（寒假）人教版數(shù)學(xué)七年級寒假精講精練02 平行線及其判定+隨堂檢測（教師版）

第頁02平行線及其判定知識點一知識點一平行線及其表示方法●平行線定義：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．記作：a∥b；讀作：直線a平行于直線b．◆1、在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行.【注意】①前提是在同一平面內(nèi)；②同一平面內(nèi)不重合的兩條線段或射線，可能相交，可能平行．知識點二知識點二平行線的畫法◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．【注意】1．經(jīng)過直線上一點不能作已知直線的平行線．2．畫線段或射線的平行線是指畫它們所在直線的平行線．3．借助三角尺畫平行線時，必須保持緊靠，否則畫出的直線不平行.知識點三知識點三平行公理及其推論●1、平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.●2、推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說：如圖，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.幾何語言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】平行公理的推論中，三條直線可以不在同一個平面內(nèi)．知識點四知識點四平行線的判定方法◆1、平行線的判定：判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)．判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．◆2、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線垂直.幾何語言表示：直線a，b，c在同一平面內(nèi)，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三條直線在“同一平面內(nèi)”是前提，沒有這個條件結(jié)論不一定成立.題型一平行線的定義與識別題型一平行線的定義與識別【例題1】下列說法正確的是（）A．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么它們互相垂直 B．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相垂直 C．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相平行 D．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，那么它們互相平行【分析】根據(jù)平行線的判定及垂直、相交的定義判斷求解即可．【解答】解：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么這兩條直線相交，故A不符合題意；在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交，那么這兩條直線平行，故B不符合題意；同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么這兩條直線平行，故C符合題意；同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，它們不一定平行，故D不符合題意；故選：C．【點評】此題考查了平行線的判定、垂直、相交等知識，熟練掌握有關(guān)定理、定義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉解題的關(guān)鍵是準確把握平行線的概念，牢記平行線的三個條件：①在同一平面內(nèi)；②不相交；③都是直線，通過與定義進行對比來進行判斷.【變式1-1】如圖所示，能相交的是，平行的是．（填序號）【分析】根據(jù)平行線、相交線的定義，逐項進行判斷，即可正確得出結(jié)果．【解答】解：①中一條直線，一條射線，不可相交，也不會平行；②中一條直線，一條線段，不可相交，也不會平行；③中一條直線，一條線段，可相交；④中都是線段，不可延長，不可相交，也不平行，⑤中都是直線，延長后不相交，是平行．故答案為：③，⑤．【變式1-2】觀察如圖所示的長方體，與棱AB平行的棱有幾條（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)長方體即平行線的性質(zhì)解答．【解答】解：圖中與AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3條．故選：B．【點評】本題考查了平行線的定義、長方體的性質(zhì)．一個長方形的兩條對邊平行．【變式1-3】在同一平面內(nèi)，直線l1與l2滿足下列關(guān)系，寫出其對應(yīng)的位置關(guān)系：（1）若l1與l2沒有公共點，則l1和l2；（2）若l1與l2只有一個公共點，則l1和l2；（3）若l1與l2有兩個公共點，則l1和l2．【分析】（1）結(jié)合平行線的定義進行解答即可；（2）結(jié)合相交的定義進行解答即可；（3）結(jié)合重合的定義進行解答即可．【解答】解：（1）由于l1和l2沒有公共點，所以l1和l2平行；（2）由于l1和l2有且只有一個公共點，所以l1和l2相交；（3）由于l1和l2有兩個公共點，所以l1和l2重合；故答案為：（1）平行；（2）相交；（3）重合．【變式1-4】在同一平面內(nèi)，直線a，b相交于P，若a∥c，則b與c的位置關(guān)系是．【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條直線也相交．解答即可．【解答】解：因為a∥c，直線a，b相交，所以直線b與c也有交點；故答案為：相交．題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系【例題2】若a、b、c是同一平面內(nèi)三條不重合的直線，則它們的交點可以有（）A．1個或2個或3個 B．0個或1個或2個或3個 C．1個或2個 D．以上都不對【分析】根據(jù)平行線的定義，相交線的定義，可得答案．【解答】解：當三條直線互相平行，交點是個0；當兩條直線平行，與第三條直線相交，交點是2個；當三條直線兩兩相交交于同一點，交點個數(shù)是1個；當三條直線兩兩相交且不交于同一點，交點個數(shù)是3個；故選：B．解題技巧提煉用分類討論的思想根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系去討論求解.【變式2-1】在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能是（）A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交【分析】同一平面內(nèi)，直線的位置關(guān)系通常有兩種：平行或相交；垂直不屬于直線的位置關(guān)系，它是特殊的相交．【解答】解：平面內(nèi)的直線有平行或相交兩種位置關(guān)系．故選：C．【變式2-2】在同一平面內(nèi)有三條直線，如果使其中有且只有兩條直線平行，那么這三條直線有且只有個交點．【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)直線的位置關(guān)系得到第三條直線與另兩平行直線相交，再根據(jù)直線平行和直線相交的定義即可得到交點的個數(shù)．【解答】解：∵在同一平面內(nèi)有三條直線，如果其中有兩條且只有兩條相互平行，∴第三條直線與另兩平行直線相交，∴它們共有2個交點．故答案為2．【變式2-3】平面內(nèi)四條直線共有三個交點，則這四條直線中最多有條平行線．【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：相交或平行，及一條直線的平行線有無數(shù)條，由四條直線相互平行，其交點為0個開始分析，然后依次變?yōu)槿龡l直線相互平行、兩條直線相互平行即可求解．【解答】解：若四條直線相互平行，則沒有交點；若四條直線中有三條直線相互平行，則此時恰好有三個交點；若四條直線中有兩條直線相互平行，另兩條不平行，則此時有三個交點或五個交點；若四條直線中有兩條直線相互平行，另兩條也平行，但它們之間相互不平行，則此時有四個交點；若四條直線中沒有平行線，則此時的交點是一個或四個或六個．綜上可知，平面內(nèi)四條直線共有三個交點，則這四條直線中最多有三條平行線．故答案是：三．【變式2-4】平面上不重合的四條直線，可能產(chǎn)生交點的個數(shù)為個．【分析】從平行線的角度考慮，先考慮四條直線都平行，再考慮三條、兩條直至都不平行，作出草圖即可看出．【解答】解：（1）當四條直線平行時，無交點；（2）當三條平行，另一條與這三條不平行時，有三個交點；（3）當兩兩直線平行時，有4個交點；（4）當有兩條直線平行，而另兩條不平行時，有5個交點；（5）當四條直線同交于一點時，只有一個交點；（6）當四條直線兩兩相交，且不過同一點時，有6個交點；（7）當有兩條直線平行，而另兩條不平行并且交點在平行線上時，有3個交點．故答案為：0，1，3，4，5，6．【點評】本題沒有明確平面上四條不重合直線的位置關(guān)系，需要運用分類討論思想，從四條直線都平行線，然后數(shù)量上依次遞減，直至都不平行，這樣可以做到不重不漏，準確找出所有答案；本題對學(xué)生要求較高．題型三作已知直線的平行線題型三作已知直線的平行線【例題3】如圖，直線a，點B，點C．（1）過點B畫直線a的平行線，能畫幾條？（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行嗎？【分析】根據(jù)平行公理及推論進行解答．【解答】解：（1）如圖，過直線a外的一點畫直線a的平行線，有且只有一條直線與直線a平行；（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行．理由如下：如圖，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．解題技巧提煉利用直尺和三角尺過直線外一點畫已知直線的平行線，是幾何畫圖的基本技能之一.注意“移”時經(jīng)過的邊是三角尺落在已知直線上的那一邊，而不是任意一邊.【變式3-1】如圖中完成下列各題．（1）用直尺在網(wǎng)格中完成：①畫出直線AB的一條平行線；②經(jīng)過C點畫直線垂直于CD．（2）用符號表示上面①、②中的平行、垂直關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)AB所在直線，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；（2）根據(jù)圖形得出EF，MD⊥CD，標出字母即可．【解答】解：（1）如圖所示：（2）EF∥AB，MC⊥CD．【變式3-2】如圖，已知直線a和直線a外一點A．（1）完成下列畫圖：過點A畫AB⊥a，垂足為點B，畫AC∥a；（2）過點A你能畫幾條直線和a垂直？為什么？過點A你能畫幾條直線和a平行？為什么？（3）說出直線AC與直線AB的位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）過點A有一條直線和直線a垂直，過點A可以畫一條直線和a平行．（3）結(jié)論：AC⊥AB．【解答】解：（1）直線AB、AC如圖所示；（2）過點A有一條直線和直線a垂直，理由：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線垂直．過點A可以畫一條直線和a平行．理由：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行．（3）結(jié)論：AC⊥AB．【變式3-3】作圖題：（只保留作圖痕跡）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：（1）過點A作BC的平行線；（2）過點C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點D；（3）過點B作AB的垂線．【分析】（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線；（2）在直線AD上到A得等于BC的點D，則直線CD即為所求；（3）取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)的直線即為所求．【解答】解：如圖，（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線，即AE就是所求；（2）在直線AE上，到A距離是5個格長的點就是D，則CD就是所求與AB平行的直線；（3）取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)作直線，就是所求．【變式3-4】如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點P．（1）過P畫l1∥OA；（2）過P畫l2∥OB；（3）用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關(guān)系？【分析】用兩個三角板，根據(jù)同位角相等，兩直線平行來畫平行線，然后用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的關(guān)系為：相等或互補．【解答】解：（1）（2）如圖所示，（3）l1與l2夾角有兩個：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夾角與∠O相等或互補．題型四對平行公及其推論的理解和應(yīng)用題型四對平行公及其推論的理解和應(yīng)用【例題4】（2022春?汝南縣月考）下列推理正確的是（）A．因為a∥d，b∥c，所以c∥d B．因為a∥c，b∥d，所以c∥d C．因為a∥b，a∥c，所以b∥c D．因為a∥b，d∥c，所以a∥c【分析】平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．【解答】解：A、沒有兩條直線都和第三條直線平行，推不出平行，故本選項錯誤；B、沒有兩條直線都和第三條直線平行，推不出平行，故本選項錯誤；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故本選項正確；D、a、c與不同的直線平行，無法推出兩者也平行，故本選項錯誤；故選：C．解題技巧提煉在判定兩條直線平行時，一定要理解它們成立的條件，特別是關(guān)鍵字詞及其重要特征.【變式4-1】如圖，過C點作線段AB的平行線，說法正確的是（）A．不能作 B．只能作一條 C．能作兩條 D．能作無數(shù)條【分析】根據(jù)平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行可知答案為B．【解答】解：因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．故選B．【變式4-2】下列語句正確的有（）個①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過一點有且只有一條直線和已知直線平行③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系是相交、平行；過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進行分析即可．【解答】解：①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行，說法錯誤，應(yīng)為根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行；②過一點有且只有一條直線和已知直線平行，說法錯誤，應(yīng)為過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b，說法錯誤；④若直線a∥b，b∥c，則c∥a，說法正確；故選：D．【變式4-3】如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由是．【分析】利用平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，進而得出答案．【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．故答案為：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．【變式4-4】若P，Q是直線AB外不重合的兩點，則下列說法不正確的是（）A．直線PQ可能與直線AB垂直 B．直線PQ可能與直線AB平行 C．過點P的直線一定與直線AB相交 D．過點Q只能畫出一條直線與直線AB平行【分析】根據(jù)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行以及兩直線的位置關(guān)系即可回答．【解答】解：PQ與直線AB可能平行，也可能垂直，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故A、B、D均正確，故C錯誤；故選：C．【變式4-5】如圖所示，將一張長方形紙對折三次，則產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無法確定【分析】根據(jù)平行公理和垂直的定義解答．【解答】解：∵長方形對邊平行，∴根據(jù)平行公理，前兩次折痕互相平行，∵第三次折疊，是把平角折成兩個相等的角，∴是90°，與前兩次折痕垂直．∴折痕與折痕之間平行或垂直．故選：C．題型五探究兩直線平行的條件題型五探究兩直線平行的條件【例題5】如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3【分析】根據(jù)平行線的判定方法，可以判斷各個選項中的條件，是否可以得到AB∥DF，從而可以解答本題．【解答】解：由圖可得，當∠1＝∠A時，DE∥AC，不能得到AB∥DF，故選項A符合題意；當∠A+∠2＝180°時，AB∥DF，故選項B不符合題意；當∠1＝∠4時，AB∥DF，故選項C不符合題意；當∠A＝∠3時，AB∥DF，故選項D不符合題意；故選：A．解題技巧提煉綜合圖形特征和已知條件，看添加什么條件最好，就添加什么條件.有時答案是不唯一的.【變式5-1】下列圖形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（）A．B． C．D．【分析】根據(jù)平行線的判定定理分別進行分析即可．【解答】解：A、∠1＝∠2，可得∠1＝∠2的對頂角，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得AB∥CD，故此選項正確；B、∠1和∠2互補時，可得到AB∥CD，故此選項錯誤；C、∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得AC∥BD，故此選項錯誤；D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故此選項錯誤．故選：A．【變式5-2】如圖，把三角尺的直角頂點放在直線b上．若∠1＝50°，則當∠2＝時，a∥b．【分析】由直角三角板的性質(zhì)可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，當∠2＝40°時，∠2＝∠3，得出a∥b即可．【解答】解：當∠2＝40°時，a∥b；理由如下：如圖所示：∵∠1＝50°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，當∠2＝40°時，∠2＝∠3，∴a∥b．故答案為：40°．【變式5-3】如圖，下列條件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】依據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，進行判斷即可．【解答】解：①由∠1＝∠2可判定AD∥BC，不符合題意；②由∠BAD＝∠BCD不能判定AB∥BC，不符合題意；③由∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4知∠ABD＝∠CDB，可判定AB∥CD，符合題意；④由∠BAD+∠ADC＝180°可判定AB∥CD，符合題意；故選：B．【變式5-4】如圖，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的條件有（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【分析】根據(jù)平行線的判定方法，對選項一一分析，排除錯誤答案．【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，兩直線平行）；②∵∠2＝∠3，∴b∥c（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；③∠1＝∠4無法判斷兩直線平行；④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．故選：A．【變式5-5】如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，求出旋轉(zhuǎn)后∠2的同位角的度數(shù)，然后用∠1減去即可得到木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°時，OA∥b，∴要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是85°﹣50°＝35°．故選：C．【變式5-6】以下四種沿AB折疊的方法中，由相應(yīng)條件不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是（）A．展開后測得∠1＝∠2 B．展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．測得∠1＝∠2 D．測得∠1＝∠2【分析】根據(jù)平行線的判定定理，進行分析，即可解答．【解答】解：A、∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行進行判定，故正確；B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由圖可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故正確；C、測得∠1＝∠2，∵∠1與∠2既不是內(nèi)錯角也不是同位角，∴不一定能判定兩直線平行，故錯誤；D、∠1＝∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行進行判定，故正確．故選：C．【變式5-7】取一副三角尺按如圖所示的方式拼接，固定三角尺ADC，將三角尺ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角得到三角形AB′C′，示意圖如圖所示．（1）當為多少度時，能使圖2中的AB′∥CD？請說明理由；（2）當α分別為多少度時，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必說明理由）【分析】（1）由于∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B′AC′＝45°，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，當∠B′AC＝∠ACD＝30°時，AB′∥CD，則α＝15°；同理可得α為195度時，能使圖2中的AB′∥CD；（2）根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，當α＝∠B′C′A＝45°或225°，B′C′∥AD；當∠C′AD＝∠ADC＝60°或α為330°時，AC′∥DC，此時α＝150°．【解答】解：（1）α為15度或195度時，能使圖2中的AB′∥CD．理由如下：∵∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，而三角尺ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角得到三角形AB′C′，∴∠B′AC′＝45°，當∠B′AC＝∠ACD＝30°時，AB′∥CD，此時∠CAC′＝45°﹣30°＝15°，即α為15度時，能使圖2中的AB′∥CD；同理可得α為195度時，能使圖2中的AB′∥CD；（2）當α＝∠B′C′A＝45°或α＝225°，B′C′∥AD；當α＝150°或330°，AC′∥DC．題型六利用兩直線平行的條件解決實際問題題型六利用兩直線平行的條件解決實際問題【例題6】光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．【分析】根據(jù)等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定a∥b．【解答】解：平行．理由如下：如圖，∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠5＝∠2+∠6，∴a∥b．解題技巧提煉題中會給出一個生活中的實際問題，要讀懂題意，結(jié)合圖形構(gòu)造平行線模型，選擇相應(yīng)的判定定理求解.【變式6-1】木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得出結(jié)論．【解答】解：木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是同位角相等，兩直線平行，故選：A．【變式6-2】如圖，是一個防盜窗欞的示意圖，如果測得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否斷定AB∥CD，已知條件夠不夠？如不夠，需要再補充一個什么條件？【分析】根據(jù)平行線的判定方法由∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°不能斷定AB∥CD，當補充BA＝BC時，則∠BAC＝∠3＝60°＝∠2，于是可根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到AB∥CD．【解答】解：不能判斷AB∥CD，可以補充BA＝BC．∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠3＝60°，而∠2＝60°，∴∠BAC＝∠2，∴AB∥CD．【變式6-3】學(xué)習平行線后，張明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點P與已知直線a平行的直線．由操作過程可知張明畫平行線的依據(jù)有（）①同位角相等，兩直線平行；②兩直線平行，同位角相等；③內(nèi)錯角相等，兩直線平行；④同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④【分析】由作圖可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用平行線的判定即可解決問題．【解答】解：由作圖可知，a⊥AB，CD⊥AB，∴可以利用同位角相等，兩直線平行或內(nèi)錯角相等，兩直線平行或同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，判定CD∥a，故選：D．【變式6-4】如圖所示，一束光線在兩面垂直的玻璃墻內(nèi)進行傳播，路徑為A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直線AB與CD是否平行？為什么？【分析】根據(jù)光線反射得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°，再利用平角的定義得到∠ABC=120°，∠BCD=60°，則∠ABC+∠BCD=180°，于是根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可判斷直線AB與CD平行．【解答】解：AB∥CD．理由如下：

根據(jù)光的反射定律和等角的余角相等得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°

∴∠ABC=120°，∠BCD=60°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD．【變式6-5】你知道潛水艇嗎？它在軍事上的作用可大呢．潛水艇下潛后，艇內(nèi)人員以用潛望鏡來觀察水面上的情況，如圖①．其實它的原理非常簡單，（如圖②，潛望鏡中的兩個平面鏡與水平方向的夾角都為45°，光線經(jīng)過鏡子反射時，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解釋為什么進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行嗎？

【分析】首先分別求出∠5，∠6的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行，進行判定．【解答】解：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°，∴∠5=180°-45°×2=90°，∠6=180°-45°×2=90°，∴∠5=∠6，

故進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的．題型七通過閱讀推理過程填空題型七通過閱讀推理過程填空【例題7】如圖，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？抄寫下面的解答過程，并填空或填寫理由．解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）∴∠1＝∠2（）；∴AC∥BD（）；又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），∴（垂直的定義）；∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（）；即∠＝∠；∴∥（同位角相等，兩直線平行）．【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【解答】解：AC∥BD，AE∥BF，理由如下：如圖，∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知），∴∠1＝∠2（等量代換），∴AC∥BD（同位角相等，兩直線平行），又∵AC⊥AE，BD⊥BF（已知），∴∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定義），∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性質(zhì)），即∠EAB＝∠FBM，∴AE∥BF（同位角相等，兩直線平行），故答案為：等量代換；同位角相等，兩直線平行；∠EAC＝∠FBD＝90°；等式的性質(zhì)；EAB；FBM；AE；BF．解題技巧提煉題中會給出一個平行線判定問題的求解過程，要求填寫理由，此時要認真分析題意，然后聯(lián)系上下文求.【變式7-1】在橫線上填上適當?shù)膬?nèi)容，完成下面的證明．已知，直線a，b，c，d的位置如圖所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求證：c∥d．證明：如圖，∵∠1+∠2＝180°（），∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴＝∠3（），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（），∴c∥d（）．【分析】由已知及鄰補角的定義得到∠3＝∠1，等量代換得出∠1＝∠4，即可判定c∥d．【解答】證明：如圖，∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴∠3＝∠1（同角的補角相等），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（等量代換），∴c∥d（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；同角的補角相等；∠1；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【變式7-2】如圖AF與BD相交于點C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求證：AB∥CE．請完成下列推理過程：證明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD＝（）．∵∠ACB＝∠FCD（），∴∠ECD＝∠ACB（）∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠（）．∴AB∥CE（）．【分析】首先根據(jù)角平分線定義，對頂角相等證明∠ECD＝∠ACB，再證明∠B＝∠ECD，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行推出AB∥CE．【解答】證明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD＝∠DCF（角平分線定義）．∵∠ACB＝∠FCD（對頂角相等），∴∠ECD＝∠ACB（等量代換）．∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ECD（等量代換）．∴AB∥CE（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：∠DCF，角平分線定義，對頂角相等，等量代換，ECD，等量代換，同位角相等，兩直線平行．【變式7-3】請你將下面的證明補充完整，并在括號內(nèi)填寫推理依據(jù)．如圖，點M在直線AB上，MP⊥直線CD，垂足為P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求證：AB∥CD．證明：∵MP平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（）∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+＝+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵MP⊥直線CD，∴∠MPD＝90°（）．∴AB∥CD（）【分析】先根據(jù)角平分線的定義得出∠NMP＝∠PMQ，再由∠AMN＝∠BMQ得出∠AMN+∠NMP＝∠BMQ+∠PMQ，根據(jù)補角的定義得出∠AMP＝90°，由此可得出結(jié)論．【解答】證明：∵MP平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（角平分線的定義）．∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+∠NMP＝∠BMQ+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵MP⊥直線CD，∴∠MPD＝90°（垂直的定義），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；∠NMP，∠BMQ；垂直的定義；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【變式7-4】完成下面的證明：已知：如圖．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求證：AB∥CD．證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠1（）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝（角的平分線的定義）．∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【分析】由角平分線的定義可得出得出∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，結(jié)合∠1+∠2＝90°可得出∠BDC+∠ABD＝180°，利用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”即可證出AB∥CD．【解答】證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠1（角平分線的定義），∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠2（角的平分線的定義），∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（等式的性質(zhì)），∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代換），∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），故答案為：角平分線的定義；2∠2；等式的性質(zhì)；等量代換；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【變式7-5】按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補充完整．如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（對頂角相等）∠BFG＝∠2（）∴∠ABF＝（等量代換），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12（∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12（∴∠EBF＝，∴BE∥CF（）．【分析】根據(jù)對頂角相等、角平分線定義求出∠EBF＝∠BFC，根據(jù)平行線的判定得出即可．【解答】證明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（對頂角相等），∠BFG＝∠2（對頂角相等），∴∠ABF＝∠BFG（等量代換），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12∠∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12∠∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：對頂角相等；∠BFG；12∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB題型八靈活運用判定方法說明兩直線平行題型八靈活運用判定方法說明兩直線平行【例題8】如圖，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，且∠2＝∠3，求證：BC∥AD．【分析】欲證明BC∥AD，只要證明∠1＝∠3即可．【解答】證明：∵BE、DF分別是∠ABC和∠ADC的平分線，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∵∠ABC＝∠ADC，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴BC∥AD．解題技巧提煉由兩角相等或互補關(guān)系，判定兩條直線平行，其關(guān)鍵是找出兩個角是哪兩條直線被第三條直線所截而成的角.2、選用兩角相等，還是選用互補關(guān)系說明兩條直線平行，應(yīng)根據(jù)所給的圖形，靈活運用其中一種方法說明即可.【變式8-1】已知：如圖∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求證：AB∥CD．【分析】由平行線的判定定理可得AD∥BE，則有∠3＝∠DAC，再由已知條件可得∠BAE＝∠DAC，則可求得∠BAE＝∠4，即有AB∥CD．【解答】證明：∵∠1＝∠2＝∠E，∴AD∥BE，∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，即∠BAE＝∠DAC，∴∠DAC＝∠3，∴∠3＝∠BAE，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠BAE，∴AB∥CD．【變式8-2】如圖，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求證：BE∥DF．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】證明：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，即∠3+∠4＝90°，∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠4，∴BE∥DF，理由是：同位角相等，兩直線平行．【變式8-3】如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請說明AE∥GF的理由．【分析】根據(jù)鄰補角的定義及題意得出∠BAG＝∠AGC，再根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因為∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（鄰補角的性質(zhì)），所以∠BAG＝∠AGC（同角的補角相等），因為EA平分∠BAG，所以∠1=12∠因為FG平分∠AGC，所以∠2=12∠所以AE∥GF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【變式8-4】如圖，已知點E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．（1）求證：AE⊥CE；（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求證：AB∥CD．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義，角平分線的定義解答即可；（2）根據(jù)平行線的判定解答即可．【解答】證明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF，∴∠2=12∠BEF，∠3∵∠BEF+∠DEF＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥CE；（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，∴AB∥CD．【變式8-5】將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起（如圖），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝112°，求∠ACE的度數(shù)；（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（3）若三角板ABC保持不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角板DCE，在轉(zhuǎn)動過程中，試探究∠BCD等于多少度時，CD∥AB？請你直接寫出答案．【分析】（1）由∠BCD＝112°，∠ACB＝90°，可得出∠DCA的度數(shù)，進而得出∠ACE的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可提出猜想，再由∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD可得出結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的判定定理，畫出圖形即可求解．【解答】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝112°，∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝112°﹣90°＝22°，∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣22°＝68°；（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝180°；（3）當∠BCD＝120°或60°時，CD∥AB．如圖②，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，當∠B+∠BCD＝180°時，CD∥AB，此時∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；如圖③，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，當∠B＝∠BCD＝60°時，CD∥AB．平行線的判定隨堂檢測1.下列說法中，正確的是（）A．有公共頂點且有一條公共邊的兩個角互為鄰補角 B．不相交的兩條直線叫做平行線 C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等【分析】根據(jù)鄰補角、平行線的概念、垂直的性質(zhì)、同位角的概念解答即可．【解答】解：A、只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角，原說法錯誤，故本選項不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線，原說法錯誤，故本選項不符合題意；C、在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，說法正確，故本選項符合題意；D、兩直線平行，同位角相等，原說法錯誤，故本選項不符合題意．故選：C．2.如圖是小明學(xué)習“探索直線平行的條件”時用到的學(xué)具，經(jīng)測量∠2＝105°，要使木條a與b平行，則∠1的度數(shù)應(yīng)為（）A．45° B．75° C．105° D．135°【分析】先求出∠2的對頂角的度數(shù)，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行解答．【解答】解：如圖，∵∠2＝105°，∴∠3＝∠2＝105°，∴要使b與a平行，則∠1+∠3＝180°，∴∠1＝180°﹣105°＝75°．故選：B．3.如圖，∠1＝∠2，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠3＝∠4 B．AD∥BC C．AB＝CD D．AB∥CD【分析】直接根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD．故選：D．4.如圖，現(xiàn)給出下列條件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°．其中能夠得到AB∥CD的條件有（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【分析】根據(jù)平行線的判定定理對各小題進行逐一判斷即可．【解答】解：①∵∠1＝∠B，∴AB∥CD，故本小題正確；②∵∠2＝∠5，∴AB∥CD，故本小題正確；③∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故本小題錯誤；④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥CB，故本小題錯誤．所以正確的有①②．故選：A．5.如圖，已知∠F+∠FGD＝80°（其中∠F＞∠FGD），添加一個以下條件：①∠FEB+2∠FGD＝80°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠F+∠FEA＝180°；④∠FGC﹣∠F＝100°．能證明AB∥CD的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】過點F作CD的平行線FH，結(jié)合條件①可證AB∥CD；條件②得到EF∥CD；條件③得到AF∥FG；條件④的結(jié)果得到恒等式．【解答】解：①過點F作FH∥CD，則：∠HFG＝∠FGD，∵∠EFG＝∠EFH+∠HFG，∠EFG+∠FGD＝80°，∴∠EFH+2∠FGD＝80°，∵∠FEB+2∠FGD＝80°，∴∠EFH＝∠FEB，∴AB∥FH，∴AB∥CD，故①符合題意；②∵∠F+∠FGC＝180°，∴CD∥FE，故②不符合題意；∵∠EFG+∠FEA＝180°，∴AB∥FG，故③不符合題意；④∵∠FGC﹣∠EFG＝100°，∠EFG+∠FGD＝80°，∴∠FGC﹣∠EFG+∠EFG+∠FGD＝100°+80°，∴∠FGC+∠FGD＝180°，故④不符合題意．故選：B．6.一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則DE∥BC，理由是內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝∠DEF＝90°，∴DE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．7.在同一平面內(nèi)有三條直線l1、l2、