐的底面邊長為，求截得的棱臺的側(cè)面積與全面積．【解析】（1）設正六棱錐的高，底面邊長，因為正六棱錐被過棱錐高的中點且平行于底的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐，所以小棱錐的高為，底面邊長，在中，因為，所以，于是有：，因此大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比為；（2）由（1）可知：，已知大棱錐的側(cè)棱，顯然在中，上的高長為，所以，所以，由（1）可知：截得的棱臺的側(cè)面積為，截得的棱臺的全面積為.變式1．如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐.(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺的側(cè)面面積之比；(2)若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺的側(cè)面面積和表面積.【解析】（1）設小棱錐的底面邊長為，斜高為，則大棱錐的底面邊長為，斜高為，所以大棱錐的側(cè)面積為，小棱錐的側(cè)面積為，棱臺的側(cè)面積為，所以大棱錐，小棱錐，棱臺的側(cè)面積之比.（2）因為小棱錐的底面邊長為4cm，所以大棱錐的底面邊長為8cm，因為大棱錐的側(cè)棱長為12cm，所以大棱錐的斜高為cm，所以大棱錐的側(cè)面積為，所以棱臺的側(cè)面積為，棱臺的上，下底面的面積和為，所以棱臺的表面積為.考點二：棱柱、棱錐、棱臺的體積例4．已知正六棱柱最長的對角線長為13cm，其一個側(cè)面的面積為，求棱柱的體積.【解析】因為正六棱柱最長的一條對角線長為13cm，一個側(cè)面的面積為，設底面邊長為cm，高為cm，則，解得或，（負值舍去），則這個棱柱的體積或，故棱柱的體積為或.例5．已知長方體中，，求：

(1)長方體表面積；(2)三棱錐的體積．【解析】（1）長方體中，，，因此長方體的側(cè)面積，所以長方體的表面積.（2）的面積，顯然三棱錐的高為，所以三棱錐的體積.例6．如圖所示，正六棱錐的底面邊長為4，H是的中點，O為底面中心，．

(1)求出正六棱錐的高，斜高，側(cè)棱長；(2)求六棱錐的表面積和體積．【解析】（1）如圖：在正六棱錐中，，H為中點，所以．因為是正六邊形的中心，所以為正六棱錐的高．，在中，，所以．在中，．在中，，，所以．故該正六棱錐的高為6，斜高為，側(cè)棱長為．（2）的面積為，的面積為，所以正六棱錐的表面積為，體積為變式2．已知正四棱臺，上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為1．求(1)該四棱臺的側(cè)棱長(2)該四棱臺的體積【解析】（1）如圖，設為正棱臺上下底面的中心，連接，作，垂足為E，則四邊形為矩形，則，則，故，即正棱臺側(cè)棱長為，（2）根據(jù)棱臺體積公式可得該四棱臺體積為.變式3．如圖，在正四棱臺中，上底面邊長為1，下底面邊長為3，側(cè)棱長為2.（1）求此正四棱臺的側(cè)面積；（2）求此正四棱臺的體積.【解析】（1）因為正四棱臺的上底面是邊長為1的正方形，下底面是邊長為3的正方形，側(cè)棱長為2，側(cè)面是全等的等腰梯形，所以側(cè)面的高為，所以此正四棱臺的側(cè)面積為；（2）四棱臺的高，所以此正四棱臺的體積為.考點三：圓柱、圓錐、圓臺的表面積例7．若一個圓錐的軸截面是一個腰長為，底邊上的高為1的等腰三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得該圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，腰長為，底邊長為2，所以圓錐的母線長，底面圓半徑，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B例8．已知圓臺的上、下底面面積分別為和，高為，則圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意圓臺的上、下底面面積分別為和，高為，可得，，所以，故圓臺的母線長為，所以圓臺的側(cè)面積為．故選：B．例9．如圖，已知圓錐的底面半徑，高，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱.

(1)若圓柱的底面半徑，求剩余部分體積；(2)試求圓柱側(cè)面積的最大值.【解析】（1）因為圓錐的底面半徑，高.所以圓錐的母線長、圓錐體積.設圓柱的高，則，所以，圓柱體積，剩余部分體積為，（2）方法一：作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，其中，設，設圓柱底面半徑為，則，即設圓柱的側(cè)面積為當時，有最大值為，方法二：作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，其中，設圓柱底面半徑為，則，即設圓柱的側(cè)面積為當時，有最大值為.變式4．已知一個圓錐的底面半徑為2，母線長為4.(1)求圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角；(2)如圖，若圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱，求該圓柱的側(cè)面積.【解析】（1）因為圓錐的底面半徑，母線長，設圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為，則.（2）設圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為，則，，易知，即，，圓柱的側(cè)面積.變式5．如下圖，一個圓臺形花盆盆口直徑為20cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5cm，盆壁長為15cm．為了美化花盆的外觀，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，結(jié)果精確到1毫升）【解析】由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積：涂100個這樣的花盆需油漆：毫升考點四：圓柱、圓錐、圓臺的體積例10．如圖，高與底面直徑相等的圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，當圓柱的側(cè)面積最大時，圓錐與圓柱的體積之比為．【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為，則高為，設圓柱的底面半徑為，高為，則，故，圓柱的側(cè)面積為，當時側(cè)面積最大，此時體積之比為：.故答案為：例11．圓臺的上、下底面半徑分別是，，且圓臺的母線長為5，則該圓臺的體積是.【答案】【解析】由圖可得，圓臺的高為，故圓臺的體積為.故答案為：例12．圓錐的高擴大到原來的倍,底面半徑縮短到原來的，則圓錐變化后的體積與原體積的比值為.【答案】/【解析】設圓錐原高為，原底面半徑為，則原體積，由題意，圓錐變化后高為，底面半徑為，則圓錐變化后的體積為，∴.∴圓錐變化后的體積與原體積的比值為.故答案為：變式6．圓臺的軸截面上、下底邊長分別為和，母線長為，則圓臺的體積是.【答案】【解析】由題可得圓臺上底面半徑，下底面半徑.又母線l長為，則圓臺的高，故圓臺的體積.故答案為：考點五：球的表面積與體積（外接球）例13．如圖，在長方體中，四邊形是邊長為1的正方形，，則該長方體的外接球表面積是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知長方體的體對角線長為,故該長方體的外接球的半徑為，該長方體的外接球表面積為，故選：D例14．直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】設，因為，所以，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體為圓錐，設圓錐外接球的半徑為，所以，解得，設外接球的球心為，則球心在直線上，所以，解得.故選：D例15．如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，，是線段的三等分點，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由展開圖可知，直三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，其外接圓的半徑滿足，所以．由得．由球的性質(zhì)可知，球心到底面的距離為，結(jié)合球和直三棱柱的對稱性可知，，故選D．變式7．已知直三棱柱的頂點都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設點為外接圓的圓心，根據(jù)，得到是等邊三角形，求得外接圓的半徑r，再根據(jù)直三棱柱的頂點都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半徑即可.如圖所示：設點為外接圓的圓心，因為，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又直三棱柱的頂點都在球上，所以外接球的半徑為，所以直三棱柱的外接球的表面積是，故選：C變式8．某正方體的外接球體積，則此正方體的棱長為（

）A．6 B．3 C． D．【答案】D【解析】設正方體的棱長為x，因為正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，所以，解得．故選：D．考點六：球的表面積與體積（內(nèi)切球）例16．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為.【答案】【解析】有題意可知，，所以所以，圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，圓錐的內(nèi)切球的半徑等于該正三角形的內(nèi)切圓的半徑，所以，所以該圓錐的內(nèi)切球的表面積為.故答案為：例17．一個正四面體表面積為，其內(nèi)切球表面積為S2.則=.【答案】【解析】如圖所示：設正四面體的棱長為a，因為正四面體表面積為，所以，正四面體的高為，設正四面體的內(nèi)切球的半徑為r，則正四面體的體積為，解得，所以，所以故答案為：例18．如圖所示是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設球半徑為，則圓柱底面半徑為，高為，所以圓柱的表面積與球的表面積之比為，故選：C．變式9．棱長為2的正方體的內(nèi)切球的球心為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的內(nèi)切球的球心為，由對稱性可知為正方體的中心，球半徑為1，即球的體積為.故選：B.變式10．已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（

）A．4 B．16 C．8 D．64【答案】D【解析】根據(jù)球的體積公式，，解得.因為正方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長，所以正方體的棱長為，故正方體的體積為.故選：D.考點七：球的表面積與體積（棱切球）例19．已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是．【答案】【解析】過正方體的對角面作截面如圖，故球的半徑，其表面積．故答案為：.例20．正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為．【答案】【解析】設正四面體的棱長為1，外接球和內(nèi)切球半徑分別為，如圖所示，為的中點，，由正四面體的性質(zhì)可知線段為正四面體的高，在正中，，同理，在正中，，則，，所以，則，由正四面體的性質(zhì)知，三個球的球心重合，且球心在線段上，則，，所以，故，而棱切球與棱相切，故其半徑為，則正四面體的內(nèi)切球、棱切球及外接球的半徑之比為.故答案為：.例21．在棱長為的正方體中，與其各棱都相切的球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】棱長為的正方體的棱切球，其半徑為面對角線的一半，即：，所以該球的表面積.故選：.過關檢測一、單選題1．已知一個圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設該圓錐的底面半徑為，母線為，則，，解得，則圓錐的高為，因此該圓錐的體積，故選：D2．如圖是一個實心金屬幾何體的直觀圖，它的中間部分是高為的圓柱，上、下兩端均是半徑為2的半球，若將該實心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料損失)，熔成一個實心球，則該球的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設實心球的半徑為，實心金屬幾何體的體積.因為，所以，所以該球的直徑為.故選：C3．已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為4和6，斜高為1，則該正三棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，其上、下底面分別是邊長為4和6的等邊三角形，如圖所示，為兩底面的中心，則為的中點，過作下底面垂線，垂足為，，，，棱臺的高，該正三棱臺的上底面的面積為，下底面的面積為，所以正三棱臺的體積．故選：D4．已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設圓臺的母線長為．高為．所以，解得，所以．所以該圓臺的體積．故選：D．5．若正四棱柱與以正方形的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，設正四棱柱的底面邊長為，高為，圓柱的高為，則圓柱的底面半徑為，則有，整理得，正四棱柱與圓柱的側(cè)面積之比.故選：B．6．已知棱長為2的正方體的體積與球的體積相等，則球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由棱長為2的正方體的體積為，設球的半徑為，可得，解得.故選：D.7．某幾何體為棱柱或棱錐，且每個面均為邊長是2的正三角形或正方形，給出下面4個值：①；②24；③；④．則該幾何體的表面積可能是其中的（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【解析】當該幾何體為正四面體時，其表面積為．當該幾何體為正四棱錐時，其表面積為．當該幾何體為正三棱柱時，其表面積為．當該幾何體為正方體時，其表面積為．故選：D．8．如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為，互相平行的兩個側(cè)面的距離為2m，則這個六棱柱的體積為（

）

A． B． C． D．以上都不對【答案】B【解析】設六棱柱的底面邊長為，高為.則，，，故，.故選：B.二、多選題9．已知圓錐的底面圓的半徑與球的半徑相等，且圓錐，與球的表面積相等，則（

）A．圓錐的母線與底面所成角的余弦值為B．圓錐的高與母線長之比為C．圓錐的側(cè)面積與底面積之比為3D．球的體積與圓錐的體積之比為【答案】ACD【解析】設圓錐的底面圓的半徑為，高為，母線長為，由圓錐與球的表面積相等，得，解得，因此圓錐的母線與底面所成角的余弦值為，A正確；，因此圓錐的高與母線長之比為，B錯誤；圓錐的側(cè)面積與底面積之比，C正確；球的體積與圓錐的體積之比為，D正確.故選：ACD10．某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（

）

A．該圓臺的高為1cm B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的側(cè)面積為 D．該圓臺的體積為【答案】BCD【解析】如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯誤；圓臺的軸截面面積為，B正確；圓臺的側(cè)面積為，故C正確；圓臺的體積為，D正確.故選：BCD11．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（）

A．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為C．圓柱的表面積為D．圓柱的體積等于球與圓錐的體積之和【答案】AD【解析】對于A，圓柱的側(cè)面積，球的表面積，A正確；對于B，圓錐底面周長為，則圓錐的側(cè)面展開圖扇形弧長為，而圓錐母線長，因此圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，B錯誤；對于C，圓柱的表面積，C錯誤；對于D，圓柱的體積，圓錐的體積，球的體積，因此，D正確.故選：AD12．若某正方體的棱長為，則（

）A．該正方體的體積為5 B．該正方體的內(nèi)切球的體積為C．該正方體的表面積為30 D．該正方體的外接球的表面積為【答案】BCD【解析】因為該正方體的棱長為，所以其體積為，表面積為，A錯誤，C正確．該正方體的內(nèi)切球的直徑為，所以內(nèi)切球的體積為，B正確．該正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，所以外接球的表面積為，D正確．故選：BCD三、填空題13．已知正三棱錐的內(nèi)切球半徑為l，若底面邊長為，則該棱錐體積為.【答案】【解析】設正三棱錐的高為，內(nèi)切圓的圓心為，則，由，所以，即，在直角中，，，解得，，所以體積.故答案為：14．“升”是我國古代測量糧食的一種容器，在“升”裝滿后用手指成筷子沿升口刮平，這叫“平升”，如圖所示的“升”，從內(nèi)部測量，其上、下底面均為正方形，邊長分別為和，側(cè)面是全等的等腰梯形，梯形的高為，那么這個“升”的“平升”可以裝mL的糧食．（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】1167【解析】根據(jù)題意畫出正四棱臺的直觀圖，其中底面是邊長為20cm的正方形，底面是邊長為10cm的正方形，側(cè)面等腰梯形的高cm，記底面ABCD和底面的中心分別為與，則是正四棱臺的高，過作平面的垂線，垂足為，則，且,,則,,則,側(cè)面是等腰梯形，,則,則棱臺的高,則由棱臺的體積公式得mL,故答案為：1167.15．已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為．【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，由，得，又表面積，所以，解得，則；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故答案為：．16．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的表面積是．【答案】【解析】將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為，如圖所示：則，則，因為球的直徑即為長方體的體對角線，則球的半徑為，所以球的表面積是.故答案為：.四、解答題17．正四棱錐的底面邊長為4，高為1，求：(1)求棱錐的體積和側(cè)棱長；(2)求棱錐的表面積．【解析】（1）由題意可知底面四邊形是正方形，設其對角線交于O點，則，所以四棱錐的體積為：，側(cè)棱長；（2）取的中點E，連接，易知，由上可知，所以棱錐的表面積為.18．某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為．

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到）；(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到1元）【解析】（1）設圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，高為，則，解得，則，所以“籠具”的體積．（2）圓柱的側(cè)面積，圓柱的底面積，圓錐的側(cè)面積為，所以“籠具”的表面積為，所以制造50個這樣的“籠具”總造價為：元．19．如圖，在棱長為1的正方體中，、分別是棱、的中點．(1)求四邊形的周長；(2)求多面體的體積．【解析】（1）連接，因為、分別是棱、的中點，故且，又，，，所以四邊形的周長.（2）多面體為三棱臺，又，，高，所以.20．如圖，一個幾何體是由一個正三棱柱內(nèi)挖去一個倒圓錐組成，該三棱柱的底面正三角形的邊長為2，高為4．圓錐的底面內(nèi)切于該三棱柱的上底面，頂點在三棱柱下底面的中心處．(1)求該幾何體的體積；(2)求該幾何體的表面積．【解析】（1）正三棱柱的底面積為，所以正三棱柱的體積為，設正三角形的內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，所以圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為.（2）因為正三棱柱的表面積為，倒圓錐的底面圓面積為，倒圓錐的母線長為，所以倒圓錐的側(cè)面積為，所以該幾何體的表面積為.簡單幾何體的表面積與體積隨堂檢測1.已知正四棱柱的側(cè)棱長為，它的體對角線長為，則這個正四棱柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設底面邊長為，由題意得，解得，所以側(cè)面積為．故選：B2.已知正四棱錐的側(cè)棱長為2，高為.則該正四棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，則，，所以該正四棱錐的表面積為，故選：C3.以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，所得幾何體為高和底面半徑均為2的圓柱體，所以幾何體表面積為.故選：D4.若圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓面，則它的底面面積與側(cè)面面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設圓錐的底面圓的半徑為，扇形的半徑為，由題意可得，，所以，該圓錐的側(cè)面積為，底面積為，所以，該圓錐的底面面積與側(cè)面面積之比是.故選：D.5.已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的外接球半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設圓臺的高和母線分別為，球心到圓臺上底面的距離為，根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式可得，因此圓臺的高，當球心在圓臺內(nèi)部時，則，解得，故此時外接球半徑為，當球心在圓臺外部時，則，，解得不符合要求，舍去，故球半